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山东省鱼台一中12-13学年高二9月月考数学文试题


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鱼台一中 2012-2013 学年高二 9 月月考 数学(文)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 若 a , b , c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是
c
2





A. a ? c ? b ? c

B. ac ? bc

C.

a?b

? 0

D. ( a ? b ) c ? 0
2

2.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A. 3.直线
x
2

) D. 4 3 )
2 2

3

B. 2 3
y b
2

C. 3 3

?

=1 在 y 轴上的截距是(

B.± b C.- b D. b 4.对任意实数 a、b、c,在下列命题中,真命题是( ) A. ac>bc”是“a>b”的必要条件 “ B. ac=bc”是“a=b”的必要条件 “ C. ac>bc”是“a>b”的充分条件 “ D. ac=bc”是“a=b”的充分条件 “ 4 5. 不等式 ≤x-1 的解集是( ) x-1 A.(-∞,-1]∪[3,+∞) B.[-1,1)∪[3,+∞) C.[-1,3] D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 6.下列不等式一定成立的是( ) A. lg ( x ?
2

a A.| b |

1 4

) ? lg x ( x ? 0 )

B. sin x ?

1 sin x

? 2( x ? k? , k ? Z ) 1 ? 1( x ? R )

C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R )
2

D. )

x ?1
2

7.已知 ab≠0,那么 >1 是 <1 的(

a b

b a

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 8.下列说法错误的是( ) 2 2 A.命题“若 x -4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是: “若 x≠3,则 x -4x+3≠0” B. x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件 “ C.若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题 2 D.命题 p: x0∈R 使得 x0+x0+1<0” “? ,则 ? p: x∈R,均有 “? x2+x+1≥0” 9.已知函数 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的图像如图所示,则不等式
f (x) g (x) ? 0 的解集是(

)

?

??
D. ( ? 15, ? 5] ? [5, 25]

A. [5, 2 5]

B. ( ? 5, 2 5]

C. ( ? 15, ? 5) ? (5, 25]

10.下列命题正确的个数为 ( ) ①已知 ? 1 ? x ? y ? 1,1 ? x ? y ? 3 ,则 3 x ? y 的范围是 ?1, 7 ? ; ②若不等式 2 x ? 1> m ( x 2 ? 1) 对满足 ③如果正数 a , b 满足 ab ④a
? log
1 3

m ? 2

( 的所有 m 都成立,则 x 的范围是

7 ?1 2

,

3 ?1 2

);

? a?b?3

,则 ab 的取值范围是 ?8 , ?? ?

2 , b ? log

1 2

1 0 .5 3, c ? ( ) 3

大小关系是 a > b > c C.3 D.4

A.1

B.2

11. 平面 α 截球 O 的球面所得圆的面积为 π ,球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为 ( ) A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π 12.如图甲所示,三棱锥 P ? A B C 的高 P O ? 8, A C ? B C ? 3, ? A C B ? 30 ? , M 、 N 分别在 BC 和 PO 上, C M ? x , P N ? 2 x ( x ? (0, 3]) , 且 图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥 N ? A M C 的体积 V 与 x 的变化关系,其中正确的是( )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分, 13. 过点 P(1,2)作直线 l,使直线 l 与点 M(2,3)和点 N(4,-5)距离相等,则直线 l 的方程为: 14. 若椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 过抛物线 y ? 8 x 的焦点,且与双曲线 x ? y ? 1 有相同的焦点,则该椭圆
2 2 2

的方程为 。 15.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,直线 BD1 与平面 A1B1CD 所成角的正切值是 16.下面给出的几个命题中:



①若平面 ? //平面 ? , A B , C D 是夹在 ? , ? 间的线段,若 A B // C D ,则 A B ? C D ; ② a , b 是异面直线, b , c 是异面直线,则 a , c 一定是异面直线; ③过空间任一点,可以做两条直线和已知平面 ? 垂直; ④平面 ? //平面 ? , P ? ? , P Q // ? ,则 P Q ? ? ; ⑤若点 P 到三角形三个顶点的距离相等,则点 P 在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外 心; ⑥ a , b 是两条异面直线, P 为空间一点, 过 P 总可以作一个平面与 a , b 之一垂直,与另一个 平行。 其中正确的命题是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

?

??

17. (本小题满分 10 分)过点 A ( ? 5, ? 4 ) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形 面积为 5 ,求直线 l 的方程

18.(本小题满分 12 分)已知三条直线 l1 : x ? 2 y 形,再求过这三个交点的圆的方程.

?0

, l 2 : y ? 2 ? 0, l3 : 2 x ?

y ?1 ? 0

两两相交,先画出图

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 平 面 PAD ⊥ 平 面 A B C D, ABCD 为 正 方 形 ,
? PAD ? 90
0

, 且

PA ? AD ? 2, E 、 F 、 G 分别是线段 PA 、 PD 、 CD 的中点。

(1)求证: PB //平面 EFG ; (2)求异面直线 EG 与 BD 所成角的余弦值。

20.(本小题满分 12 分) 如图所示,直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面
ABCD 是直角梯形, ?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 .

(1)求证: AC ? 平面 BB1C1C ; (2)在 A1B1 上是否存一点 P ,使得 DP 与平面 平行?证明你的结论.
ACB1

?

??

21. (本小题满分 12 分)已知以点 C ( t ,

2 t

)( t ? R , t ? 0 )

为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、 A ,与 y 轴交于

点 O 、 B ,其中 O 为原点. (1)求证:△ A O B 的面积为定值; (2)设直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与圆 C 交于点 M 、 N , 若 | O M

|? | O N | ,求圆 C

的方程.

22. (本小题满分 12 分)如下图所示,已知以点 A ( ? 1, 2 ) 为圆心的圆与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.过 点 B ( ? 2, 0 ) 的动直线 l 与圆 A 相交于 M , N 两点, Q 是 M N 的中点,直线 l 与 l1 相交于点 P . (1)求圆 A 的方程; (2)当 | M N
???? ??? ? | ? 2 19

时,求直线 l 的方程.

(3) B Q ? B P 是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.

参考答案: 1-5 DACBB 6-10 CACCB 11-12 BA 13.3x+2y—7=0 或 4x+y—6=0

?

??

14.

x

2

?

y

2

?1

4

2

15.

2

16.正确的是①④⑤ 17.解:设直线为 y ? 4 ? k ( x ? 5), 交 x 轴于点 (
1 2
2

4 k

? 5, 0 ) ,交 y 轴于点 (0, 5 k ? 4)

S ?

?

4 k

? 5 ? 5 k ? 4 ? 5, 4 0 ?

16 k
2

? 25k ? 10

得 25 k ? 30 k ? 16 ? 0 ,或 25 k ? 50 k ? 16 ? 0 解得 k ?
2 5 ,或 k ? 8 5

? 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 ,或 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 为所求。

18.解

?x ? 2y ? 0 ? ?y ? 2 ? 0

4分

? l1 与 l 2 ? l2

交点 A ( ? 4, ? 2)
3 2 , ?2)

?2x ? y ? 1 ? 0 ? ?y ? 2 ? 0

与 l 3 交点 B (

? l1 ? l 2

,故△ A B C 为直角三角形,
5 4 , ? 2 ), | A B ? | ? 4 ? 3 2 5 4 |? 11 2 ) ? ( y ? 2) ?
2 2

AB

中点为 ( ?

.
121 16

所求△ A B C 的外接圆方程为 ( x ?

19.(1)
MG // AD , AD // EF ,∴ MG // EF ,从而 MGEF 在同一个平面内 ????3 分 而在三角形 PAB 中, PB // EM , PB // 平面 EMGF ,
即 得 PB / /平 面 EFG

(Ⅱ) 作 B C 中 点 N , 连 接 N G ,
BD // NG ,所以 ? EGN 就是异面直线 EG 与 BD 的夹角,

?

??

取 N G 中 点 O ,连 接 A O, E O ,

由 已 知 , 可 求 得 EO=

EA ? AO =
2 2

11 2

, OG=

2 2

,EG=

EO ? OG = 6,
2 2

所以 c o s ? E G N = c o s ? E G O =

3 6

为所求.

20.(1)证明:直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 面
ABCD ,? BB1 ? AC

BB1 ? 平

又 ?BAD ? ?ADC ? 90? ,
AB ? 2 AD ? 2CD ? 2

∴ AC ?

2, ?CAB ? 45?,? BC ?

2,? BC ? AC

又 BB1∩BC=B? AC ? 平面 BB1C1C . (2)存在点 P , P 为 A1 B1 的中点可满足要求. 证明:由 P 为 A1 B1 的中点,有 PB1 // AB ,且 PB1 ? 又∵ CD // AB, CD ?
1 2 1 2 AB

AB,? CD // PB1 ,且 CD ? PB1 ,

∴ CDPB1 为平行四边形,? DP // CB1 又 CB1 ? 面 ACB1 , DP ? 面 ACB1 ,? DP // 面 ACB1 ? 21.(1)证明:由题设知,圆 C 的方程为 ( x ? t ) 2 化简得: x 2
? 2 tx ? y ?
2

? (y ?

2 t

) ?t ?
2 2

4 t
2

,

4 t

y ?0

,当 y
4 t

? 0 时, x ? 0

或 2 t ,则 A (2 t , 0) ;

当 x ? 0 时, y
?S
△ABC

? 0或

4 t

,则 B (0 ,
1 2 | 2 t |?| 4 t

),

=

1 2

| O A |?| O B |?

|? 4

为定值. 在 M N 的中垂线上,设 M N 的中点为 H ,则 C H
? MN

(2)解:?
?C

| O M |? | O N | ,则原点 O

,

、 H 、 O 三点共线,则直线 O C 的斜率
2

2 1 k ? t ? 2 ? ,? t ? 2 t t 2

或t

? ?2 .

? 圆心为 C (2,1)

或 C ( ? 2, ? 1) ,

?
? 圆C

??
2

的方程为 ( x ? 2) 2

? ( y ? 1) ? 5 或 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

, 到圆心的距离 d
? r

由于当圆方程为 ( x ? 2) 2

? ( y ? 1) ? 5
2

时,直线 2 x ?
2

y?4?0

,此时不满足直线与圆

相交,故舍去,? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 22. (1)设圆 A 的半径为 R . ? 圆 A 与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切,
?R ? | ?1 ? 4 ? 7 | 5 ? 2 5

? ( y ? 1) ? 5 .

.
? ( y ? 2) ? 20
2

?

圆 A 的方程为 ( x ? 1) 2

.

(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x ? ? 2 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,
?| M N |? 2 19 ,?| A Q |? 20 ? 19 ? 1 .
3 4

由 | A Q |?
? 直线 l

|k ?2| k ?1
2

? 1 ,得 k ?

.

的方程为 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 . ? 所求直线 l 的方程为 x ? ? 2 或 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 . (3)
???? ??? ? ? A Q ? B P , ? A Q ?B P ? 0

.
??? ??? ? ? ? B A ?B P
??? ?

???? ??? ? ??? ???? ??? ? ? ? B Q ?B P ? ( B A ? A Q ) ?B P

= B A ?B P ?A Q ?B P
5 2 )

??? ??? ???? ??? ? ? ?

.
5 2

当直线 l 与 x 轴垂直时,得 P ( ? 2, ?
???? ??? ??? ??? ? ? ? ? B Q ?B P ? B A ?B P ? ? 5

,则 B P

? (0, ?

??? ? ), 又 B A ? (1, 2 )

,

.
? k ( x ? 2)

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y 由?
? y ? k ( x ? 2 ), ? x ? 2 y ? 7 ? 0,

.

解得 P ( .
?5

?4k ? 7 1 ? 2k

,

?5k 1 ? 2k

)

.

??? ? ?5 ?5k ? BP ? ( , ) 1 ? 2k 1 ? 2k ???? ??? ? ??? ??? ? ? ? B Q ?B P ? B A ?B P ?

1 ? 2k

?

10k 1 ? 2k

? ?5 .

综上所述, B Q ?B P 是定值,且 B Q ?B P

???? ??? ?

???? ??? ?

? ?5

.


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