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直线平面平行的判定与性质


1.线面平行
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在面内找平行线

找线所在的面

2.面面平行
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找两条相交直线
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找两组相交直线
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考点 ? 大整合

1.牢记直线、平面平行的四个定理
文字语言 判 定 定 理 如果平面外一条直线和这个 平面内的一条直线平行,那 么这条直线和这个平面平行。 线线平行→则线面平行 图形语言 符号语言

l

?

a

性 质 定 理

一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与 此平面的交线与该直线平行 线面平行→则线线平行

[说明] 在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内.
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(2)平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 判 定 定 理 一个平面内的两条相 交直线与另一个平面 平行,则这两个平面 平行(简记为“线面 平行 面面平行”) 如果两个平行平面同 时和第三个平面相交, 那么它的交线平行 图形语言
a

符号语言

?
?

p

b

性 质 定 理

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2.活用平行间的三种转化关系

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有 关证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又 要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.

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考向大突破一:线面平行的判定与性质
例1:(2013·东北三校第一次联考)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面 ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1的中点,F是AB的中点,AC=BC=1,AA1=2. (1)求证:CF∥平面AB1E;(2)求三棱锥C-AB1E的高.
解析: (1)证明:取AB1的中点G,连接EG,FG,
A1 E G C1

∵F,G分别是AB,AB1的中点, ∵E为侧棱CC1的中点, ∴FG∥EC,FG=EC, ∴四边形FGEC是平行四边形,

B1

C
A

F

B

∴CF∥平面AB1E.

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例1:(2013·东北三校第一次联考)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面 ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1的中点,F是AB的中点,AC=BC=1,AA1=2. (1)求证:CF∥平面AB1E;(2)求三棱锥C-AB1E的高.
(2)∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC,
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC, ∵BB1∩BC=B,∴AC⊥平面EB1C,∴AC⊥CB1, A1 E

∴BB1⊥平面ABC.

C1

B1

C A

B

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归纳升华

线面平行的证明
(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面 内找到一条与已知直线平行的直线; (2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、 线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找 比例式证明两直线平行;
(3)注意说明已知的直线不在平面内,即三个条件缺一不可.

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变式训练1(2013· 无锡模拟)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 是矩形,E、F分别是AB、PD的中点,求证:AF∥平面PCE.

P F M E B A C D

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二、面面平行的判定与性质
例2(2013·陕西卷)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底 面中心,A1O⊥底面ABCD,AB=AA1= 2 . (1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1; D1 (2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积. C1
A1 D1 A1 D O B C O B1 C C1 B1

A
D A

B

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面面平行的证明方法 (1)利用定义:即判断两个平面没有公共点. (2)利用面面平行的判定定理. (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行. (4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行 于第三个平面,则这两个平面平行.

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变式训练2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD 的中心,P是DD1的中点,若Q是CC1上的中点.证明:平面 D1BQ∥平面PAO. 证明:∵Q为CC1的中点,P为DD1的中 点, ∴QB∥PA. ∵P,O分别为DD1,DB的中点, ∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面PAO,PO?平面PAO, QB?平面PAO,PA?平面PAO, ∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO, 又D1B∩QB=B,D1B,QB?平面D1BQ, ∴平面D1BQ∥平面PAO.

D1 A1 P B1

C1 Q

D

C O B

A

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三、线面平行中的探索性问题
例3(2013·南昌第一次模拟)如图,多面体ABC-A1B1C1中,三角形ABC是边 长为4的正三角形,AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面ABC,AA1=BB1=2CC1=4. (1)若O是AB的中点,求证:OC1⊥A1B1; (2)在线段AB1上是否存在一点D,使得CD∥平面A1B1C1?若存在,确定点D的 位置;若不存在,请说明理由.
C1 解析 :(1) 证明:取线段 A1B1的中点 E,连接 OE的中点, ,C1E,CO, (2)设 OE ∩AB1=D,连接 CD,则点 D是AB 1 1 ∴ ED∥AA1,ED= AA 1 已知等边三角形 ABC 4, 2 的边长为 1 AA1=BB1=2CC1=4,AA AA11⊥平面ABC,AA1∥BB1∥CC1, 又∵CC ∥ AA , CC = 2 1 1 B1 C1 ∴四边形 AA11B1B是正方形, OE⊥AB,CO⊥AB. ∴四边形CC1ED是平行四边形, E D ∴CD ∥C ,CD ? 平面 A1⊥平面 B1C1,EOCC C1E?平面 A B C , ∵CO ∩ OE =O , ∴AB , 1E 1 1 1 1 ∴CD∥平面A1B1C1, A1 B1 又A1B1∥AB,OC1?平面EOCC1,∴OC1⊥A1B1. E 即存在点D,使得CD∥平面A1B1C1,且点D是AB1的中点. D A1 C

CB O A OB A

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归纳升华
解决探究性问题一般要采用执果索因 的方法,假设求解的结果存在,从这个结 果出发,寻找使这个结论成立的充分条件, 如果找到了符合题目结果要求的条件,则 存在;如果找不到符合题目结果要求的条 件(出现矛盾),则不存在.

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变式训练3 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,在棱AB上是否存在一点F, 使平面C1CF∥平面ADD1A1?若存在,求点F的位置;若不存在, 请说明理由.
解析: 存在这样的点F,使平面C1CF∥平面ADD1A1,此时点F为AB的中点, 证明如下: ∵AB∥CD,AB=2CD,∴AF CD, D1 ∴四边形AFCD是平行四边形,∴AD∥CF, C
1

A1

B1

又AD?平面ADD1A1,CF?平面ADD1A1, ∴CF∥平面ADD1A1. 又CC1∥DD1,CC1?平面ADD1A1, DD1?平面ADD1A1, ∴CC1∥平面ADD1A1,

D

C F B

A

又CC1、CF?平面C1CF,CC1∩CF=C, ∴平面C1CF∥平面ADD1A1.

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考向大攻略:线面位置关系证明中的规范解答

例:(12分)(2013· 全国卷Ⅱ)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB, BB1的中点. (1)证明:BC1∥平面A1CD; (2)设AA1=AC=BC=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
A1 A1 B1 F B1 E A D A D
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C1 C1

C E B C

失 分 警 示

解答本题有以下两点易造成失分: (1)在由线线平行转化线面平行时,易忽视 DF ? 平面ACD ,BC1 ? 平面ACD 1 1 (2)在计算△A1DE的面积时,判断不出△A1DE为直角三角形. 解答立体几何解答题要重视解题步骤的规范性,规范的解题能够养成良 好的学习习惯,提高思维水平.解题时,要注意以下几点:

学 习 建 议

(1)审题的规范性,明确条件,弄清条件与目标的联系,确定正确的解题 思路; (2)语言叙述的规范性,垂直、平行的相互转化应严格按定理成立的条件 书写,不要跳步,另外要注意正确使用数学符号,

如果直线l在平面?内,可写成l ? ?,而不能写成l ? ?
(3)作图的规范性,所作辅助线要在解析中作出说明,图形中注意实线虚 线的区别.

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