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2014年普通高中学生学业水平考试模拟(数学)


2014 普通高中学生学业水平考试 数学(一)
(满分 100 分,答题时间 90 分钟) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列说法正确的是( )

A. ? ? N

*

B. ? 2 ? Z

C. 0 ? ?

D. 2 ? Q

2.三个数 a ? 3 A. b ? c ? a

0.7

, b ? 0.7 , c ? log 3 0.7 的大小顺序为(
3

) D. c ? b ? a

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

3.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x,?3) ,且 a ? b ,则 x 的值为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3

?

?

?

?

4.已知函数 f ( x) ?

1 x 的定义域为 M ,g ( x) ? e ? 2 的值域为 N , M ? N ? 则 2? x
C. (?2, 2)
1

A. ?2,???

B. ?? ?,2 ?

D. ?
2

5.在下列函数中:① f ( x) ? x 2 , ② f ( x) ? x 3 ,③ f ( x) ? cos x ,④ f ( x) ? x , 其中偶函数的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图,大正方形的面积是 13,四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较 短边长为 2.向大正方形内投一飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率为( ) A.

1 13

B.

2 13

C.

3 13

D.

4 13

7.设

f ( x) ? 3 x ? 3x ? 8, 用二分法求方程 3 x ? 3x ? 8 ? 0 在区间(1,2)上近似解的

过程中,计算得到 A.(1,1.25)

f (1) ? 0, f (1.25) ? 0, f (1.5) ? 0 ,则方程的根落在区间(
B. (1.25,1.5) C.(1.5, 1.75) D. (1.75,2)



8.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面积为 ? ,则球的表面积为( ) A. 8 2? B. 8? C. 4 2?
第 1 页 共 1 页

D. 4?

?| lg x |, 0 ? x ? 10 ? 9.已知函数 f ( x) ? ? 1 , a, b, c 互不相等, f (a) ? f (b) ? f (c) , abc 若 且 则 ? ? 2 x ? 6, x ? 10 ?
的取值范围是 A. (1,10) B. (5, 6) C. (10,12) D. (20, 24)

10.某公司有员工 150 人,其中 50 岁以上的有 15 人,35~49 岁的有 45 人,不到 35 岁的有 90 人.为了调查员工的身体健康状况,采用分层抽样方法从中抽取 30 名员工,则各年龄段 人数分别为( A. 5, 10, 15 ) B. 5, 9 , 16 C. 3, 9, 18 D. 3, 10, 17 Input x if

? x ? y ? 5 ? 0, ? 11. 已知 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 2x+4y 的最小值为( ? x ? 3. ?
A.6 B. 12 C. -6 D.-12

y ? cos x
y ? sin x

x>0 then



Else

End Print y 第7题

12.条件语句⑵的算法过程中,当输入 x ? 输出的结果是( A. ? ) B. ?

4? 时, 3
D.

3 2

1 2

C.

1 2

3 2
主视图 2 2

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. 13.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,给出四个命题: ①若 l ? ? , ? ? ? , l ? ? ; ②若 l / /? , ? / / ? , l ? ? ③ 则 则 若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? ; ④若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? .则 真命题的个数为 . .

2 左视图

俯视图

14.在等差数列 {an } 中,已知 a2 ? a8 ? 10, 则a5 的值为

15.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的体积 为 . 16.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 为减函数,若 a ? b ? 0 ,给出下列不等式:

第 2 页 共 2 页

① f (a) ? f (?a) ? 0 ; ③ f (b) ? f (?b) ? 0 ;

② f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ; ④ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .

其中正确的是 (把你认为正确的不等式的序号全写上) . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P、Q 两点,O 为原点,且
2 2

? ? OP · OQ ? 0 ,求实数 m 的值。
18.(本小题满分 10 分)

? ? ?? ? ? ? a ? ?cos 2?, sin ? ?, b ? ?1, 2 sin ? ? 1?,? ? ? ,? ? a · b ? 2 ?2 ?, 5 ,求 已知

?? ? cos? ? ? ? ? 4 ? 的值。
19 .(本小题满分 10 分) 在数列 ? an ? 中, a1 ? 3 , an ?1 ? 3an ? 3 (Ⅰ)设 bn ?
n ?1



an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 3n

(Ⅱ)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n . 20.(本小题满分 10 分) 如图所示,在矩形ABCD中,AB= 3 3 ,BC=3,沿对角线BD 折起,使点C移到 C 点,且平面AB
'

C
B A

C ? 平面ABD。
'

(1)求证:B C ? 平面A C D;
' '

B
C D

A

(2)求点A到平面B C D的距离;
'

'

(3)求直线AB与平面B C D所成的角的正弦值。 21.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)满足 xf(x)=b+cf(x),b≠0,f(2)=-1,且 f(1-x)=-f(x+1)对两边都有意义的任 意 x 都成立 (1)求 f(x)的解析式及定义域 (2)写出 f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数?

D

第 3 页 共 3 页

参考答案及评分标准 1-5BDCCA 6-10 ABBCC 11-12 CB

13.1;14.5;15.

8 ;16.①④. 3

17.解:设

P? x1 ,y1 ?,Q? x 2 ,y 2 ?

? ? k ? · k ? ? ?1 OP · OQ ? 0 ,得: OP OQ 由

y1 y · 2 ? ?1 x2 即 x1 ,即 x1 ·x2 ? y1 ·y2 ? 0

? 1 ? (2 分)

另,

? x ,y ?,? x ,y ? 是方程组
1 1 2 2
2

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 2 2 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0

的实数解

即 x1 ,x2 是 5x ? 10 x ? 4m ? 27 ? 0

? 2 ? 的两个实数根

∴x1 ? x2 ? 2 ,x1 ·x2 ?

4m ? 27 5

? 3?

(4 分)

又 P、Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上

∴y1 ·y2 ?

1 1 ?3 ? x1 ?· ?3 ? x2 ? 2 2

?

1 9 ? 3? x1 ? x2 ? ? x1 ·x2 4 (6 分)
y1 ·y2 ? m ? 12 5 ?4?

?

?

将<3>代入得:

将<3><4>代入<1>知: m ? 3 (7 分) 代入方程<2>检验△>0 成立。

∴m ? 3 (8 分)
a · b ? cos 2? ? sin ? ?2 sin ? ? 1? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? sin ? 18.解:
(2 分)
? ?
? ?



a·b ?

2 2 3 1 ? sin ? ? , sin ? ? 5 ,得 5 5 (3 分)

第 4 页 共 4 页

?? ? ∵? ? ? ,? ? ?2 ?

∴ cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

4 5 (5 分)

?? 2 2 2 ? 4? 2 3 7 2 ? ∴ cos? ? ? ? ? cos? ? sin ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 5? 4 2 2 2 2 5 10 (7 分)
19 解: (Ⅰ) an ?1 ? 3an ? 3
n ?1

,∴

an ?1 an ? ? 1 ,于是 bn ?1 ? bn ? 1 , 3n ?1 3n

∴ ?bn ? 为首项和公差为 1 的等差数列. ···················· 4 分 (Ⅱ)由 b1 ? 1 , bn ? n 得,

an ? n .∴ an ? n ? 3n . ············· 6 分 3n

Sn ? 1 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ?1 ? n ? 3n , 3Sn ? 1 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,
两式相减,得 2 Sn ? n ? 3 解出 Sn ? ( ? )3
n ?1

? (31 ? 32 ? ? ? 3n ) , ··············· 10 分

3 ? . ························· 12 分 4 20.(1)证明:矩形 ABCD 中, DA ? AB
n ?1

n 2

1 4

又∵平面AB C ? 平面ABD
'

∴DA ? 平面AB C ,
'

(2 分)

E

∴DA ? B C ,B C ? C D,
' ' '

(4 分)
'

∴B C ? 平面A C D。
'

(5 分)
'

(2)解:过 A 作 AE ? CD 于 E,则B C ? AE ∴AE ? 平面B C D,∴AE 是点 A 到平面B C D的距离。
' '

(8 分)

∵ S ?AC ' D ?

AD ? AC ' 3 ? 3 2 AE ? CD AD ? AC ; ? ? 6 ? ∴AE= CD 2 2 3 3
(11 分)
'

' ∴点 A 到平面B C D的距离是 6 。

(3). 由(2)中可知直角三角形 ABE 中 ?ABE 为直线 AB 与平面B C D所成的角, (12 分)

第 5 页 共 5 页

∵ sin ?ABE ?

AE 6 2 ? ? AB 3 3 3
'

∴直线AB与平面B C D所成的角的正弦值为

2 。 3

(14 分)

(2)解法二:设 A 到面B C D的距离为 h 则: ∵B C ? 平面A C D∴B C ? A C A C =
' ' ' ' '

'

AB 2 ? BC 2 ? 27 ? 9 ? 3 2

' ∵ V A? BCD ? V B ? AC ' D ,又 DA ? 平面AB C ,

' ' ' ∴ BC ? DC ? h ? BC ? AC ? AD ,∴ 3 3 ? 3 ? h ? 3 ? 3 ? 3 2 ,

∴h= 6 21.解: (1)由 xf(x)=b+cf(x),b≠0,

b , x?c b b 由 f(1-x)=-f(x+1)得 ?? 1? x ? c x ?1? c
∴x≠c,得 f ( x) ? ∴c=1

b ,即 b=-1 2 ?1 ?1 1 ∴ f ( x) ? , ? x ?1 1? x
由 f(2)=-1,得-1= ∵1-x≠0,∴x≠1 即 f(x)的定义域为 x│x ? 1

?

?

(2)f(x)的单调区间为(- ? ,1)(1,+ ? )且都为增区间 , 证明:当 x∈(- ? ,1)时,设 x1<x2<1, 则 1- x1>0,1- x2>0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ∵1- x1>0,1- x2>0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

x1 ? x 2 1 1 ? ? , 1 ? x1 1 ? x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) x1 ? x 2 1 1 ? ? <0 1 ? x1 1 ? x 2 (1 ? x1 )(1 ? x 2 )

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴f(x)在(- ? ,1)上单调递增。同理 f(x)在(1,+ ? )上单调递增。

第 6 页 共 6 页



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