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空间立体几何中的平行、垂直证明


空间中的平行与垂直
农八师高级中学数学组 肖蕾

考纲分析
《2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理 科)考试大纲的说明》中要求:了解空间直线和平 面的位置关系,理解直线和平面垂直的判定定理和 性质定理;了解平面与平面的位置关系,掌握两个 平面垂直的判定定理和性质定理。同时,考纲指出: 能以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识 和理解空间中的线面平行、垂直的有关性质与判定 定理。能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的位置关系的简单命题。

高考命题分析
近年来,立体几何高考命题形式比较稳定,题目难易适中, 常常立足于棱柱、棱锥和正方体。客观题中,多考查平行与 垂直有关的命题真假的判断,在解答题中多考查线线、线面、 面面平行及垂直的证明。复习时多面体为依托,始终把直线 与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质和判 定作为重点。在新课标教材中立体几何的要求有所降低,重 点在对图形及几何体的认识上,实现平面到空间的转化,知 识深化和拓展。

复习定理
空间平行之间的转化

空间中的平行

解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题,特别要注意 下面的转化关系:



② ① ③ ④

空间中的平行

复习定理
1.直线与平面平行的判定 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行.

b

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

? 简称:线线平行,线面平行.

空间中的平行

复习定理
2.直线与平面平行的性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行.

? ? a?? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
? 简称:线面平行,线线平行.

a // ?

复习定理
3.平面与平面平行的判定与性质

空间中的平行

?判定: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行,则这两个平面平行.

a, b ? ? ? ? a ? b ? A? ? ? ? // ? a // ? ? ? b // ? ?
? 简称:线面平行,面面平行.

复习定理
4.平面与平面平行的判定与性质

空间中的平行

?性质:如果两个平面平行,那么其中一个平面内 的任何一条直线都平行于另外一个平面。

? // ? ? ? ? a // ? a ???
? 简称:面面平行,线面平行.

复习定理
5.平面与平面平行的判定与性质

空间中的平行

?性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交 ,那么它们的交线平行.

? // ? ? ? ? ? ? ? a ? ? a // b ? ? ? ? b? ?

? 简称:面面平行,线线平行.

空间中的平行

定理应用
1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E, F分别是BA1,BC1的中点。 求证:EF // 平面ABCD
D1 C1

看到中点找中点

A1 D A
E

B1
F

C B

空间中的平行

定理应用

方法一):构造平行四边形
D1 A1 D A
E

C1

B1
F

C
N M

B

空间中的平行

定理应用 方法二):构造平行平面
D1 A1 D A
E H

C1

B1
F

C

B

空间中的平行

定理应用
例2.如图所示,在四棱锥 ? ABCD中,已知四边形 P ABCD是 平行四边形, , N分别是PA,BC的中 M 点, 证明:MN//面PC D
P

M A D

B N

C

空间中的平行

定理应用
构造平行四边形
P

H M A D

B

N

C

空间中的平行

定理应用
构造平行平面
P

M A Q D

B

N

C

复习定理
空间垂直之间的转化 ① ③ 线面垂直 ② ④

空间中的垂直

解决空间直线与平面垂直的相关问题,特别要注意下面的 转化关系:

线线垂直

面面垂直

复习定理
1.直线与平面垂直判定

空间中的垂直

判定:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,则称这条直线和这个平面垂直.

l ? P m n

m ?? ? ? n?? ? ? m ? n ? P? ? l ? ?. ? l?m ? l?n ? ?

? 简称:线线垂直,线面垂直.

复习定理
2.直线与平面垂直性质

空间中的垂直

判定:如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这 个平面内任意一条直线都垂直.

l ?? ? ??l ?m m ???
? 简称:线面垂直,线线垂直.

复习定理
3.平面与平面垂直判定

空间中的垂直

判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个 平面互相垂直.

?

b
?

b?? ?? ? ? b??

?

? 简称:线面垂直,面面垂直.

复习定理
4.平面与平面垂直性质

空间中的垂直

性质:如果两个平面互相垂直,则其中一个平面内垂直于 交线的直线必垂直于另一个平面.

β

a

??? ? ? ? ? ? l? ?? a ?? a??
a?l ? ?

α

l

? 简称:面面垂直,线面垂直.

归纳小结
1.垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若 这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂 直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转 化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线 垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作 一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个 垂面中,作交线的垂线即可.

1.如图所示,在四面体 ABCD 中,AD⊥底面 ABC,AB=3,AC=5,BC=4. 1) 2) 3) 在四面体 ABCD 中有几个直角三角形? 有几组平面垂直? 你能找出 A 点在面 BCD 上的射影吗?

3、 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为
?DAB ? 60? , AB ? 2 AD, PD ? 平行四边形。
ABCD

底面

,证明: PA ? BD

练习:.下列命题中,m、n表示两条不同的直线,α 、β 、

γ 表示三个不同的平面.
①若m⊥α ,n∥α ,则m⊥n;②若α ⊥γ ,β ⊥γ ,
则α ∥β ; ③若m∥α ,n∥α ,则m∥n;④若α ∥β ,β ∥γ , m⊥α ,则m⊥γ . 正确的命题是( C )

A.①③
解析

B.②③

C.①④

D.②④

②中平面α 与β 可能相交,③中m与n可以

是相交直线或异面直线.故②③错,选C.

例 1. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC, 点 D 是 AB 的中点. (1)求证:BC1∥平面 CA1D; (2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B. 证明:(1)连结AC1交A1C于E,连结DE. ∵AA1C1C为矩形,则E为AC1的中点. 又D是AB的中点,

∴在△ABC1中,DE∥BC1. 又DE?平面CA1D, BC1?平面CA1D, ∴BC1∥平面CA1D.

E

证明:(2)∵AC=BC, D为AB的中点, ∴在△ABC中,AB⊥CD. 又AA1⊥平面ABC,
CD?平面ABC, ∴AA1⊥CD. 又AA1∩AB=A, ∴CD⊥平面AA1B1B. 又CD?平面CA1D,

∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.

例 2.

如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,

△PAB 为正三角形,且面 PAB⊥面 ABCD, 四边形 ABCD 是直角梯形,且 AD∥BC, π ∠BCD= ,AD=1,BC=2,E 为棱 PC 的中点. 4 (1)求证:DE∥平面 PAB; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PBC;
分析: (1)证明线面平行只需在平面内找一条和

该直线平行的直线即可,也可转化为经过这条直线 的平面和已知平面平行;(2)证明面面垂直,只需在 一个平面内找到另一个平面的垂线.

(1) 证明

如图所示,取线段 BC 的中点 F,

连接 EF、FD. 在△PBC 中,E、F 分别为 PC、CB 的中点, ∴EF∥PB. 在直角梯形 ABCD 中,F 为 CB 的中点, 1 ∴BF=2BC=1. 又∵AD∥BC,且 AD=1, ∴AD // BF. ∴四边形 ABFD 是平行四边形, ∴FD∥AB. 又∵EF∩FD=F,PB∩BA=B, ∴平面 EFD∥平面 PAB. 又∵DE?平面 EFD,∴DE∥平面 PAB.

F

构造平面法

(1) 证明

如图所示,取线段 PB 的中点 H,

连接 EH、AH. 在△PBC 中,E、H和分别为 PC、PB 的中点, ∴EH // BC. 在直角梯形 ABCD 中, ∵AD∥BC,且 AD=1,BC=2 1 ∴AD // BC. 2 ∴AD // EH. ∴四边形 ABFD 是平行四边形, ∴ED∥AH. 又∵AH?平面 PAB,且ED ? 平面 PAB ∴DE∥平面 PAB.

H

构造平行四边行法

(2)证明 在直角梯形中,CB⊥AB, 又∵平面 PAB⊥平面 ABCD, 且平面 PAB∩平面 ABCD=AB, ∴CB⊥平面 PAB. ∵CB?平面 PBC, ∴平面 PBC⊥平面 PAB.

1.线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下 列形式转化.

在证明平行或垂直的问题中,认真体会“转化”这 一数学思想方法. 不仅要领悟“平行”“垂直”内部 间的转化,还要注意平行与垂直之间的转化关系. 2.弄清各类问题的关键点,把握问题的层次,重视容易 忽视的问题, 如证平行时, 由于过分强调线线、 线面、 面面平行的转化,而忽视由垂直关系证平行关系;证 垂直时, 同样忽视由平行关系来证明和利用勾股定理 计算证明.


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