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复旦附中自主招生考试数学试题(整理人:谭峰)


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复旦附中自主招生考试数学试题
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分) 1. 若 M ? 3x ? 8 xy ? 9 y ? 4 x ? 6 y ? 13 ( x, y 是实数) ,则 M 的值一定是( A. 零 B. 负数 C. 整数 ) D. 整数
2 2



2. 已知 sin ? ? cos ? ,那么锐角 ? 的取值范围是( A. 30? ? ? ? 45? C. 45? ? ? ? 60? B. 0? ? ? ? 45? D. 0? ? ? ? 90?

3. 已知实数 a 满足 | 2008 ? a | ? a ? 2009 ? a ,那么 a ? 20082 值是( A. 2009 B. 2008 C. 2007 D. 2006



4. 如图是一个正方体的表面展开图,已知正方形的每一个面都有一个实数,且相对面上的 两个数互为倒数,那么代数式

a ? b 的值等于( c
C.



A. ?

3 4

B. ?6

3 4

D. 6

5. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像如图所示,Q(n, 2) 是图像上的一点,且 AQ ? BQ ,则

2

a 的值为(
A. ?

) B. ?

1 3

1 2

C. ?1

D. ?2

6. 矩形纸片 ABCD 中, AB ? 3cm, BC ? 4cm ,现将纸片折叠压平,使 A 与 C 重合,设折 痕为 EF ,则重叠部分 ?AEF 的面积的等于( A. 7. 若 ) D.

73 8

B.

75 8

C.

73 16

75 16


a b c ? ? ? t ,则一次函数 y ? tx ? t 2 的图像必定经过的象限是( b?c c?a a?b
B. 第一、二、三象限 D. 第三、四象限

A. 第一、二象限 C. 第二、三、四象限

8. 如图, 以 Rt?ABC 的斜边 BC 为一边在 ?ABC 的同侧作正方形 BCEF , 设正方形的中心 为 O ,连结 AO ,如果 AB ? 4, AO ? 6 2 ,那么 AC 的长等于( A. 12 资料整理人 谭峰 B. 16 C. 4 3 D. 8 2 )

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二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 9. 已知 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,那么代数式 x 3 ? 2 x ? 1 的值是 ; ;

10. 已知 x, y, z 为实数,且 x ? y ? z ? 5, xy ? yz ? zx ? 3 ,则 z 的取值范围为

11. 已知点 A(1,3), B (5, ?2) , 在 x 轴上找一点 P , 使 | AP ? BP | 最大, 则满足条件的点 P 的 坐标是 ;

12. 设 x1 , x2 , x3 ,..., x2007 为实数,且满足 x1 x2 x3 ... x2007 ? x1 ? x2 x3 ...x2007 ? x1 x2 ? x3 ...x2007 ?

... ? x1 x2 x3 ...x2006 ? x2007 ? 1 ,则 x2000 的值是
13. 对于正数 x ,规定 f ( x) ?



x 1 1 1 1 1 ,计算 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f ( ) ? f ( ) ? 1? x 100 99 98 3 2


f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (98) ? f (99) ? f (100) ?
2

14. 如果关于 x 的方程 x ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 1 ? 0 有一个小于 1 的正数根,那么实数 a 的取 值范围是 ;

15. 在 Rt?ABC 中, ?C ? 90?, AC ? 3, BC ? 4 ,若以 C 点为圆心, r 为半径所作的圆与 斜边 AB 只有一个公共点,则 r 的取值范围是 三、解答题(本大题共 60 分) 16.(本小题 10 分)某超市去年 12 月份的销售额为 100 万元,今年 2 月份的销售额比今年 1 月份的销售额多 24 万元, 若去年 12 月份到今年 2 月份每个月销售额增长的百分数相同, 求: (1)这个相同的百分数; (2)2 月份的销售额; ;

17.(本小题 13 分)如图, AB ∥ CD , AD ∥ CE , F , G 分别是 AC 和 FD 的中点,过 G 的直线依次交 AB, AD, CD, CE 于点 M , N , P, Q ,求证: MN ? PQ ? 2 PN ;

资料整理人

谭峰

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1 2 x ? 1 上的任意一点,记点 P 到 x 轴距 4

18.(本小题 13 分)如图,已知点 P 是抛物线 y ? 离为 d1 ,点 P 与点 F (0, 2) 的距离为 d 2 ; (1)证明: d1 ? d 2 ;

(2)若直线 PF 交此抛物线于另一点 Q(异于 P 点) ,试判断以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位 置关系,并说明理由;

19.(本小题 14 分)如图已知 ?ABC 中, AB ? a ,点 D 在 AB 边上移动(点 D 不与 A, B 重 合) , DE ∥ BC ,交 AC 于 E ,连结 CD ,设 S ?ABC ? S , S ?DEC ? S1 ; (1)当 D 为 AB 中心时,求 S1 : S 的值; (2)若 AD ? x ,

S1 ? y ,求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; S 1 S 成立?若存在,求出 D 点位置;若不存在,说明理由; 4

(3)是否存在点 D ,使 S1 ?

20.(本小题 10 分)已知 y ? m ? m ? 4 ,若 m 为整数,在使得 y 为完全平方数的所有 m 的 值中,设 m 的最大值为 a ,最小值为 b ,次小值为 c ; (注:一个数如果是另一个整数的完 全平方,那么我们就称这个数为完全平方数) (1)求 a, b, c 的值; (2)对 a, b, c 进行如下操作:任取两个求其和再除以 2 ,同时求其差再除以 2 ,剩下的 另一个数不变,这样就仍得到三个数,再对所得的三个数进行如上操作,问能否经过若干次 上述操作,所得三个数的平方和等于 2008?证明你的结论;

2

资料整理人

谭峰


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