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编号46 2.2椭圆及其标准方程


——“传说中的”飞碟

? 太阳系行星的运动

土星 金星 太阳 地球 月亮

p3

木星

探究问题一 椭圆的定义

数学实验
? (1)取一条细绳, ? (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 ? (3)用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移 动看看画出的 图形

数学实验
? (1)取一条细绳, ? (2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2 ? (3)用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移 动看看画出的 图形

思 1.在椭圆形成的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动 考 的?
2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? 3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系?

请你归纳出椭圆的定义?

(1)由于绳长固定,所以点M到两 个定点的距离和是个定值 (2)点M到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离

M

F 1

F 2

根据上面的内容你更给 出椭圆的定义吗?

椭圆的定义:
椭圆定义的文字表述:

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。

? 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 ? 两焦点之间的距离叫做焦距(2C)。
椭圆定义的符号表述: M F2 F1

MF1 ? MF2 ? 2a
(2a>2c)

? 回忆如何求圆的方程的? 以圆心O为原点,建立直角坐标系 设圆上任意一点P(x,y) y
?

P ( x, y )
x

r
O
?

? OP ? r 2 2 ? x ?y ?r
两边平方,得

x ?y ?r
2 2

2

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y M M
OF2

y F2 xx x
O

x F1

x

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”

y

探究问题二

标准方程的推导:
F1

M ( x, y )
O
F2

1.建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段 F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。

x

2.设点 设M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为2c(c>0),M 与F1、F2的距离的和等于常数2a,则F1(-c,0)、F2(c,0)。 3.列式 由定义知: MF1 ? MF2 ? 2a
? MF1 ?

(x ? c )2 ? y 2

MF2 ?

(x - c )2 ? y 2
? 2a
2

(x ? c )2 ? y 2 ? (x - c )2 ? y 2
4.化简 将方程移项后平方得:

(x ? c )

2

? y ? 4a - 4a
2 2

(x - c )

2

? y ? (x - c ) ? y 2
2

a 2 - cx ? a

(x - c )2 ? y 2
2

两边再平方得:

a4 - 2a2cx ? c2 x2 ? a2 x2 - 2a2cx ? a2c2 ? a2 y 2

(a

- c2 )x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 - c2 )

y
M ( x, y )

(a

2

- c2 )x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 - c2 )

2 2 2 a ? 2 c , 即 a ? c , a c ?0 由椭圆定义知:

F1

O

F2

x

设a 2 - c 2 ? b 2 (b ? 0)
b2 x2 ? a 2 y 2 ? a2b2
2 2

得:

x2 y2 ? 2 ?1 两边同除以 a b 得: 2 a b 这个方程叫做椭圆的标准方程,

(a ? b ? 0)

它所表示的椭圆的焦点在x轴上。 如果椭圆的焦点在y轴上,用类似的方法,可得出它 的方程为: y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b 它也是椭圆的标准方程。

探究问题三 标准方程的应用
y
M

y
F2
F
M

F

1

o

2

x

o
F1

x

x y ( ) ? ? 1 a ? b ? 0 2 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

2

2

快速练习:判定下列椭圆的焦
点在那条轴上?并指出焦点坐标。

x y (1) ? ? 1 答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0) 25 16
x y (2) ? ?1 144 169
2 2

2

2

答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5)

判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则: 哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.

x

例1: 已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到
两个焦点的距离之和为10, 求:该椭圆的标准方程 . 解:

? 2a ? 10,2c ? 8, ? a ? 5, c ? 4. ?b ? a - c ? 5 - 4 ? 9
2 2 2 2 2

因为椭圆的焦点在x轴上,所以它 的标准方程为:

求椭圆的标准方程的关键:

1.确定焦点在那条轴上。 2.求出a,b的值。

例2:求下列椭圆的焦点和焦距。
x y (1) ? 5 4
2 2

?1

解:因为5>4,所以椭圆的焦点 2 2 在x轴上,并且 a ? 5, b ? 4 故: c ? a - b ? 1, c ? 1,2c ? 2
2 2 2

所以椭圆的焦点为: F1 (-1,0), F2 (1,0) 焦距为2.

例2:求下列椭圆的焦点和焦距。
(2)

2x ? y
2

2

? 16
x2 y2 ? ?1 8 16

解:将方程化成标准方程为:
c 2 ? a 2 - b2 ? 8,

因为:16>8,所以椭圆的焦点在y轴上,并且
a 2 ? 16, b2 ? 8, 故

c ? 2 2,2c ? 4 2
2 ), F2 (0,2 2 )

所以椭圆的焦点为: F1 (0 - 2 焦距为: 4 2 .

分组练习:求椭圆的焦点坐标与焦距
x y 答:焦点(-3,0)(3,0) (1) ? ?1 焦距 2c=6 15 6
x y 答:焦点(0,-12)(0,12) (2) ? ?1 25 169 焦距 2c=24
2 2

2

2

练习2:
写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) a ? 4, b ? 1 ,焦点在x轴上; (2)a ? 4, c ? 15 ,焦点在y轴上;

答 案:

x2 y2 y2 x2 (1). ? ? 1 (2) ? ?1 16 1 16 1

小 结:

y
M ( x, y )
F1

y
F
1 M

O

F2

x

o
F
2

x

1、椭圆的定义.
2、字母a,b,c之间的大小关系. 3、在求椭圆方程的关键是什么?

课后练习
1. :下列方程哪些表示椭圆?

x2 y2 (1) ? ?1 (4)9 x 2 - 25y 2 - 225 ? 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 2) ? ?1 ( 5 ) 3 x 2 y ? -1 25 16 x2 y2 (3) 2 ? 2 ?1 m m ?1

2、填空:

x2 y2 ? ?1 已知椭圆的方程为: ,则 25 16 a=_____ ,c=_______ ,焦点坐标 5 ,b=_______ 4 3 6 为:____________ 若CD为过 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 左焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C

|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2

若C为椭圆上一点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,

并且CF1=2,则CF2=___.

3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

(1 4)已知a ? 6, c ? 1的椭圆的标准方程为
x y ? ?1 36 35
2 2

x y ? ?1 35 36

2

2

小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c) 椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有 两种情形,必须分类求出

x2 y2 2)椭圆 (5 ? ? 1的焦距等于2, 则m的值为 m 4

5或3

4:平面内两个定点的距离是8,写出到这两个定点距 离之和是10的点的轨迹方程。 解:这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点,用 F1、 F2表示,取过点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平 分线为y 轴建立直角坐标系。 ∵2a=10 2c=8 ∴a=5

c=4

y

b2=a2-c2=9, b=3
因此这个椭圆的标准方程是:
x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 即 ? ?1 2 25 9 5 3

A B o C x

定义法求轨迹方程。


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