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2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义:选修4-4 坐标系与参数方程 Word版含答案


选修 4-4 坐标系与参数方程

第一节

坐_标_系

对应学生用书 P166

基础盘查一 平面直角坐标系中的伸缩变换 (一)循纲忆知 理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. (二)小题查验 1.判断正误 (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆( (2)在伸缩变换下,椭圆可变为圆,圆可变为椭圆( 答案:(1)× (2)√ ) )

1 ? ?x′=2x, 2.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为? 则在这一坐标变换下正弦曲线 y= ?y′=3y, ? sin x 的方程变为________. 1 x=2x′, ? ? ?x′=2x, ? 解析:由? 知? 1 ?y′=3y, ? ? ?y=3y′. 代入 y=sin x 中得 y′=3sin 2x′. 答案:y′=3sin 2x′ 基础盘查二 极坐标系的概念及极坐标和直角坐标的互化 (一)循纲忆知 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标和平面直角坐标系中表示点的位置 y 2 2 2 的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化? ?x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ =x +y ,tan θ=x(x≠0). (二)小题查验 1.点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的极坐标为________. π 解析:因为点 P(1,- 3)在第四象限,与原点的距离为 2,且 OP 与 x 轴所成的角为- , 3 π? 所以点 P 的极坐标为? ?2,-3?.
-1-

π? 答案:? ?2,-3? 2.曲线 ρ=4sin θ 与 ρ=2 的交点坐标是________________.
? ?ρ=4sin θ, 解析:由? ?ρ=2, ?

1 π 5π ∴sin θ= ,∴θ= 或 . 2 6 6 π? ? 5π? 答案:? ?2,6?或?2, 6 ? 基础盘查三 简单曲线的极坐标方程 (一)循纲忆知 能在极坐标系中给出简单的图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程,通 过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适 当坐标系的意义. (二)小题查验 1.判断正误 (1)过极点,做斜角为 α 的直线的极坐标方程可表示为 θ=α 或 θ=π+α( (2)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ( 答案:(1)√ (2)× ) )

2.在极坐标系中,圆心在( 2,π)且过极点的圆的方程为________. 解析:如图,O 为极点,OB 为直径,A(ρ,θ),则∠ABO=θ-90° , ρ OB=2 2= , sin?θ-90° ? 化简得 ρ=-2 2cos 答案:ρ=-2 2cos θ. θ

3.在极坐标系中,曲线 C1:ρ( 2cos θ+sin θ)=1 与曲线 C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极 轴上,则 a=________. 解析:曲线 C1 的直角坐标方程为 2x+y=1,曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2=a2,曲 线 C1 与 x 轴的交点坐标为? 答案: 2 2 2 2 ? ,0 ,此点也在曲线 C2 上,代入解得 a= 2 . ?2 ?

对应学生用书 P166

-2-

考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
? x,?λ>0?, ?x′=λ· φ:? 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′), ?y′=μ· y,?μ>0? ?

称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. [题组练透]
? ?x′=3x, 1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ:? ?2y′=y. ?

1 ? 求点 A? ?3,-2?经过 φ 变换所得的点 A′的坐标.
? ?x′=3x, 解:设 A′(x′,y′),由伸缩变换 φ:? ?2y′=y, ?

x′=3x, ? ? 1 ,-2?, 得到? 由于点 A 的坐标为? 1 3 ? ? y ′ = y , ? 2 ? 1 1 于是 x′=3× =1,y′= ×(-2)=-1, 3 2 ∴A′(1,-1)为所求.
? ?x′=3x, 2.求直线 l:y=6x 经过 φ:? 变换后所得到的直线 l′的方程. ?2y′=y, ?

解:设直线 l′上任意一点 P′(x′,y′), 1 ? ?x=3x′, 由上述可知,将? 代入 y=6x 得 ? ?y=2y′ 1 ? 2y′=6×? ?3x′?,∴y′=x′,即 y=x 为所求.
? ?x′=3x, y2 3.求双曲线 C:x2- =1 经过 φ:? 变换后所得曲线 C′的焦点坐标. 64 ?2y′=y, ?

1 ? ?x=3x′, y2 解:设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′),由上述可知,将? 代入 x2- =1 64 ?y=2y′ ? 得 x′2 4y′2 x′2 y′2 x2 y2 - =1,化简得 - =1,即 - =1 为曲线 C′的方程,可见仍是双曲线, 9 64 9 16 9 16

则焦点 F1(-5,0),F2(5,0)为所求. [类题通法]

-3-

? x,?λ>0? ?x′=λ· 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换? 下,直 ?y′=μ· y,?μ>0? ?

线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆 也可以变成圆. 考点二 极坐标与直角坐标的互化|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 设 M 为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由

? ?x=ρcos θ, ? ? 图可知下面的关系式成立:? 或? y ?y=ρsin θ ? ?tan θ= ?x≠0? ?
x 所在象限一致).

ρ2=x2+y2,

(θ 与(x,y)

[提醒] (1)在将直角坐标化为极坐标求极角 θ 时,易忽视判断点所在的象限(即角 θ 的终 边的位置). (2)在极坐标系下,点的极坐标不惟一性易忽视. 注意极坐标(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ),(-ρ,π+θ+2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标. [典题例析] 在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l: π 2 θ- ?= . ρsin? ? 4? 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 解:(1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0, π 2 θ- ?= ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 直线 l:ρsin? ? 4? 2 则直线 l 的直角坐标方程为:y-x=1,即 x-y+1=0.
2 2 ? ? ?x +y -x-y=0, ?x=0, π 1, ?. (2)由? 得? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为? 2? ? ?x-y+1=0, ? ? ?y=1,

[类题通法] 极坐标方程与普通方程互化技巧 (1)巧用极坐标方程两边同乘以 ρ 或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程. (2)巧借两角和差公式,转化 ρsin(θ± α)或 ρ=cos(θ± α)的结构形式,进而利用互化公式得到 普通方程.
-4-

(3)将直角坐标方程中的 x 转化为 ρcos θ,将 y 换成 ρsin θ,即可得到其极坐标方程. [演练冲关] (2014· 广东高考改编)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2θ=cos θ 和 ρsin θ= 1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标. 解析:由 ρsin2θ=cos θ?ρ2sin2θ=ρcos θ?y2=x,
2 ? ? ?y =x, ?x=1, 又由 ρsin θ=1?y=1,联立? ?? ?y=1 ? ? ?y=1.

故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为(1,1). 考点三 曲线的极坐标方程|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为 R 的圆的极坐标方程为 ρ=R. (2)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2acos θ. π? (3)圆心在点? ?a,2?处,且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ. 2.直线的极坐标方程 (1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为 ρcos θ=a. π a, ?与极轴平行的直线的极坐标方程为 ρsin θ=a. (2)过点? ? 2? [提醒] (1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素:极点、极轴、长度单位、角度单 位及其正方向,四者缺一不可. (2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化.当条件涉及“角度”和 “到定点距离”时,引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便. [典题例析] (2015· 唐山模拟)已知圆 C:x2+y2=4,直线 l:x+y=2.以 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴,取相同的单位长度建立极坐标系. (1)将圆 C 和直线 l 的方程化为极坐标方程; (2)P 是 l 上的点,射线 OP 交圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|· |OP|=|OR|2,当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 轨迹的极坐标方程. 解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C:ρ=2,l:ρ(cos θ+sin θ)=2.

(2)设 P,Q,R 的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ), 则由|OQ|· |OP|=|OR|2 得 ρρ1=ρ2 2.
-5-

2 又 ρ2=2,ρ1= , cos θ+sin θ 2ρ 所以 =4, cos θ+sin θ 故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0). [类题通法] 求曲线方程,常设曲线上任意一点 P(ρ,θ),利用解三角形的知识,列出等量关系式,特 别是正、余弦定理用的较多. 求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设 P(ρ,θ)是曲线上任意一点;(2) 由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式;(3)将列 出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程. [演练冲关] (2014· 江西高考)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则 线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( 1 π A.ρ= ,0≤θ≤ 2 cos θ+sin θ 1 π B.ρ= ,0≤θ≤ 4 cos θ+sin θ C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ π 2 )

π D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤ 4 解析:选 A 因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,且 y=1-x,所以 ρsin θ=1-ρcos θ,所以 ρ(sin 1 θ+cos θ)=1,ρ= .又 0≤x≤1,所以 0≤y≤1,所以点(x,y)都在第一象限及坐标 sin θ+cos θ π 轴的正半轴上,则 0≤θ≤ . 2

对应 B 本课时跟踪检测(六十四)

1.在极坐标系中,求直线 ρ( 3cos θ-sin θ)=2 与圆 ρ=4sin θ 的交点的极坐标. 解:ρ( 3cos θ-sin θ)=2 化为直角坐标方程为 3x-y=2,即 y= 3x-2. ρ=4sin θ 可化为 x2+y2=4y, 把 y= 3x-2 代入 x2+y2=4y, 得 4x2-8 3x+12=0,即 x2-2 3x+3=0, 所以 x= 3,y=1.

-6-

π? 所以直线与圆的交点坐标( 3,1),化为极坐标为? ?2,6?. π? 2.在极坐标系中,求曲线 ρ=4cos? ?θ-3?上任意两点间的距离的最大值. π? 3 ?1 ? 2 2 2 解:由 ρ=4cos? ?θ-3?可得 ρ =4ρ?2cos θ+ 2 sin θ?=2ρcos θ+2 3ρsin θ,即得 x +y = 2x+2 3y,配方可得(x-1)2+(y- 3)2=4,该圆的半径为 2,则圆上任意两点间距离的最大值 为 4. 3.若直线 3x+4y+m=0 与曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 没有公共点,求实数 m 的取 值范围. 解:曲线 ρ2-2ρcos θ+4ρsin θ+4=0 的直角坐标方程是 x2+y2-2x+4y+4=0, 即(x-1)2+(y+2)2=1. 要使直线 3x+4y+m=0 与该曲线没有公共点, 只要圆心(1,-2)到直线 3x+4y+m=0 的距离大于圆的半径即可, 即 |3×1+4×?-2?+m| >1,|m-5|>5, 5

解得,m<0 或 m>10. x′=2x, ? ? π? ? 4.求函数 y=sin?2x+4?经伸缩变换? 后的解析式. 1 ?y′=2y ? 1 x′=2x, ? ? ? ?x=2x′, 解:由? 得? 1 y′= y, ? ? 2 ? ?y=2y′. π? ? 1x′+π?, 将其代入 y=sin? 2 4? ?2x+4?,得 2y′=sin?2· π 1 x′+ ?. 即 y′= sin? 4? 2 ? π? 5.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2-2 2ρcos? ?θ-4?=2. (1)将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解:(1)由 ρ=2 知 ρ2=4,所以 x2+y2=4. π θ- ?=2, 因为 ρ2-2 2ρcos? ? 4? π π cos θcos +sin θsin ?=2. 所以 ρ2-2 2ρ? 4 4? ? 所以 x2+y2-2x-2y-2=0. (2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1.

-7-

化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1, π? 2 即 ρsin? ?θ+4?= 2 . π θ+ ?=1. 6.在极坐标系中,曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ=-2cos θ,ρcos? ? 3? (1)求曲线 C1 和 C2 的公共点的个数; (2)过极点作动直线与曲线 C2 相交于点 Q,在 OQ 上取一点 P,使|OP|· |OQ|=2,求点 P 的 轨迹,并指出轨迹是什么图形. 解:(1)C1 的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为 1 的圆,C2 的 直角坐标方程为 x- 3y-2=0,所以曲线 C2 为直线, |-1-2| 3 由于圆心到直线的距离为 d= = >1, 2 2 所以直线与圆相离,即曲线 C1 和 C2 没有公共点.
? ?ρρ0=2, (2)设 Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则? ?θ=θ0, ?

2 ? ?ρ0=ρ, 即? ?θ0=θ. ? 因为点 Q(ρ0,θ0)在曲线 C2 上, π? 所以 ρ0cos? ?θ0+3?=1, π 2 θ+ ?=1, 将①代入②,得 cos? ρ ? 3?





π? 3?2 ? 1?2 ? 即 ρ=2cos? ?θ+3?为点 P 的轨迹方程,化为直角坐标方程为?x-2? +?y+ 2 ? =1,因此 1 3 点 P 的轨迹是以? ,- ?为圆心,1 为半径的圆. 2? ?2 π? ? π? 7.(2015· 济宁模拟)已知直线 l:ρsin? ?θ-4?=4 和圆 C:ρ=2kcos?θ+4?(k≠0),若直线 l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于 2.求实数 k 的值并求圆心 C 的直角坐标. 解:∵ρ= 2kcos θ- 2ksin θ, ∴ρ2= 2kρcos θ- 2kρsin θ, ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2kx+ 2ky=0, 即?x-

?

2 ?2 ? 2 ?2 2 k + y+ k =k , 2 ? ? 2 ? 2 2 ? . ? 2 k,- 2 k?

∴圆心的直角坐标为?

-8-

2 2 ∵ρsin θ· -ρcos θ· =4, 2 2 ∴直线 l 的直角坐标方程为 x-y+4 2=0,



? 2k+ 2k+4 2? 2 ?2 ?
2

-|k|=2.

即|k+4|=2+|k|, 两边平方,得|k|=2k+3,
?k>0, ?k<0, ? ? ∴? 或? ?k=2k+3 ?-k=2k+3, ? ?

解得 k=-1,故圆心 C 的直角坐标为?-

?

2 2? . , 2 2?

8.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐 π? 标方程为 ρcos? ?θ-3?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π 1 3 θ- ?=1 得 ρ? cos θ+ sin θ?=1. 解:(1)由 ρcos? ? 3? 2 ?2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2. 当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π? 当 θ= 时,ρ= ,所以 N? . 2 3 ? 3 ,2? (2)因为 M 点的直角坐标为(2,0), 2 3? N 点的直角坐标为?0, . 3 ? ? 所以 P 点的直角坐标为?1,

?

3? , 3?

则 P 点的极坐标为?

2 3 π? , ? 3 ,6?

π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R). 6

第二节
-9-

参数方程

对应学生用书 P168

基础盘查一 参数方程与普通方程的互化 (一)循纲忆知 了解参数方程,了解参数的意义,会进行参数方程与普通方程的互
?x=f?t?, ?? ? ?t为参数?? 化.?? ?y=g?t? ?? ?

(二)小题查验 1.判断正误
?x=t+1, ? (1)参数方程? (t≥1)表示的曲线为直线( ? ?y=2-t

)

? ?x=cos θ+m, (2)参数方程? 当 m 为参数时表示直线, 当 θ 为参数时表示的曲线为圆( ?y=sin θ-m, ?

)

答案:(1)×

(2)× 2t2
2

? ?x=1+t , 2.参数方程? 4-2t ?y= 1+t ?
2 2

(t 为参数)化为普通方程为________.

2t2 解析:∵x= , 1+t2 4-2t2 4?1+t2?-6t2 y= = 1+t2 1+t2 2t2 =4-3× =4-3x. 1+t2 2?1+t2?-2 2t2 又 x= 2= 1+t 1+t2 2 =2- ∈[0,2), 1+t2 ∴x∈[0,2). ∴所求的普通方程为 3x+y-4=0(x∈[0,2)). 答案:3x+y-4=0(x∈[0,2?) 基础盘查二 常见曲线的参数方程 (一)循纲忆知 1.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
- 10 -

2. 掌握直线的参数方程及参数的几何意义, 能用直线的参数方程解决简单的相关问题. 过
? ?x=x0+tcos α, 点 P(x0,y0)且倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t 为参数) ?y=y0+tsin α ?

(二)小题查验 1.判断正误
?x=-2+tcos 30° , ? (1)直线? (t 为参数)的倾斜角 α 为 30° .( ?y=1+tsin 150° ?

)

? ?x=2cos θ, ? π 0, ??表示的曲线为椭圆( (2)参数方程? θ为参数且θ∈? 2 ? ? ?? ?y=5sin θ ?

)

答案:(1)√

(2)×

?x= 5cos θ, 2 .在平 面直角 坐标系 xOy 中, 曲线 C1 和 C2 的 参数方 程分别为 ? ?y= 5sin θ
2 x=1- t, ? 2 ?θ为参数,0≤θ≤π?和 2? ? ? 2 ?y=- 2 t

(t 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________.

?0≤x≤ 5, 解析:由 C1 得 x2+y2=5,且? ?0≤y≤ 5,
由 C2 得 x=1+y,
2 2 ? ? ?x +y =5, ?x=2, ∴由①②联立? 解得? ?x=1+y, ? ? ?y=1.

① ②

答案:(2,1)
? ?x=2+ 3cos θ, ?x=4+at, 3.直线? (t 为参数)与圆? (θ 为参数)相切,则切线的倾斜角 ? ?y=bt ?y= 3sin θ

为________. 解析:直线的普通方程为 bx-ay-4b=0,圆的普通方程为(x-2)2+y2=3,因为直线与圆 相切,则圆心(2,0)到直线的距离为 3,从而有 |2b-a· 0-4b| 3= ,即 3a2+3b2=4b2,所以 b 2 a +b2

b π 2π =± 3a,而直线的倾斜角 α 的正切值 tan α= ,所以 tan α=± 3,因此切线的倾斜角 或 . a 3 3 π 2π 答案: 或 3 3

对应学生用书 P169

- 11 -

考点一 参数方程和普通方程的互化|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.参考方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.将参数方程化为普通方程需消去 参数. (2)如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出
?x=f?t?, ? 另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么? 就是曲线的参数方程. ?y=g?t? ?

[提醒] 在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致. 2.几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程
?x=x0+rcos θ, ? 若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 r,则圆的参数方程为? (θ 为参数). ?y=y0+rsin θ ? ?x=acos θ, ? x2 y2 (2)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为? (θ 为参数). a b ? ?y=bsin θ

a ? ?x=cos θ, x2 y2 (3)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的参数方程为? a b ? ?y=btan θ

(θ 为参数).

?x=2pt2, ? (4)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为? (t 为参数). ?y=2pt ?

[题组练透] 1.将下列参数方程化为普通方程.

?x=1+k , (1)? 6k ?y=1+k ;
2 2 2

3k

? ?x=1-sin 2θ, (2)? ?y=sin θ+cos θ. ?

y 3· 2 x y 解:(1)两式相除,得 k= ,将其代入得 x= , 2x y ?2 ? 1+?2x? 化简得所求的普通方程是 4x2+y2-6y=0(y≠6). (2)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ) 得 y2=2-x.又 x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程为 y2=2-x,x∈[0,2].

?x=2 3cos θ, 2.求曲线? (θ 为参数)中两焦点间的距离. ?y=3 2sin θ
- 12 -

y2 x2 解:曲线化为普通方程为 + =1,∴c= 6,故焦距为 2 6. 18 12

?x= t- t, 3.已知曲线 C 的参数方程为? 1 t+ ? ?y=3? ? t?

1

(t 为参数,t>0),求曲线 C 的普通方程.

1 1 y 解:因为 x2=t+ -2,所以 x2+2=t+ = ,故曲线 C 的普通方程为 3x2-y+6=0. t t 3 [类题通法] 参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、利用三角 恒等式消元等.在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形. 考点二 直线的参数方程|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
? ?x=x0+tcos α, 经过点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为? (t 为参数).若 A, ?y=y0+tsin α ?

B 为直线 l 上两点,其对应的参数分别为 t1,t2,线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数为 t0,则以下结论在解题中经常用到: (1)t0= t1+t2 ; 2 t1+t2 ; 2

(2)|PM|=|t0|=

(3)|AB|=|t2-t1|; (4)|PA|· |PB|=|t1· t2|. [提醒] 直线的参数方程中, 参数 t 的系数的平方和为 1 时, t 才有几何意义且其几何意义 为:|t|是直线上任一点 M(x,y)到 M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|. [典题例析]
? ?x=3+tcos α, 设直线 l 的参数方程为? (t 为参数,α 为倾斜角),圆 C 的参数方程为 ?y=4+tsin α ? ?x=1+2cos θ, ? ? (θ 为参数). ?y=-1+2sin θ ?

(1)若直线 l 经过圆 C 的圆心,求直线 l 的斜率; (2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点,求直线 l 的斜率的取值范围. 解:(1)由已知得直线 l 经过的定点是 P(3,4),而圆 C 的圆心是 C(1,-1), 5 所以,当直线 l 经过圆 C 的圆心时,直线 l 的斜率为 k= . 2

- 13 -

? ?x=1+2cos θ, (2)法一:由圆 C 的参数方程? 得圆 C 的圆心是 C(1,-1),半径为 2. ?y=-1+2sin θ ? ?x=3+tcos α, ? 由直线 l 的参数方程为? (t 为参数,α 为倾斜角),知直线 l 的普通方程为 y ?y=4+tsin α ?

-4=k(x-3)(斜率存在), 即 kx-y+4-3k=0. 当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径, 即 |5-2k|
2

21 <2,由此解得 k> . 20 k +1

21 ? 即直线 l 的斜率的取值范围为? ?20,+∞?.
? ?x=1+2cos θ, 法二:将圆 C 的参数方程为? ?y=-1+2sin θ, ?

化成普通方程为(x-1)2+(y+1)2=4,① 将直线 l 的参数方程代入①式,得 t2+2(2cos α+5sin α)t+25=0.② 当直线 l 与圆 C 交于两个不同的点时, 方程②有两个不相等的实根, 即 Δ=4(2cos α+5sin 21 α)2-100>0,即 20sin αcos α>21cos2 α,两边同除以 cos2 α,由此解得 tan α> ,即直线 l 的 20 21 ? 斜率的取值范围为? ?20,+∞?. [类题通法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置 关系来解决问题.
?x=x0+at, ? 2.对于形如? (t 为参数). ?y=y0+bt ?

当 a2+b2≠1 时,应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题. [演练冲关] 已知直线 l: x+y-1=0 与抛物线 y=x2 相交于 A, B 两点, 求线段 AB 的长度和点 M(- 1,2)到 A,B 两点的距离之积.

?x=-1+tcos 3π 解: 因为直线 l 过定点 M, 且 l 的倾斜角为 , 所以它的参数方程为? 4 3π ?y=2+tsin 4
(t 为参数),

3π , 4

- 14 -

?x=-1- 22t, 即? 2 ?y=2+ 2 t

(t 为参数),把它代入抛物线的方程,得 t2+ 2t-2=0,解得 t1=

- 2+ 10 - 2- 10 ,t2= .由参数 t 的几何意义可知|AB|=|t1-t2|= 10,|MA|· |MB|=|t1t2|= 2 2 2. 考点三 极坐标、参数方程的综合应用|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 极坐标与参数方程的综合应用规律 1.化归思想的应用,即对于含有极坐标方程和参数的题目,全部转化为直角坐标方程后 再求解. 2.数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用 ρ 和 θ 的几何意 义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的. [典题例析] (2014· 辽宁高考)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得 曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.
?x=x1, ? 解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点(x,y),依题意,得? ?y=2y1. ?
2 2 ? y ?2 由 x2 1+y1=1 得 x + 2 =1, ? ?

y2 即曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4
?x=cos t, ? 故 C 的参数方程为? (t 为参数). ? ?y=2sin t

y ? ?x=1, ?x=0, ?x2+ 4 =1, ? ? (2)由? 解得? 或? ? ? ?y=0 ?y=2. ? ?2x+y-2=0, 1 ? 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ?2,1?,所求直线斜率为 k=2,于是 1 1 x- ?, 所求直线方程为 y-1= ? 2? 2? 化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3,

2

- 15 -

3 即 ρ= . 4sin θ-2cos θ [类题通法] 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标 方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程. [演练冲关]

?x=1+5t 1. (2015· 大同调研)在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? 3 ?y=-1-5t
(1)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长; (2)若 M(x,y)是曲线 C 上的动点,求 x+y 的最大值.

4

(t 为参数),

π? 若以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ= 2cos? ?θ+4?.

?x=1+5t 解:(1)直线 l 的参数方程为? 3 ?y=-1-5t
消去 t,可得 3x+4y+1=0. 由于 ρ= π? 2cos? ?θ+4?= 2?

4

(t 为参数),

2 2 ? cos θ- sin θ , 2 ?2 ?

即有 ρ2=ρcosθ-ρsin θ,则有 x2+y2-x+y=0, 1 1? 2 其圆心为? ?2,-2?,半径为 r= 2 ,

圆心到直线的距离 d= 故弦长为 2 r2-d2=2

?3-2+1? ?2 ?
9+16



1 , 10

1 1 7 - = . 2 100 5

2 + cos θ ?x=1 2 2 (2)可设圆的参数方程为? 1 2 ?y=-2+ 2 sin θ 1 2 1 2 即 M? + cos θ,- + sin θ?, 2 2 ?2 2 ? 则 x+y= π? 2 2 cos θ+ sin θ=sin? ?θ+4?, 2 2

(θ 为参数),

由于 θ ∈R,则 x+y 的最大值为 1. 2. 在直角坐标系中, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C: ρsin2θ

- 16 -

?x=-2+ 22t, =2acos θ(a>0), 过点 P(-2, -4)的直线 l: ? 2 ?y=-4+ 2 t
N 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数 a 的值.
? ?x=ρcos θ, 解:(1)把? 代入 ρsin2θ=2acos θ, ?y=ρsin θ ?

(t 为参数)与曲线 C 相交于 M,

得 y2=2ax(a>0),

?x=-2+ 22t, ? 2 ?y=-4+ 2 t

(t 为参数),消去 t 得 x-y-2=0,

∴曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y2=2ax(a>0),x-y-2=0.

?x=-2+ 22t, (2)将? 2 ?y=-4+ 2 t

(t 为参数)代入 y2=2ax,

整理得 t2-2 2(4+a)t+8(4+a)=0. 设 t1,t2 是该方程的两根, 则 t1+t2=2 2(4+a),t1· t2=8(4+a), ∵|MN|2=|PM|· |PN|, ∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1· t2=t1· t2, ∴8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a),∴a=1.

对应 A 本课时跟踪检测(六十五)

?x=- 3t, 1.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数).以 O 为极 ?y=4+t
点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的方程为 ρ=4sin θ,曲线 C1 与 C2 交于 M,N 两点,求线段 MN 的长.

?x=- 3t, 解析:由题意得,C1 的参数方程? 转化为直角坐标方程为 x+ 3y-4 3=0, ?y=4+t
C2 的极坐标方程 ρ=4sin θ 转化为直角坐标方程为 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=22,圆心(0,2)

- 17 -

|0+2 3-4 3| 到直线 x+ 3y-4 3=0 的距离为 d= = 3, 12+? 3?2 所以|MN|=2 22-? 3?2=2.

?x= 3cos α, 2. 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的方程为 x-y+4=0, 曲线 C 的参数方程为? ?y=sin α
(α 为参数). (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正 π? 半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为? ?4,2?,判断点 P 与直线 l 的位置关系; (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. π? 解:(1)把极坐标系下的点 P? ?4,2?化为直角坐标得 P(0,4), ∵P(0,4)满足方程 x-y+4=0,∴点 P 在直线 l 上. (2)法一:因为点 Q 是曲线 C 上的点,故可设点 Q 的坐标为( 3cos α,sin α),所以点 Q 到 直线 l 的距离 | 3cos α-sin α+4| ? d= = 2

?2cos?α+π?+4? ? 6? ?
2

(α∈R)

π? 所以当 cos? ?α+6?=-1 时,d 取得最小值 2.
?x=2cos α, ? 3.(2015· 河南实验中学模拟)直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为:? ?y=2+2sin α ? ??? ? ???? ? (α 为参数),M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP =2 OM ,P 点的轨迹为曲线 C2.

(1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 与 C1 的异于极点的交点 3 为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. x y? 解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M? ?2,2?.

?2=2cos α, 由于 M 点在曲线 C 上,所以? y ?2=2+2sin α,
1

x

?x=4cos α, ? 从而曲线 C2 的参数方程为? (α 为参数). ?y=4+4sin α ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sin θ. π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3
- 18 -

π π 射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.

?x=1- 22t, 4. (2014· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为? 2 ?y=2+ 2 t
(t 为参数),直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

?x=1- 22t, 解:将直线 l 的参数方程? 2 ?y=2+ 2 t
得?2+

(t 为参数)代入抛物线方程 y2=4x,

?

2 ?2 ? 2? t =4 1- t ,解得 t1=0,t2=-8 2. 2 ? 2 ? ?

所以 AB=|t1-t2|=8 2. 5.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 π? 建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,θ∈? ?0,2?. (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参数 方程,确定 D 的坐标. 解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
? ?x=1+cos t, 可得 C 的参数方程为? (t 为参数,0≤t≤π). ?y=sin t ?

(2)设 D(1+cos t,sin t),由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在点 D π 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 π π? ? 3 3? 故 D 的直角坐标为? ?1+cos3,sin3?,即?2, 2 ?.
?x=a-2t, ? 6.(2014· 福建高考)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),圆 C 的参数方程为 ? ?y=-4t ? ?x=4cos θ, ? (θ 为参数). ?y=4sin θ ?

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x2+y2=16.
- 19 -

(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, |-2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤4, 5 解得-2 5≤a≤2 5. 故实数 a 的取值范围为[-2 5,2 5]
? ?x=2+t, x2 y2 7.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小 值.
?x=2cos θ, ? 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=3sin θ ?

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ,3sin θ)到 l 的距离为 d= 则|PA|= d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, sin 30° 5 5 |4cos θ+3sin θ-6|. 5

4 其中 α 为锐角,且 tan α= . 3 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5 8.(2015· 洛阳模拟)以平面直角坐标系的原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

?x=2cos α, π θ+ ?=2 3. 系, 设曲线 C 的参数方程为? (α 是参数), 直线 l 的极坐标方程为 ρcos? 6 ? ? ?y= 3sin α
(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程; (2)设点 P 为曲线 C 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值. π θ+ ?=2 3, 解:(1)∵直线 l 的极坐标方程为 ρcos? ? 6? π π cos θcos -sin θsin ?=2 3, ∴ρ? 6 6? ? ∴ 3 1 x- y=2 3. 2 2

即直线 l 的直角坐标方程为 3x-y-4 3=0.

?x=2cos α, x2 y2 由? 得 + =1. 4 3 ?y= 3sin α
- 20 -

x2 y2 即曲线 C 的普通方程为 + =1. 4 3 (2)设点 P(2cos α, 3sin α),则点 P 到直线 l 的距离 |2 3cos α- 3sin α-4 3| | 15cos?α+φ?-4 3| 1 d= = ,其中 tan φ= . 2 2 2 当 cos(α+φ)=-1 时,dmax= 15+4 3 , 2 15+4 3 . 2

即点 P 到直线 l 的距离的最大值为

- 21 -


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