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2015届高考数学二轮复习 专题检测45 坐标系与参数方程


45

坐标系与参数方程

1.在极坐标系中,曲线 C1:ρ ( 2cos θ +sin θ )=1 与曲线 C2:ρ =a(a>0)的一个交点 在极轴上,求 a 的值. 解 ρ ( 2cos θ +sin θ )=1, 即 2ρ cos θ +ρ sin θ =1 对应的普通方程为 2x+y-1=0, ρ =a(a>0)对应的普通方程为 x +y =a . 2 在 2x+y-1=0 中,令 y=0,得 x= . 2 将? 2 ? 2 ? 2 2 2 ,0?代入 x +y =a 得 a= . 2 ?2 ?
2 2 2

2.(2014·安徽改编)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标 ?x=t+1, ? 系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数), ?y=t-3 ? 圆 C 的极坐标方程是 ρ =4cos θ ,求直线 l 被圆 C 截得的弦长. ? ?x=t+1, 解 直线 l 的参数方程? (t 为参数)化为直角坐标方程是 y=x-4, 圆 C 的极坐 ?y=t-3 ? 标方程 ρ =4cos θ 化为直角坐标方程是 x +y -4x=0.圆 C 的圆心(2,0)到直线 x-y-4 2 2 2 =0 的距离为 d= = 2.又圆 C 的半径 r=2, 因此直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r -d = 2 2 2. 3.(2014·福建)已知直线 l 的参数方程为?
? ?x=4cos θ , ? ? ?y=4sin θ ? ?x=a-2t, ?y=-4t ?
2 2

(t 为参数),圆 C 的参数方程为

(θ 为参数).

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x +y =16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, |-2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤4, 5 解得-2 5≤a≤2 5.
2 2

1

4.(2013·课标全国Ⅱ)已知动点 P、Q 都在曲线 C:?

?x=2cos ? ?y=2sin ?

t, t

(t 为参数)上,对应参

数分别为 t=α 与 t=2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 解 (1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),

Q(2cos 2α ,2sin 2α ),
因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).

M 的轨迹的参数方程为 ?x=cos α +cos 2α , ?
? ?y=sin α +sin 2α , ?

(α 为参数,0<α <2π ).

(2)M 点到坐标原点的距离

d= x2+y2= 2+2cos α (0<α <2π ).
当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 3 ? ?x=-5t+2, 5.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2sin θ ,设直线 l 的参数方程是? 4 ? ?y=5t (t 为参数). (1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)直线 l 与 x 轴的交点是 M,N 为曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 解 (1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ρ =2ρ sin θ , 又 x +y =ρ ,x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ , 所以,曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2y=0. (2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程, 4 得 y=- (x-2), 3 令 y=0,得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1), 半径 r=1,则 MC= 5. ∴MN≤MC+r= 5+1, 即 MN 的最大值为 5+1.
2 2 2 2 2 2

2

6.(2013·辽宁)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 π? ? C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ =4sin θ ,ρ cos?θ - ?=2 2. 4? ? (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

x=t +a, ? ? (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. 已知直线 PQ 的参数方程为? b 3 y= t +1 ? ? 2
(t∈R 为参数),求 a,b 的值. 解 (1)圆 C1 的直角坐标方程为 x +(y-2) =4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.
?x +(y-2) =4, ? 解? ?x+y-4=0, ?
2 2 2 2

3

得?

?x1=0, ? ?y1=4, ?

?x2=2, ? ? ?y2=2. ?

π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为?4, ?,?2 2, ?, 2? ? 4? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0, 由参数方程可得 y= x- +1, 2 2

b

ab

b ? ?2=1, 所以? ab ? ?- 2 +1=2,
解得 a=-1,b=2. 7.(2014·辽宁)将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲 线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 解 (1)设(x1, y1)为圆上的点, 在已知变换下变为曲线 C 上的点(x, y), 依题意, 得? 由 x21+y1=1 得 x +( ) =1, 2 即曲线 C 的方程为 x + =1. 4 故 C 的参数方程为?
?x=cos ?
2 2 2 2 2

?x=x1, ? ?y=2y1. ?

y

2

y2

t, t

?y=2sin ?

(t 为参数).

3

y ? ?x2+ =1, 4 (2)由? ? ?2x+y-2=0,

2

解得?

?x=1, ? ?y=0 ?

或?

?x=0, ? ?y=2. ?

1 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为( ,1),所求直线斜率为 k= , 2 2 1 1 于是所求直线方程为 y-1= (x- ), 2 2 化为极坐标方程,并整理得 2ρ cos θ -4ρ sin θ =-3, 3 即ρ = . 4sin θ -2cos θ 8.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为?
?x=t, ? ?y=1+kt ?

(t 为参数),以 O 为原点,Ox 轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方 程为 ρ sin θ =4cos θ , (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 和曲线 C 相切,求实数 k 的值. 解 (1)由?
?x=t ? ?y=1+kt ?
2



得直线 l 的普通方程为 y=kx+1, 由 ρ sin θ =4cos θ 得 ρ sin θ =4ρ cos θ ,y =4x,曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x. (2)把 y=kx+1 代入 y =4x, 得 k x +(2k-4)x+1=0, 当直线 l 与曲线 C 相切时,由 Δ =(2k-4) -4k =0, 得 k=1. 经检验 k=1 适合题意,∴所求实数 k=1. 9.(2014·课标全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立 π 极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ ,θ ∈[0, ]. 2 (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数方 程,确定 D 的坐标. 解 (1)C 的普通方程为(x-1) +y =1(0≤y≤1). ?x=1+cos t, ? 可得 C 的参数方程为? (t 为参数,0≤t≤π ). ?y=sin t ? (2)设 D(1+cos t,sin t),由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆,因为 C 在
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

π 点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 故 D 的直角坐标为(1+cos π π 3 3 ,sin ),即( , ). 3 3 2 2

2 ? x =3- t, ? 2 10.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ? ?y= 5+ 2 t

(t 为参数).在极坐

标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 ρ =2 5sin θ . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求 PA+PB. 解 方法一 (1)由 ρ =2 5sin θ , 得 x +y -2 5y=0, 即 x +(y- 5) =5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 2 2 2 2 2 得(3- t) +( t) =5,即 t -3 2t+4=0. 2 2 由于 Δ =(-3 2) -4×4=2>0, 故可设 t1, t2 是上述方程的两实根, 所以?
2 2 2 2 2

?t1+t2=3 2, ?t1·t2=4.

又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得

PA+PB=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2.
方法二 (1)同方法一. (2)因为圆 C 的圆心为点(0, 5),半径 r= 5,直线 l 的普通方程为 y=-x+3+ 5. 由?

?x2+(y- 5)2=5, ?y=-x+3+ 5 ?x=1, ?y=2+ 5
或?

得 x -3x+2=0.

2

解得?

?x=2, ?y=1+ 5.

不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5), 又点 P 的坐标为(3, 5), 故 PA+PB= 8+ 2=3 2. 11.已知曲线 C1 的参数方程是?
? ?x=2cos φ , ?y=3sin φ ?

(φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正

5

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上, ? π? 且 A,B,C,D 按逆时针次序排列,点 A 的极坐标为?2, ?. 3? ? (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA +PB +PC +PD 的取值范围. π π? ? 解 (1)由已知可得 A?2cos ,2sin ?, 3 3? ? ? ?π π ? ?π π ?? B?2cos? + ?,2sin? + ??, ? ?3 2? ? 3 2 ?? ? ?π ? ?π ?? C?2cos? +π ?,2sin? +π ??, ? ?3 ? ?3 ?? ? ? π 3π ? ?π 3π ?? D?2cos? + ?,2sin? + ??, 2 ? 2 ?? ? ?3 ?3 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cos φ ,3sin φ ),令 S=PA +PB +PC +PD ,则 S=16cos φ +36sin φ +16= 32+20sin φ . 因为 0≤sin φ ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52]. 12 .已知直线 l 的参数方程是 ? π? ? 4 2·cos?θ + ?. 4? ? (1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若圆上有且仅有三个点到直线 l 的距离为 2,求实数 a 的值. π? ? 解 (1)由 ρ =4 2cos?θ + ?, 4? ? 得 ρ =4cos θ -4sin θ . 即 ρ =4ρ cos θ -4ρ sin θ . ? ?x=ρ cos θ , 2 2 由? 得 x +y -4x+4y=0, ?y=ρ sin θ ? 得(x-2) +(y+2) =8. 所以圆 C 的直角坐标方程为(x-2) +(y+2) =8. ?x=2t, ? (2)直线 l 的参数方程? 可化为 y=2x+a, ?y=4t+a ? 则由圆的半径为 2 2知,圆心(2,-2)到直线 y=2x+a 的距离恰好为 2. |6+a| 所以 = 2,解得 a=-6± 10. 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ?x=2t, ?y=4t+a ?

(t 为参数 ) ,圆 C 的极坐标方程为 ρ =

6


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