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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.2.4诱导公式(二)课件


1.2.4(二)

1.2.4 诱导公式(二)
【学习要求】 1.掌握诱导公式四、五的推导,并能应用解决简单的求值、化简 与证明问题. 2.对诱导公式一至五,能作综合归纳,体会出五组公式的共性与 个性,培养由特殊到一般的数学推理意识和能力. 3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程,培养研究问题、发 现问题、解决问题的能力. 【学法指导】 五组诱导公式可以概括为一句口诀: “奇变偶不变, 符号看象限”, π 即诱导公式左边的角可统一写成 k·± α(k∈Z)的形式,当 k 为奇数 2 时公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变, 当 k 为偶数时,公式符号右边的三角函数名称与左边一样;而公式 π 右边的三角函数之前的符号,则把 α 当成锐角,看 k·± 为第几象 α 2 限角.

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填一填·知识要点、记下疑难点

1.2.4(二)

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1.诱导公式四~五 ?π ? ?π ? (1)公式四:sin?2+α?= cos α ,cos?2 +α?= -sin α , ? ? ? ? ?π ? ?π ? tan?2+α?= -cot α ,cot?2+α?= -tan α . ? ? ? ? 以-α 替代公式四中的 α,可得公式五. ?π ? ?π ? (2)公式五:sin?2-α?= cos α ,cos?2 -α?= sin α , ? ? ? ? ?π ? ?π ? tan?2-α?= cot α ,cot?2-α?= tan α . ? ? ? ?

填一填·知识要点、记下疑难点

1.2.4(二)

2.诱导公式四~五的记忆 π π +α, -α 的三角函数值,等于 α 的 异名 三角函数值,前 2 2
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面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号 ,记忆口诀为 “函数名改变,符号看象限”.

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1.2.4(二)

探究点一
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诱导公式四

(1)公式内容: ?π ? ?π ? ?π ? sin?2+α?=cos α,cos ?2+α?=-sin α,tan ?2+α?=-cot α, ? ? ? ? ? ? ?π ? cot?2+α?=-tan α. ? ? (2)公式推导: 如图所示,设角 α 的终边与单位圆交于点 P,则 点 P 的坐标为 (cos α,sin α) . 点 P 关于直线 y=x 的对称点为 M,点 M 也在单 位圆上,且 M 点坐标为 (sin α,cos α) .

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点 M 关于 y 轴的对称点为 N,点 N 也在单位圆上,且 N 点坐 标为 (-sin α,cos α) . 另一方面,点 P 经过以上两次轴对称变换到达点 N,等同于点
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P 沿单位圆旋转到点 N,且旋转角的大小为∠PON=2(∠AOM π π π +∠MOB)=2× = .因此点 N 是角 α+2 与单位圆的交点, 4 2 ? ? ? π? π ?? ?cos?α+ ?,sin?α+ ?? 2? 2 ?? . 点 N 坐标为 ? ? ? ? ? π? π? 所以,有 cos?α+2?= -sin α ,sin?α+2 ?= cos α , ? ? ? ? ? ? π? π? 从而,tan?α+2 ?= -cot α ,cot?α+2 ?= -tan α . ? ? ? ?

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探究点二 诱导公式五

1.2.4(二)

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(1)公式内容: ?π ? ?π ? sin?2-α?=cos α,cos?2-α?=sin α, ? ? ? ? ?π ? ?π ? tan?2-α?=cot α,cot?2-α?=tan α. ? ? ? ? (2)公式推导: 方法1:利用公式二和公式四可得: ?π ? ?π ? sin?2+?-α?? ? ? = cos(-α) = cos α , sin?2-α?= ? ? ?π ? ?π ? cos?2+?-α?? ? -α?= ? ? = -sin(-α) = sin α , cos 2
? ? ?π ? 从而:tan?2-α?= ? ?

cot α

?π ? ,cot?2-α?= tan ? ?

α .

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π 方法2:如图,设角α与 -α的终边分别与单位 2 π 圆交于点P与P′,因为角α与 -α的终边关于 2 直线y=x对称,若设P(x,y),则P′(y,x).
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1.2.4(二)

根据任意角的三角函数的定义推导诱导公式五.
∵sin α=y,cos α=x, ?π ? ?π ? sin?2-α?=x,cos?2-α?=y, ? ? ? ? ?π ? ?π ? ∴sin?2-α?=cos α,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ? 答 由同角三角函数基本关系式得 ?π ? ?π ? tan?2-α?=cot α,cot?2-α?=tan α. ? ? ? ?

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探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用

1.2.4(二)

公式一~三归纳:α+2kπ(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等 于角α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数
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值的符号,简记为:“函数名不变,符号看象限”. π 公式四~五归纳: ± α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦 2 (正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号, 简记为:“函数名改变,符号看象限”或“正变余、余变正、 符号象限定”. π 五组诱导公式可以统一概括为“k· ± α(k∈Z)”的诱导公式.当k 2 为偶数时,函数名不改变;当k为奇数时,函数名改变;然后前 面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶 不变,符号看象限”.请你根据上述规律,完成下列等式:

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?3 ? sin?2π-α?= -cos ? ? ?3 ? sin?2π+α?= -cos ? ? ?3 ? α ,cos? π-α?= ?2 ? ?3 ? α ,cos? π+α?= ?2 ?

1.2.4(二)
-sin α , sin α .

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你能根据相关的诱导公式给出上述等式的证明吗?
证明
?3 ? ? ?π ?? ?π ? sin?2π-α?=sin?π+?2-α??=-sin?2-α?=-cos ? ? ? ? ?? ? ?

α;

?3 ? ? ?π ?? ?π ? cos?2π-α?=cos?π+?2-α??=-cos?2-α?=-sin ? ? ? ? ?? ? ? ?3 ? ? ?π ?? ?π ? sin?2π+α?=sin?π+?2+α??=-sin?2+α?=-cos ? ? ? ? ?? ? ? ?3 ? ? ?π ?? ?π ? cos?2π+α?=cos?π+?2+α??=-cos?2+α?=sin ? ? ? ? ?? ? ?

α; α;

α.

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[典型例题] 例1
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1.2.4(二)

? ? π? 3 π 2π? 3π 已知cos?α+6?= , ≤α≤ ,求sin?α+ 3 ?的值. 2 ? ? 5 2 ? ?

π? π 2π ? 解 ∵α+ =?α+6?+ , 3 ? ? 2 ?? ? π? π? π? 3 2π ?? ? ∴sin(α+ )=sin? α+6?+2?=cos?α+6?= . 3 ? ? ? 5 ?? ?
小结 利用诱导公式四和诱导公式五求值时,要注意沟通已知 π π π 条件中的角和问题结论中角之间的联系,注意 6 +α与 3 -α, 4 π -α与 +α等互余角关系的识别和应用. 4

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1.2.4(二)

跟踪训练1
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?π ? 已知sin?6+α?= ? ?

? π? 3 ,求cos?α-3?的值. 3 ? ?

?π ?π ?? ? ?π ? π? ? 解 ∵cos?α-3?=cos?3-α?=cos?2-?6+α?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?π ? 3 ? +α?= =sin 6 . 3 ? ?

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例2

? 3 ? ? π? 2sin?θ-2π?cos?θ+ 2?-1 tan?9π+θ?+1 ? ? ? ? 求证: = . ? 3 ? tan?π+θ?-1 1-2cos2?θ+2π? ? ?
?3 ?? -2sin?2π-θ???-sin ? ?

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θ???-1

证明 ∵左边=

1-2sin2θ θ?-1



? ?π ?? -2sin?π+?2-θ???-sin ? ? ??

1-2sin2θ
?π ? 2sin?2-θ??-sin ? ?

θ?-1



1-2sin2θ -2sin θcos θ-1 = 2 sin θ+cos2θ-2sin2θ

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?sin θ+cos θ?2 sin θ+cos θ = = sin2θ-cos2θ sin θ-cos θ tan θ+1 右边= tan θ-1 sin θ +1 sin θ+cos θ cos θ = = . sin θ sin θ-cos θ -1 cos θ ∴左边=右边,故原等式成立.

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小结 三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过程,一般是 化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简,同时注意诱导 公式的灵活应用,避免出现符号错误.

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跟踪训练2

?π ? ?11 ? sin?2π-α?cos?π+α?cos?2+α?cos? 2 π-α? ? ? ? ? ?9 ?. cos?π-α?sin?3π-α?sin?-π-α?sin?2π+α? ? ?

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? ?π ?? ?-sin α??-cos α??-sin α?cos?5π+?2-α?? ? ? ?? 解 原式= ? ?π ?? ?-cos α?sin?π-α?[-sin?π+α?]sin?4π+?2+α?? ? ? ?? ? ?π ?? 2 -sin αcos α?-cos?2-α?? ? ? ?? = ?π ? ?-cos α?sin α[-?-sin α?]sin?2+α? ? ?

sin2αcos αsin α = -cos αsin2αcos α sin α =-cos α=-tan α.

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例3 已知sin(5π-θ)+sin cos
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4?3

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? ? 7 4 ?π = ,求sin 2-θ? + 2 ? ?

?5 ? ? π-θ? ?2 ?

?

? π+θ?的值. ?2 ?

?5 ? 解 ∵sin(5π-θ)+sin?2π-θ? ? ? ?π ? =sin(π-θ)+sin?2-θ? ? ?

7 =sin θ+cos θ= 2 , 1 ∴sin θcos θ=2[(sin θ+cos θ)2-1] ? 3 1?? 7?2 ?? ? =2?? ? -1?=8, ? ?? 2 ? ?

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∴sin

4?π

?

? ? ? 4?3 -θ?+cos π+θ?=cos4θ+sin4θ ?2 ? ?2 ?

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=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ ?3? 23 ? ?2 = . =1-2× 8 32 ? ?
小结 解答本题时,应先利用诱导公式将已知式子和所求式分 别化简,再利用sin θ± θ与sin θcos θ之间的关系求值. cos

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?3 ? ? ? 3 3 3 ?π 跟踪训练3 已知sin(θ- π)+cos ?2π+θ? = ,求sin 2+θ? - 2 5 ? ? ? ? ? ? 3?3π cos 2 -θ?. ? ?

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?3 ? 3 解 ∵sin(θ-2π)+cos?2π+θ? ? ? ?3 ? ?π ? =-sin?2π-θ?-cos?2+θ? ? ? ? ? ?π ? 3 =sin?2-θ?+sin θ=sin θ+cos θ= . 5 ? ?

? 1 1? 9 2 ∴sin θcos θ= [(sin θ+cos θ) -1]= ?25-1? 2 2? ? 8 =-25.

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? ? ? 3?3π ∴sin 2 +θ?-cos 2 -θ? ? ? ? ? ? ? 3 3?π =cos θ+cos 2-θ?=cos3θ+sin3θ ? ?
3?π

?

=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ) 3 ? ? 8 ?? 99 = ×?1-?-25??= . 5 ? ? ?? 125

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1.

? ? π? 1 π? 已知sin?α-6 ?= ,则cos?α+3 ?的值为 ? ? 3 ? ?

( D ) 1 D.- 3

2 3 A.- 3

2 3 B. 3

1 C. 3

?π ? ? π ?? π? ? 解析 cos?α+3?=cos?2+?α-6?? ? ?? ? ? ? ? ? π? 1 ?α- ?=- . =-sin 6? 3 ?

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2. 已知sin(α-180° )-sin(270° -α)=m,则sin(180° +α) · sin(270° +α)用m表示为 m2-1 A. 2 1-m2 C. 2
解析 sin(α-180° )-sin(270° -α)

( C ) m2+1 B. 2 m2+1 D.- 2

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=-sin(180° -α)-sin[180° +(90° -α)] =-sin α+sin(90° -α)=cos α-sin α=m, sin(180° +α)sin(270° +α)=-sin α· (-cos α)=sin αcos α 1-m2 1 =2[1-(cos α-sin α)2]= 2 .

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3.代数式sin2(A+45° )+sin2(A-45° )的化简结果是
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1



解析

原式=sin2(A+45° )+sin2(45° -A)

=sin2(A+45° )+cos2(A+45° )=1.

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3 sin?α-3π?cos?2π-α?· sin?-α+ π? 2 4.已知 f(α)= . cos?-π-α?sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos(α- π)= ,求 f(α)的值. 2 5 -sin αcos α· ?-cos α? 解 (1)f(α)= =-cos α. ?-cos α?sin α ? ?π ?? 3 (2)∵cos(α-2π)=cos?-2π+?2+α?? ? ? ?? ?π ? 1 ? +α?=-sin α= , =cos 2 5 ? ? 1 ∴sin α=-5,又 α 是第三象限角, 1 2 6 2 ∴cos α=- 1-sin α=- 1- =- , 25 5 2 6 ∴f(α)=-cos α= . 5

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1.学习了本节知识后,连同前面的诱导公式可以统一概括为 π “k·± α(k∈Z)”的诱导公式.当 k 为偶数时,得 α 的同名 2 函数值;当 k 为奇数时,得 α 的异名函数值,然后前面加一 个把 α 看成锐角时原函数值的符号.
π 2.诱导公式统一成“k·± α(k∈Z)”后,记忆口诀为“奇变偶不 2 变,符号看象限”.


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