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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第3章 第6节 正弦定理和余弦定理课件 理 苏教版


固 基 础 · 自 主 落 实

启 智 慧 · 高 考 研 析

第六节
提 知 能 · 典 例 探 究

正弦定理和余弦定理
课 后 限 时 自 测

内容 考纲 传真 正弦定理、 余弦 定理及其应用

要求 A B C √

1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理
a b = sin A sin B c sin C 2R

余弦定理
2 2 a2=b +c -2bccos_A ,

内容

b2=c2+a2-2cacos_B , c2=a2+b2-2abcos C

①a= 2Rsin_A , b= 2Rsin_B c= 2Rsin_C 变形形式 , ;
b2+c2-a2 cos A= ; 2bc c2+a2-b2 2ca cos B= ; a2+b2-c2 cos C= 2ab

②a∶b∶c= sin A∶
sin B∶sin C ;

a+b+c ③ sin A+sin B+sin C a = sin A

①已知两角和 任一边,求另一 ①已知三边, 求 角和其他两条 解决 边; 问题 ②已知两边和 其中一边的对 各角; ②已知两边和 它们的夹角, 求 第三边和其他

角,求另一边和 两个角 其他两角

2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b A 为钝 角或直 角

解的 个数

一解

两解

一解

一解

3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 acsin B (2)S= bcsin A= 2 = 2absin C 2



1 (3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径). 2

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1)在△ABC 中,∠A>∠B 必有 sin A>sin B.( )

(2)在△ABC 中的六个量中,若已知三个量,则可求另外三个 量.( ) )

(3)在△ABC 中, 若 b2+c2>a2, 则△ABC 为锐角三角形. (

(4)在△ABC 中,若 A=60° ,a=4 3,b=4 2,则∠B=45° 或∠B=135° .( )

[解析] (1)中,sin A>sin B?a>b?∠A>∠B,(1)正确. 在(2)中, 已知三个量中至少有一个边, 才可求另外三个量, (2) 不正确. 在(3)中,A 为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形.(3)不正确. 在(4)中,a>b?∠B<∠A,则∠B=45° ,(4)不正确.

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

2.(教材习题改编)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B=________.

[ 解析 ]

a b bsin A 由正 弦定理,知 = ,∴ sin B = = sin A sin B a

10sin 60° 3 = . 15 3 ∵a>b 且∠A=60° ,∴∠B<∠A=60° ,∴cos B>0, 6 ∴cos B= . 3 6 [答案] 3

1 3.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= 则△ABC 的面积 3 为________.
1 [解析] 由 cos C= 得 sin C= 1-cos2 C= 3
?1? ? ?2 2 2 1-?3? = . 3 ? ?

1 1 2 2 ∴S△ABC= absin C= ×3 2×2 3× =4 3. 2 2 3
[答案] 4 3

4.(2014· 广东高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别 a 为 a,b,c,已知 bcos C+ccos B=2b,则 =________. b

[解析] 因为 bcos C+ccos B=2b, a2+b2-c2 a2+c2-b2 所以 b· +c· =2b, 2ab 2ac a 化简可得 =2. b

[答案] 2

2 5.在△ABC 中,a= 5,b= 3,sin B= ,则符合条件的 2 三角形有________个.

[解析] ∵asin B<b<a,∴符合条件的三角形有两个.
[答案] 2

考向 1

判定三角形的形状

【典例 1】 在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对 边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状.

[解]

(1)由已知,根据正弦定理得

2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A, 1 ∴bc=-2bccos A,cos A=- . 2 2 又 0<A<π,∴A= π. 3

(2)由(1)知 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, ∴sin2A=(sin B+sin C)2-sin Bsin C. 3 又 sin B+sin C=1,且 sin A= , 2 1 1 ∴sin Bsin C= ,因此 sin B=sin C= . 4 2 又
? π? ? B、C∈?0,2? ?,故 ? ?

B=C.

所以△ABC 是等腰的钝角三角形.

【规律方法】 1.(1)先用正弦定理化边角混合式为边的关系式,再用余弦定 理求角. (2)利用正弦定理把(1)中关系式 a2=b2+c2+bc 化为角的关系 式.按角判断三角形形状. 2.(1)判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找 出角之间的关系. (2) 化角为边,通过代数变形找出边之间的关 系.正(余)弦定理是转化的桥梁. (2)无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式;要移项提取 公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.

【变式训练 1】 已知△ABC 的内角 A, B, C 成等差数列且 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 则下列命题中正确的有________(填 所有正确命题序号). π ①B= ; 3 ②若 a,b,c 成等比数列,则△ABC 为等边三角形; ③若 a=2c,则△ABC 为锐角三角形; ④若 tan A+tan C+ 3>0,则△ABC 为钝角三角形.

[解析] 对于①,∵A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B,又 A π +B+C=π,∴B= ,故①正确. 3 对于②由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac, π 又 b =ac,∴a +c -ac=ac 即(a-c) =0,∴a=c,又 B= , 3
2 2 2 2

∴△ABC 为等边三角形,故②正确. 对于③,若 a=2c,则 b2=a2+c2-2accos B=4c2+c2-2c2=3c2,∴b= 3c,此时满 足 a2=b2+c2 说明△ABC 是直角三角形,故③不正确.

π 2π 对于④由 B= 得 A+C= .∴tan A+tan C=tan (A+C)(1- 3 3 tan Atan C)=- 3(1-tan Atan C) =- 3+ 3tan Atan C. ∴tan A+tan C+ 3= 3tan Atan C. 若 tan A+tan C+ 3>0 则 tan Atan C>0. ∴tan A,tan C 同号,又在△ABC 中,A,C 不能同为钝角. ∴tan A,tan C 只能同正,故 A、C 都是锐角. ∴△ABC 为锐角三角形,故④不正确.

[答案] ①②

考向 2

与三角形面积有关的问题

【典例 2】 (1)(2014· 课标全国卷Ⅱ改编)钝角三角形 ABC 的 1 面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=________. 2 (2)(2014· 江西高考改编)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边 π 分别为 a,b,c,若 c =(a-b) +6,C= ,则△ABC 的面积是 3
2 2

________.

1 1 [解析] (1)S△ABC= AB· BCsin B= ×1× 2 2 2 1 sin B= , 2 2 ∴sin B= ,若 B=45° ,则由余弦定理得 AC=1,∴△ABC 2 为直角三角形,不符合题意,因此 B=135° ,由余弦定理得 AC2= AB +BC -2AB· BCcos B=1+2-2×1× ∴AC= 5,符号题意.
2 2

? 2×? ?- ?

2? ? =5, 2? ?

(2)c2=(a-b)2+6,即 c2=a2+b2-2ab+6, π ∵C= ,由余弦定理得 c2=a2+b2-ab, 3

① ②

1 1 3 3 3 由①②得 ab=6,∴S△ABC= absin C= ×6× = . 2 2 2 2

[答案] (1) 5

3 3 (2) , 2

【规律方法】 1.(1)先利用面积公式求 B,再由余弦定理求 AC,但要注意 B 为钝角.(2)由已知条件及余弦定理,先求出 ab,进而利用面积公 式求出面积. 1 2.(1)面积公式 S= absin C 涉及边、角,容易和正、余弦定 2 理联系起来.(2)选择余弦定理和面积公式时,一般应选择角确定 的一组.

【变式训练 2】 (2013· 课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

[解]

(1)由已知及正弦定理得 ①

sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4



1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4 π 由已知及余弦定理得 4=a +c -2accos . 4
2 2

又 a2+c2≥2ac, 4 故 ac≤ ,当且仅当 a=c 时,等号成立. 2- 2 因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

考向 3 命题视角

利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点)

解三角形是高考考查的重要内容,主要命题角度

有:(1)已知边、角关系求边或角;(2)与三角函数、平面向量综合; (3)与数列、不等式综合.

【典例 3】 (1)(2014· 江苏高考)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2 sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是________. (2)(2014· 安徽高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别 是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. ①求 a 的值; ②求
? π? ? sin?A+4? ?的值. ? ?

[思路点拨] (1)先用正弦定理化角的关系式为边的关系式,结合余弦定理 用边表示 cos C,然后用基本不等式求最值. (2)①用正、余弦定理化角的关系式为边的关系式,列出关于 a 的方程. ②用余弦定理求 cos A,进而利用平方关系求 sin A.

[解析] (1)∵sin A+ 2sin B=2sin C, ∴由正弦定理可得 a+ 2b=2c. a2+b2-c2 4a2+4b2-?2c?2 ∴cos C= = 2ab 8ab 4a2+4b2-?a+ 2b?2 3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab = = ≥ = 8ab 8ab 8ab 6- 2 , 4 6- 2 当且仅当 3a= 2b 时等号成立, 故 cos C 的最小值为 . 4
[答案] 6- 2 4

(2)①因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. a2+c2-b2 由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3.

b2+c2-a2 9+1-12 1 ②由余弦定理得 cos A= = =- . 2bc 6 3 由于 0<A<π,所以 sin A= 1-cos A= 故
? π? ? sin?A+4? ?=sin ? ?
2

1 2 2 1- = . 9 3

? π π 2 2 2 ? 2 ? 1? Acos +cos Asin = × +?-3?× = 4 4 3 2 ? ? 2

4- 2 . 6

【通关锦囊】 1.选用正弦定理或余弦定理的原则 在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适 合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息. 2.(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. (2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它 边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两 解,注意“大边对大角”在判定中的应用.

3.为顺利解决一些综合性问题应熟记一些常用定义定理及公 式等,如平面向量数量积的定义式及坐标式,完全平方公式、正、 余弦定理、三角变换公式,基本不等式等.

【变式训练 3】 (1)(2014· 陕西高考)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. ①若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); ②若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (2)(2013· 山东高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 7 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B= . 9 ①求 a,c 的值; ②求 sin(A-B)的值.

[ 解]

(1)①∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.

由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A +C)] =sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). ②∵a,b,c 成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cos B= = ≥ = , 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当 a=c 时等号成立. 1 ∴cos B 的最小值为 . 2

(2)①由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 7 又 b=2,a+c=6,cos B= , 9 所以 ac=9,解得 a=3,c=3.

4 2 ②在△ABC 中,sin B= 1-cos B= , 9
2

asin B 2 2 由正弦定理得 sin A= = . b 3 因为 a=c,所以 A 为锐角. 1 所以 cos A= 1-sin A= . 3
2

10 2 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= 27

掌握 1 条规律 在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 利用 2 种途径 判定三角形的形状,主要有两种途径: (1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换. 勿忘 2 点注意 1.已知两边及一边的对角,利用正弦定理求其 它边或角.可能有一解、两解、无解; 2.在判定三角形形状时, 等式两边一般不要约去公因式,以免漏解.

规范解答之 5

运用正、余弦定理解三角形

(14 分)(2014· 苏锡常镇调研)在△ABC 中,设角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c,满足 A=B+30° . (1)若 c=1,b=sin B,求角 B; 1 (2)若 a +c - ac=b2 求 sin A 的值. 2
2 2

——————[规范解答示例]——————— c b (1)由正弦定理,得 = , sin C sin B ∵c=1,b=sin B,∴sin C=1. ∵0° <C<180° ,∴C=90° . ∵A+B+C=180° ,∴A+B=90° . 又∵A=B+30° ,∴B=30° (6 分) (2 分) (4 分)

1 (2)∵a +c - ac=b2, 2
2 2

a2+c2-b2 1 ∴cos B= = . 2ac 4 ∵0° <B<180° , 15 ∴sin B= . 4 3 1 ∴sin A=sin(B+30° )= sin B+ cos B, 2 2 3 15 1 1 3 5+1 = × + × = . 2 4 2 4 8

(8 分)

(10 分) (12 分) (14 分)

————[ 构建答题模板] —————

第一步 由正弦定理及已知条件求角 C. ? 第二步 由三角形内角和定理及已知条件求 B. ?

第三步 由余弦定理及已知条件求 cos B. ? 第四步 由同角三角函数基本关系式求 sin B. ? 第五步 由两角和的正弦公式及已知条件求 sin A.

【智慧心语】 易错提示:(1)漏写角的取值范围导致失分. (2)应用正、余弦定理时不会选择公式. (3)记错和角的正弦公式.

防范措施:(1)三角函数值与角的取值范围、定角. (2)一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式要考虑用 余弦定理; 如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时, 则考 虑用正弦定理,以上特征均不明显时,则可能正、余弦定理都要用 到. (3)运用余弦定理时要注意整体思想. (4)熟练掌握三角变换公式.

【类题通关】 (2014· 苏州期末检测)在△ABC 中,设角 A,B, 1 C 的对边分别为 a,b,c 且 acos C+ c=b. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 15,b=4,求边 c 的大小.

[解]

1 (1)由正弦定理和 acos C+ c=b 得 2

1 sin Acos C+ sin C=sin B 2 ∵sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 1 ∴ sin C=cos Asin C. 2 1 ∵sin C≠0,∴cos A= , 2 π ∵0<A<π,∴A= . 3

(2)由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A, ∵a= 15,b=4, 1 ∴15=16+c -2×4×c× ,即 c2-4c+1=0. 2
2

∴c=2± 3.


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