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2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:1.3.2 杨辉三角 Word版含解析


1.3.2 杨辉三角 [对应学生用书P16] (a+b)n 的展开式的二次项系数,当 n 取正整数时可以表示成如下形式: 问题 1:从上面的表示形式可以直观地看出什么规律? 提示:在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项的系数相等;在相邻的两 行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 问题 2:计算每一行的系数和,你又能看出什么规律? 提示:2,4,8,16,32,64,?,其系数和为 2n. 问题 3:二项式系数的最大值有何规律? 提示:n=2,4,6 时,中间一项最大,n=3,5 时中间两项最大. 二项式系数的性质 0 n (1)每一行的两端都是 1, 其余每个数都等于它“肩上”两个数的和. 即 Cn =Cn =1, Cm n+1 1 =Cm +Cm n n. - n (2)每一行中,与首末两端“等距离”的两个数相等,即 Cm n =Cn -m . (3)如果二项式的幂指数 n 是偶数,那么其展开式中间一项 T n 2 的二项式系数最大;如 +1 果 n 是奇数,那么其展开式中间两项 T n+1 与 T n+1 2 2 的二项式系数相等且最大. +1 (4)二项展开式的各二项式系数的和等于 2n. 1 2 n n 即 C0 n+Cn+Cn+?+Cn=2 . 2 4 1 3 5 n 1 且 C0 . n+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=2 - 由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质, 同时当二项式乘方次数不大时, 可借 助于它直接写出各项的二项式系数. [对应学生用书P16] 与杨辉三角有关的问题 [例 1] 如图,在“杨辉三角”中,斜线 AB 的上方,从 1 开始箭头所 示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,?.记其前 n 项和为 Sn,求 S19 的值. 1 [思路点拨] 由图知,数列中的首项是 C2 2,第 2 项是 C2,第 3 项是 2 2 1 2 C3 ,第 4 项是 C1 3,?,第 17 项是 C10,第 18 项是 C10,第 19 项是 C11. [精解详析] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 S19=(C2 2+C2)+(C3 +C3)+(C4+C4 )+?+(C10+C10)+C11 =(C2+C3 + C 4 ?2+10?×9 2 2 2 2 3 +?+C1 +220=274. 10)+(C2+C3+?+C10+C11)=(2+3+4+?+10)+C12= 2 [一点通] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路: (1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察; (2)找规律:通过观察,找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律. 1. 如图是一个类似杨辉三角的图形,则第 n 行的首尾两个数均为 ________. 解析:由 1,3,5,7,9,?可知它们成等差数列,所以 an=2n-1. 答案:2n-1 2.如图,由二项式系数构成的杨辉三角中,第________行从左到右第 14 个数与第 15 个数之比为 2∶3. 解析:设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶3, 13 14 则 3Cn =2Cn , 即 3n! 2n! = . 13!?n-13?! 14!?n-14?! 解得 n=34. 答案:34 二项展开式中各项的系数和 [例 2] 设(1-2x)2 014=a0+a1x+a2x2+?+a2 014· x2 014(x∈R). (1)求 a0+a1+a2+?+a


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