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2015年上海市春季高考模拟试卷一


2015 年上海市春季高考模拟试卷一
一、填空题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1、函数 f ( x) ?

x ?1 的定义域是. x

2 ? 2、已知全集 U ? ??2 ?1,0,1,2? ,集合 A ? ? ,x、n ? Z ? ,则 CU A =. ?x | x ? n ? 1 ? ?

3、已知函数 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? 2x?1 ( x ? 1) 的反函数,则 f ?1 ( x) ? 写明自变量的取值范围). 4、双曲线 2x2 ? 3 y 2 ? 1 的渐近线方程是. 5、若函数 f ( x) ? 2 cos(4x ? 实数 a=.

(要求

?
7

) ? 1与函数 g ( x) ? 5 tan(ax ? 1) ? 2 的最小正周期相同,则

6、已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, Sn (n ? N * ) 是数列的前 n 项和,则

S l i m 2 n =. n ?? n ? 1
7、直线 l1:3x ? y ?1 ? 0 , l2:x ? 5 ? 0 ,则直线 l1 与 l2 的夹角为= .
2 8、已知 0 ? m ? 1(m ? R) , ? 是方程 x ? mx ? 1 ? 0 的根,则 | ? | =.

2 15 9、 ( x ? ) 的二项展开式中的常数项是(用数值作答) .

1 x

10、已知 e1、 e2 是平面上两个不共线的向量,向量 a ? 2e1 ? e2 , b ? me1 ? 3e2 .若 a ? b , 则实数 m=. 11、已知圆柱 M 的底面圆的半径与球 O 的半径相同,若圆柱 M 与球 O 的表面积相等,则 它们的体积之比 V圆柱:V球 =(用数值作答). 12、已知角 ?、? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合, ?、? ? (0,? ), 角? 的 终边与单位圆交点的横坐标是 ? 1 , 角 ? ? ? 的终边与单位圆交点的纵坐标是 4 , 则c o s 3 5

?? ?? ?

?

? ? ? ? ?

?

? ?

? ? ?

? ?

? =.

1

二、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 13、已知 ?: x ? a , ?:|x ?1|? 1 .若 ? 是 ? 的必要非充分条件,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. a ? 0 C. a ? 2 D. a ? 2 . A. a ? 0

14、已知直线 l:ax ? by ? 1 ,点 P(a,b) 在圆 C: x 2 ? y 2 ? 1外,则直线 l 与圆 C 的位置 关系是 ( ) A .相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 15、现给出如下命题: ①若直线 l 与平面 ? 内无穷多条直线都垂直,则直线 l ? 平面? ; ②空间三点确定一个平面; ③先后抛两枚硬币,用事件 A 表示“第一次抛出现正面向上”,用事件 B 表示“第二次抛出现 反面向上”,则事件 A 和 B 相互独立且 P( AB ) = P ( A) P ( B ) ?

1 1 1 ? ? ; 2 2 4

? 1, 0, 11 ,的标准差是 1. ④样本数据 ?1, 则其中正确命题的序号是 ( ) A.①④ B.①③ C.②③④

D.③④

16、在关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 4 ? 0 , x2 ? ? a ? 1? x ? 16 ? 0 , x 2 ? 2ax ? 3a ? 10 ? 0 中,已知至 少有一个方程有实数根,则实数 a 的取值范围为( ) A. ?4 ? a ? 4 B. a ? 9 或 a ? ?7 C. a ? ?2 或 a ? 4 17、不等式 | 2 ? x |? 1 的解集是( A. [ ?3, ?1] B. [1,3] ) C. [ ?3,1] D. [ ?1,3] D. ?2 ? a ? 4

18、已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则 "? ? ? " 是

"m ? ?" 的 (
A.充分不必要条件 C.充要条件

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

19、 已知 F1 , F2 是椭圆 的最大值是( A.、9 ) B.16

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的任意一点,则 | PF1 | ? | PF2 | 25 9

C. 25

D.

25 2


20、函数 y ? m | x | 与 y ? A. m ? 2 B. m ? 2

x2 ? 1 在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是(
C. m ? 1
2

D. m ? 1

21、设函数 f ( x) ? 2lg (2 x ? 1) ,则 f A.0 22、已知 cos( x ? A. 2 m B.1

?1

(0) 的值为(

) D.不存在

C.10

?
6

) ? m ,则 cos x ? cos( x ?
C. 3m

?
3

)? (



B. ? 2 m

D. ? 3m

23、将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A、B、C 分别是 ?GHI 三边的中点)得到的几何 体如图 2,则按图 2 所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为( )

24、 已知方程 b2 x2 ? a2[k ( x ? b)]2 ? a2b2 ? 0(b ? a ? 0) 的根大于 a , 则实数 k 满足 ( A. | k |?



b a

B. | k |?

b a

C. | k |?

a b

D. | k |?

a b

三、解答题 25、 (本题满分 7 分) 在 ?ABC 中,记 ?BAC ? x (角的单位是弧度制), ?ABC 的面积为 S,且 AB ? AC ? 8 ,

??? ? ??? ?

? 4 ? S ? 4 3 .求函数 f ( x) ? 2 3 sin 2 ( x ? ) ? 2 cos 2 x ? 3 的最大值、最小值. 4

26、 (本题满分 7 分) 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 a.求点 C1 到平面 AB1D1 的距离.

A1 B1 A B
3

D1 C1 D

C

27、 (本题满分 8 分)
?mx ? 4 y ? m ? 2 用行列式讨论关于 x, y 的二元一次方程组 ? 的解的情况,并说明各自的几何 ? x ? my ? m

意义.

28、 (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? log a

2m ? 1 ? mx (a ? 0,a ? 1) 是奇函数, 定义域为区间 D(使表达式有意 x ?1

义的实数 x 的集合). (1)求实数 m 的值,并写出区间 D; (2)若底数 a ? 1 ,试判断函数 y ? f ( x) 在定义域 D 内的单调性,并说明理由; (3)当 x ? A ? [a,b) ( A ? ? ?) ,求实数 a、 b ? D ,a 是底数)时,函数值组成的集合为 [1, 的值.

4

29、 (本题满分 13 分) 已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点是 F2 (2,0) ,且 b ? 3a . a 2 b2

(1)求双曲线 C 的方程; (2) 设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为 ( m,1) , 当直线 l 与双曲线 C 的右支相交于 A, B 不同的两点时,求实数 m 的取值范围;并证明 AB 中点 M 在曲线 3( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 上. (3) 设 (2) 中直线 l 与双曲线 C 的右支相交于 A, B 两点, 问是否存在实数 m , 使得 ?AOB 为锐角?若存在,请求出 m 的范围;若不存在,请说明理由.

附加题 30、 (本题满分 8 分) 某 公 司 生 产 某 种 消 防 安 全 产 品 , 年 产 量 x 台 (0 ? x ? 100, x ? N ) 时 , 销 售 收 入 函 数

R( x) ? 3000x ? 20x2 (单位:百元) ,其成本函数满足 C ( x) ? 500 x ? b (单位:百元) .已知
该公司不生产任何产品时,其成本为 4000(百元) . (1)问该公司生产多少台产品时,利润最大,最大利润是多少? (2)在经济学中,对于函数 f ( x) ,我们把函数 f ( x ? 1) ? f ( x) 称为函数 f ( x) 的边际函数, 记作 Mf ( x) .对于(1)求得的利润函数 P( x) ,求边际函数 MP( x) ;并利用边际函数 MP( x) 的性质解释公司生产利润情况. (本题所指的函数性质主要包括:函数的单调性、最值、零 点等)

5

31、 (本题满分 8 分)
?1 ? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2 ? 2Sn ? 3an (n ? N ) .数列 bn ? ? an ?1 ? ? n
?

n ?1 n?2

.

(1)求证:数列 ?an ? 为等比数列; (2)若对于任意 n ? N ? ,不等式 bn ? (n ? 1)? 恒成立,求实数 ? 的最大值.

6

31、 (本题满分 14 分) 已知点 P 是直角坐标平面内的动点,点 P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 ,到点 F (?1 , 0) 的 距离为 d2 ,且

d2 2. ? d1 2

(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程; (2)直线 l 过点 F 且与曲线 C 交于不同两点 A、B(点 A 或 B 不在 x 轴上),分别过 A、B 点 作直线 l1 : x ? ?2 的垂线,对应的垂足分别为 M 、N ,试判断点 F 与以线段 MN 为直径的圆 的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况); (3)记 S1 ? S?FAM , S2 ? S?FMN , S3 ? S?FBN (A、B、 M 、N 是(2)中的点),问是否存在实数
2 ? ,使 S2 ? ? S1S3 成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

进 一 步 思 考 问 题 : 若 上 述 问 题 中 直 线 l1 : x ? ?

a2 、 点 F (?c, 0 )、 曲 线 C : c

2 x2 y 2 则使等式 S2 ? ? S1S3 成立的 ? 的值仍保持不变.请给出 ? 2 ? 1(a ? b ? 0,c ? a 2 ? b 2 ) , 2 a b 你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或证明).

7

2015 年春季高考模拟 一参考答案
1、[- 1 , 0) ? (0, ? ) ;2、{0};3、 y = 1+ log2 x( x ? 1) ; 4、 y = ?

6 x ;5、a = ? 2 ; 3

6、 1 ;7、

p 3 3+ 8 2 ;8、 1 ;9、 3003 ;10、 - 6 ;11、 ;12、 ; 4 6 15

13-16BADC;17-20BBCD;21-24BCAA 25 、 ∵ ?BAC ? x, AC ? AB ? 8 , 4 ? S ? 4 3 , 又 S ?

??? ? ??? ?

S ? 4 tan x 即 1 ? tan x ? 3 ∴所求的 x 的取值范围是

?
4

1 b cs i n x, ∴ bc cos x ? 8 , 2

?x?

?

f ( x) ? 2 3 sin 2 ( x ? ) ? 2 cos 2 x ? 3 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1, 4 6


?

3

.∵

?

4

?x?

?

?

3



2? ? 5? 1 ? 3 ? 2x ? ? , ? sin(2 x ? ) ? . 3 6 6 2 6 2

∴ f ( x) min ? f ( ) ? 2,f ( x) max ? f ( ) ? 3 ? 1 .

?

?

3

4

26、建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为 A(0, 0, 0) 、 D1 (0, a, a) 、

???? ???? ???? ? B1 (a,0, a) 、 C1 (a, a, a) ,向量 C1 A ? (?a, ? a, ? a) , AD1 ? (0,a,a) , AB1 ? (a,0, a) . ? ???? ? ? ? ?ay ? az ? 0 ?n ? AD1 ? 0 设 n ? ( x,y,z) 是平面 AB1D1 的法向量,于是,有 ? ? ???? ,即 ? . ?ax ? az ? 0 ? ?n ? AB1 ? 0
令 z ? ?1, 得 x ?1 ,y ? 1 .于是平面 AB1D1 的一个法向量是 n ? (1 ,1,-1) .

?

???? ? | C1 A ? n | 3 ? 因此, C1 到平面 AB1D1 的距离 d ? ? a .(也可用等积法求得) 3 |n|
27、 D ? m 4 ? ? m ? 2?? m ? 2? , Dx ? m ? 2 4 ? m ? m ? 2? , Dy ? m m ? 2 ? ? m ? 2?? m ? 1? 1 m m m 1 m
?x ? ? (1)当 m ? ?2 时, D ? 0 方程组有唯一解,此时 ? ?y ? ? Dx ?x ? m ? m?2 D ,即 ? ; Dy ?y ? m ?1 ? m?2 D

? ?x ? t 2 ? t ?t ? R ? ; (2)当 m ? 2 时, D ? Dx ? Dy ? 0 ,方程组有无穷多组解,通解可表示为 ? y? ? ? 2

(3)当 m ? ?2 时, D ? 0 , Dx ? 0 , Dy ? 0 ,此时方程组无解.

8

几何意义:设 l1 : mx ? 4 y ? m ? 2 , l2 : x ? my ? m 当 m ? ?2 时,方程组唯一解,则直线 l1 与 l2 相交; 当 m ? ?2 时,方程组无解,则直线 l1 与 l2 平行; 当 m ? 2 时,方程组无穷多解,则直线 l1 与 l2 重合. 28 、 ( 1 ) ∵ y ? f ( x) 是 奇 函 数 , ∴ 对 任 意 x ? D , 有 f ( x)? f ( ? x)? , 0 即

log a

2m ? 1? mx 2 m? ? 1 mx ? lo ? .0 a g 1? x 1? x

化简此式,得 (m2 ?1) x2 ? (2m ?1)2 ? 1 ? 0 .又此方程有无穷多解(D 是区间),必有
2 ? 1? x ?m ? 1 ? 0 ,D ? (?11) ,. ,解得 m ? 1 .∴ f ( x) ? log a ? 2 1? x ? ?(2m ? 1) ? 1 ? 0

(2)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? log a 理由:令 t ?

1? x 在D ? (?11) , 上是单调减函数. 1? x

1? x 2 ? ?1 ? . 1? x 1? x 2 在 D ? (?11) , 上是随 x 增大而减小, 1? x

易知 1 ? x 在 D ? (?11) , 上是随 x 增大而增大, 故t ?

1? x 2 ? ?1 ? 在 D ? (?11) , 上是随 x 增大而减小. 1? x 1? x 1? x 在D ? (?11) , 上是单调减函数 于是,当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? log a 1? x
(3) ∵ A ? [a,b) ? ? D ,∴ 0 ? a ? 1,a ? b ? 1 . ∴依据(2)的道理,当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) ? log a

1? x 在A 上是增函数, 1? x

1? a ? 1 ,解得 a ? 2 ?1(舍去a ? ? 2 ?1) . 1? a 1? b log a ) ,不满足函数值组成的集合 若 b ? 1 ,则 f ( x ) 在 A 上的函数值组成的集合为 [1, 1? b log a 即 f (a ) ? 1,
? ?) 的要求.(也可利用函数的变化趋势分析,得出 b=1)∴必有 b ? 1 . 是 [1,

、b ? 1. 因此,所求实数 a、 b 的值是 a ? 2 ? 1
2 2 2 2 2 2 2 2 29、 (1) c ? 2 c ? a ? b ? 4 ? a ? 3a ? a ? 1, b ? 3 ? 双曲线为x ?

y2 ?1. 3

9

(2) l : m( x ? 2) ? y ? 0

? y ? ? m x ? 2m ? 由? 2 y2 得 (3 ? m 2 ) x 2 ? 4m 2 x ? 4m 2 ? 3 ? 0 x ? ? 1 ? 3 ?
2

由 ? ? 0 ,得 4m 4 ? (3 ? m 2 )(4m 2 ? 3) ? 0 ,12m 2 ? 9 ? 3m 2 ? 0 ,即m ? 1 ? 0恒成立

4m 2 ?0 2 ?x ? x ? 0 , m 2? 3 ,? m 2 ? 3 ? m ? (??, ? 3) ? 3, ??) 又? 1 2 x ? x ? 0 4m ? 3 ? 1 2 ?0 m2 ? 3
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 2m 2 y1 ? y 2 2m 3 ? 6m ? 2 ?? 2 ? 2m ? 2 2 2 m ?3 m ?3 m ?3

? AB中点M (

2m 2 6m ,? 2 ) 2 m ?3 m ?3

2m 2 36m 2 (m 2 ? 3) 2 36m 2 m 4 ? 6m 2 ? 9 ? 12m 2 2 ? 3( 2 ? 1) ? 2 ? 3? 2 ? ? 3? ?3 m ?3 (m ? 3) 2 (m ? 3) 2 (m 2 ? 3) 2 (m 2 ? 3) 2
? M在曲线3( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3上.
(3) A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

设存在实数m, 使?AOB为锐角, 则OA ? OB ? 0

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
因为 y1 y2 ? (?mx 1 ? 2m)(?mx 2 ? 2m) ? m x1 x2 ? 2m ( x1 ? x2 ) ? 4m
2 2 2

? (1 ? m 2 ) x1 x2 ? 2m 2 ( x1 ? x2 ) ? 4m 2 ? 0 ? (1 ? m 2 )(4m 2 ? 3) ? 8m4 ? 4m 2 (m2 ? 3) ? 0
? m2 ? 3 5

2 2 即 7m ? 3 ? 12m ? 0

与m 2 ? 3矛盾,? 不存在

30、 (1)由题意, x ? 0, b ? 4000 ,所以 C ( x) ? 500 x ? 4000

P( x) ? R( x) ? C ( x) ? 3000 x ? 20 x 2 ? 500 x ? 4000 ? ?20 x 2 ? 2500 x ? 4000, 0 ? x ? 100
P( x) ? ?20( x ? 125 2 ) ? 74125 ( 0 ? x ? 100 , x ? N ) ,所以 x ? 62 或 x ? 63 2

P( x)max ? P(62) ? P63) ? 74120 (百元)
(2) MP( x) ? P( x ? 1) ? P( x) ? ?40 x ? 2480 ( 0 ? x ? 99 , x ? N )

10

边际函数为减函数, 说明随着产量的增加, 每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少; 当 x ? 0 时,边际函数取得最大值为 2480,说明生产第一台的利润差最大;当 x ? 62 时, 边际函数为零,说明生产 62 台时,利润达到最大 31、 (1) a1 ? 2 , 2 ? 2Sn ? 3an 2 ? 2Sn?1 ? 3an?1 (n ? N ? ) 所以 2an?1 ? 3an?1 ? 3an 即:

an?1 ?3 an

(n ? N ? ) 恒成立 所以, ?an ? 为以 2 为首项,公比为 3 的等比数列。

? 1 ? (2) bn ? ? 2 ? 3n ? 2 ? ? n
① b1 ? 2? , ? ?

n ?1 n?2

2 ? 3n?2 2 ? 3n?2 1 ;② n ? 2 时, . ? (1 ? n)? , ? ? 2 n n(n ? 1)

2 ? 3n?2 4 ? 3n?2 (n ? 1) 令 f ( n) ? , f (n ? 1) ? f (n) ? ? 0(n ? 2) n(n ? 1) n(n ? 1)(n ? 2)
所以, f (n) ?

2 ? 3n?2 1 1 ( n ? 2 )为递增数列 ( f (n)) min ? ( n ? 2) ,从而 ? ? 3 3 n(n ? 1)
1 1 ,所以 ? 的最大值为 . 3 3

由①,②知 ? ?

32、 (1)设动点为 P( x,y ) , 依据题意,有

( x ? 1)2 ? y 2 x2 2 ? y 2 ? 1. ,化简得 ? 2 | x?2| 2

因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是:

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. 理由: 由题意可知, 当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时, 不合题意, 故可设直线 l :x ? my ? 1 , 如图所示.

? x2 ? y 2 ? 1 ,可化为 (2 ? m2 ) y 2 ? 2my ?1 ? 0 , 联立方程组 ? ?2 ? x ? my ? 1 ?
2m ? y1 ? y2 ? ? 2 ? m 2 .又 则点 A( x1,y1 )、 B( x2, y2 )的坐标满足 ? ? ?y y ? ? 1 1 2 ? 2 ? m2 ?

AM ? l1 、 BN ? l1 ,可得点

M (?2,y1 ) 、 N (?2,y2 ) .
点与圆的位置关系, 可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断, 也可以计算点与直径形
11

成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断.

???? ? ??? ? ?? ? ? 因 FM ? (?1 则F ,y1 ) , FN ? (?1 ,y2 ) , MF N ?

?? (1 y,)( ?? )? 1 1 1 y , 2 ? yy

12

=

1 ? m2 ? 0. 于 2 ? m2

是, ?MFN 为锐角,即点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. (3)依据(2)可算出 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? ?

4 , 2 ? m2

2 ? 2m 2 x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? , 2 ? m2
则 S1S3 ?

1 1 ? m2 1 1 1 1 ( x1 ? 2) | y1 | ? ( x2 ? 2) | y2 | ? ? [ x x ? 2( x ? x ) ? 4] , ? 1 2 1 2 2 2 4 2 ? m2 2 (2 ? m2 )2

1 ? m2 1 1 2 S2 ? ( | y1 ? y2 | ?1) 2 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? 2 . 2 4 (2 ? m2 )2
2 所以, S2 ? 4S1S3 ,即存在实数 ? ? 4 使得结论成立.对进一步思考问题的判断:正确.

12


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