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2015-2016学年高中数学 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案 新人教A版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 学案 新人教 A 版选修 2-3

基 础 梳 理 1 .分类变量的概念. 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.

2.2×2 列联表. 一般地,假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频 数列联表(称为 2×2 列联表)如下:

n(ad-bc) 2 构造随机变量 K = , 其中 n=a+b+c+d 为样本容 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
量. 3.独立性检验. 2 利用随机变量 K 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. 临界值表:

2

1

自 测 自 评 1.下面说法正确的是(B) A.统计方法的特点是统计推断准确、有效 B.独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法 C.任何两个分类变量有关系的可信度都可以通过查表得到 D.不能从等高条形图中看出两个分类变量是否相关 解析:根据独立性检验的概念知,选项 B 正确.故选 B . 2 2.对于分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k,下列说法正确的是(B) A.k 越大,推断“X 与 Y 有关系”,犯错误的概率越大 B.k 越小,推断“X 与 Y 有关系”,犯错误 的概率越大 C.k 越接近于 0,推断“X 与 Y 无关”,犯错误的概率越大 D.k 越大,推断“X 与 Y 无关”,犯错误的概率越小 3.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(C) 2 A. 若 K 的观测值为 k=6.635, 我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系, 那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病 B.从独立性检验可知,有 99%的把握认为吸烟与患肺病 有关系时,我们说某人吸烟, 那么他有 99%的 可能患有肺病 C.若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得 推断出现错误 D.以上三种说法都不正确 解析:根据独立性检验的概念知,选项 C 正确.故选 C.

不用独立性检验而凭经验下结论致错 【典例】 调查者通过询问男女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表 所示.请估计看营养说明是否与性别有关系. 看营养说明 男大学生 女大学生 总计 10 8 18 不看营养说明 45 27 72 总计 55 35 90
2

90(10×27-8×45) 2 解析:由表中数据得 K 的观测值为: k= ≈0.292<0.455, 55×35×18×72 所以我们没有充分的证据认为看营养说明与男女性别有关. 【易错剖析】本题若不用独立性检验,会有如下错解:由表中数据可知,55 名男大学 生中有 10 名看营养说明, 而 35 名女大学生中有 8 名看营养说明, 显然男性看营养说明的比 10 8 例 比女性的 要低,因此看营养说明与性别有关. 55 35
2

基 础 巩 固 1.下列关于 K 的说法正确的是(C) 2 A.K 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 2 B.K 的值越大,两个事件的相关性越大 2 C .K 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,只对于两个分类变量适合
2

n(ad-bc) 2 2 D.K 的观测值的计算公式为 K = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
解析:A 中 K 的使用范围是四个数据中每个数据都必须大于 5,故 A 错;B 中过于确定, 不正确;C 正确;D 中公式有错. 2.在 2×2 列联表中,两个比值________相差越大,两个分类变量之间的关系越强 (A) A. C.
2

a

a+b c+d a c 与 a+d b+c



c

B. D.

a

c+d a+b a c 与 b+d a+c



c

解析:

a c 与 相差越大,说明 ad 与 bc 相差越大,两个分类变量之间的关系越强. a+b c+d y1 a
2

3.下面是 2×2 列联表:

y2
21 25 46

总计 73 27

x1 x2
总计

b

则表中 a、b 的值分别为(C) A.94、96 B.52、50 C.52、54 D.54、52 解析:∵a+21=73,∴a=52. 又∵a+2=b,∴b=54. 4.某大学在研究性别与职称(分正教授,副教授)之间是否有关系,你认为应该收 集的 数据是男正教授人数,男副教授人数,女正教授人数,女副教授人数. 能 力 提 升 5.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如下表数据: 种子处理 得病 不得病 总计 32 61 93 种子未处理 101 213 314 总计 133 274 407

根据以上数据,则(A) A.没有充分的理由说明种子经过处理跟是否生病有关 B.种子经过处理跟是否生病有关 C.种子是否经过处理决定是否生病 D.以上都是错误的
3

407×(32×213-61×101) 2 解析:由公式得 K 的观测值为 k= ≈0.164<0.455. 133×274×93×314 6.有两个分类变量 x,y,其 2×2 列联表如下表.其中 a,15-a 均为大于 5 的整数, 若在犯错误 的概率不超过 0.1 的前提下认为“x 与 y 之间有关系”,则 a 的取值应为 (D)

2

x1 x2

y1 a
15-a

y2
20-a 30+a

A.5 或 6 B. 6 或 7 C.7 或 8 D.8 或 9 2 解析:查表可知,要使在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为 K 之间有关系,则 K2>2.706,而

K2=

65[a(30+a)-(20-a)(15-a)] 13(65a-300) = = 20×45×15×50 60×45×50
2

2

2

13(13a-60) 2 ,要使 K >2.706 得 a>7.19 或 a<2.04.又因为 a>5 且 15-a>5,a∈Z,所 60×90 以 a=8 或 9, 故当 a 取 8 或 9 时在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下, 认为“x 与 y 之间有 关系”. 7. 某高校统计初步课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况, 具体数据如下表: 专业 性别 男生 女生
2

非统计专业 13 7

统计专业 10 20
2

为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据得到随机变量 K 的观测值 50×(13×20-10×7) 为 k= ≈4.844.因为 k>3.841,所以确认“主修统计专业与性别有 23×27×20×30 关系”,这种判断出现错误的可能性为__ ______. 2 解析:因为随机变量 K 的观测值 k>3.841,所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下 认为“主修统计专业与性别有关系”.故这种判断出现错误的可能性为 5%. 答案:5% 8. 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的 跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示: 又发作过 心脏病 心脏搭桥手术 血管清障手术 合计
2

未发作过 心脏病 157 167 324

合计 196 196 392

39 29 68

试根据上述数据计算 K =________, 比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有 差别________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析:提出假设 H0:两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别.根据列联表中的数 392×(39×167-29×157) 2 据,可以求得 K 的观测值 k= =1.78. 68×324×196×196 当 H0 成立时,K =1.78,而 K <2.072 的概率为 0.85.所以,不能否定假设 H0.也就是不 能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论. 答案:1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论
4
2 2 2

9.为了解决初二平面几何入门难的问题,某校在初中一年级代数教学中加强概念和推 理教学,并设有对照班,下表是初中二年级平面几何期中测验成绩统计表的一部分,试分析 研究实验结果. 70 分以上 实验班 对照班 合计 32 12 44
2

70 及 70 分以下 18 38 56

合计 50 50 100

100×(32×38-18×12) 解析: ∵k= ≈16.234>10.828, 故有 9 9.9%的把握认为“在 50×50×44×56 初一加强概念和推理教学,对初二平面几何的测试成绩”有关系. 10. 甲、乙两机床加工同一种零件,抽检得到它们加工后的零件尺寸 x(单位:cm)及个 数 y,如下表: 零件 尺寸 x 零件 个数 y 甲 乙 3 7 7 4 8 4 9 4 3 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05

a 由表中数据得 y 关于 x 的线性回归方程为 y=-91+100x(1.01≤x≤1.05),其中合格
零件尺寸为 1.03±0.01(cm). 完成下面列联表, 并判断是否有 99%的把握认为加工零件的质 量与甲、乙有关. 合格零件数 甲 乙 合计 不合格零件数 合计

a+49 - - a+49 解析:(1) x =1.03, y = ,由 y=-91+100x 知, =-91+100×1.03,所 5 5
以,a=11,由于合格零件尺寸为 1.03±0.01 cm,故甲、乙加工的合格与不合格零件的数 据表为: 合格零件数 甲 乙 合计
2

不合格零件数 6 18 24

合计 30 30 60

24 12 36
2

2 n(ad-bc) 60×(24×18-6×12) 所以,K = = =10, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 30×30×36×24

因 K =10>6.635,故有 99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关.

2

5


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