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2017-2018北京市东城区高三数学文科一模试题及答案


北京市东城区 2017-2018 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 (1)若集合 A ? { x | ? 3 ? x ? 1} , B ? { x | x ? ? 1 或 x ? 2} ,则 A I B ? (A) { x | ? 3 ? x ? ? 1} (C) { x | ? 1 ? x ? 1} (2)复数 z ?
i 1? i

(B) { x | ? 3 ? x ? 2} (D) { x | 1 ? x ? 2}

在复平面内对应的点位于 (B)第二象限 (D)第四象限

(A)第一象限 (C)第三象限

? x ? y ? 2 ? 0, ? (3)若 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 , 则 y ? x 的最大值为 ? y ? 0, ?

(A) ? 2 (C) 2

(B) ? 1 (D) 4

(4)执行如图所示的程序框图,如果输出的 S 值为 3 0 ,那么空白的判断框中应填入的条件 是 (A) n ? 2 (B) n ? 3 (C) n ? 4 (D) n ? 5
是 否 开始

形如
n ? 0, S ? 0

n ? n ?1
S ? S ? 2
n

输出 S

输出
结束

1

(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为 (A)2 (B) 2 2 (C) 2 3 (D) 4

(6)函数 f ( x ) ?
1

4 x

? 2 的零点所在区间是 1

x

(A) ( 0 , )
2 3 2

(B) ( , 1)
2 3 2

(C) (1, )

(D) ( , 2 )

(7)已知平面向量 a , b , c 均为非零向量,则“ ( a ? b ) c ? ( b ? c ) a ”是“向量 a , c 同向”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学.在某景区,由于时 间关系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览.高一 1 班的 2 7 名同学 决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的 入选.据了解,在甲、乙两个景点中有 1 8 人会选择甲,在乙、丙两个景点中有 1 8 人 会选择乙.那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览; ②乙景点的得票数可能会超过 9 ; ③丙景点的得票数不会比甲景点高; ④三个景点的得票数可能会相等. (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④

2

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)命题“ ? x ? R , e ? 0 ”的否定是_________. (10)已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点坐标为 ( , 0 ) ,则 p =_______.
4
2

x

1

( 11 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中 , 以 O x 为 始 边 的 角 ? 的 终 边 经 过 点 ( , ) , 则
5 5

3 4

sin ? ? _______, ta n 2 ? ? _________.

(12)已知圆 ( x ? 1) ? y ? 1 上的点到直线 y ? k x ? 2 的距离的最小值为 1 ,则实数
k ?

2

2

. .

(13)已知实数 x , y 满足 2 x ? y ? 1 ,则 x y 的最大值为

(14)定义:函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的最大值与最小值的差为 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的极 差,记作 d ( a , b ) . ①若 f ( x )= x ? 2 x ? 2 ,则 d (1, 2 )= ________; ②若 f ( x )= x+
m x
2

,且 d (1, 2 ) ? | f ( 2 ) ? f (1) | ,则实数 m 的取值范围是________.

3

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分) 已知 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,且 a 3 ? ? 6 , S 5 ? S 6 . (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 { b n } 满足 b1 ? a 2 , b 2 ? S 3 ,求 { b n } 的前 n 项和.

(16) (本小题 13 分) 函数 f ( x ) ? s in ( ? x ? ? ) ( ? ? 0 , ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x ) 的图象向左平移
? 3 ? 2 ?? ? ? 2 ) 的部分图象如图所示.

个单位长度,得到函数 y ? g ( x ) 的图象,

令 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,求函数 F ( x ) 的单调递增区间.

y 1

O

-1

π 3

5π 6

x

4

(17) (本小题 13 分) 某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取 1 0 0 0 0 名进行调查, 将受访 用户按年龄分成 5 组:[1 0 , 2 0 ) ,[ 2 0 , 3 0 ) ,…,[5 0 , 6 0 ] ,并整理得到如下频率分布直方图:

频率 组距 a 0.03 0.02 0.01 0.005 10
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人,估计其年龄低于 4 0 岁的 概率; (Ⅲ)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄.

20

30

40

50

60

年龄

(18) (本小题 14 分) 如图,四边形 A B C D 为菱形, ? D A B ? 6 0 , E D ? 平面 A B C D ,
E D ? A D ? 2 E F ? 2 , E F ∥ A B , M 为 B C 中点.
o

(Ⅰ)求证: F M ∥平面 B D E ; (Ⅱ)求证: A C ? B E ; (Ⅲ)若 G 为线段 B E 上的点,当三棱锥 G ? B C D 的体积为
2 9 3

时,求

BG BE

的值.

E

F

D M A B

C

5

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

3 3

,长轴长为 2 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 M 是以长轴为直径的圆 O 上一点,圆 O 在点 M 处的切线交直线 x ? 3 于点 N . 求证:过点 M 且垂直于直线 O N 的直线 l 过椭圆 C 的右焦点.

(20) (本小题 13 分) 已知函数 f ( x ) ? x s in x ? a c o s x ? x , a ? R . (Ⅰ)当 a ? ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 0 , f ( 0 )) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 2 时,求 f ( x ) 在区间 [ 0 ,
? 2 ] 上的最大值和最小值; ? 2

(Ⅲ)当 a ? 2 时,若方程 f ( x ) ? 3 ? 0 在区间 [ 0 ,

] 上有唯一解,求 a 的取值范围.

6



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