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福建省福州市2013届高三上学期期末质检数学文试题 (Word版含答案)


福建省福州市 2013 届高三上学期期末质量检查

数学(文)试题
(满分:150 分;完卷时间:120 分钟) 参考公式:

用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b ?

? x y ? nx?y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

, a ? y ? bx

2 i

? nx

2

第Ⅰ (选择题共 50 分) 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答案中有且只 有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. i 是虚数单位,复数 A.第一象限 C.第三象限

2?i 在复平面上的对应点所在 1? i
B.第二象限 D.第三象限

2.如图设全集 U 为整数集,集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 8}, B ? {0,1, 2}则下图中阴影部分表 示的集合的真子集的个数为 A.3 B.4 C.7 D.8 3.设命题 p:函数 y ? cos 2 x 的最小正周期为

x?

?
2

? ,命题 q:函数 y ? sin x 的图象关于直线 2
C. p ? q 为真 D. p ? q 为真

对称,则下列判断正确的是 B. ? q 为真

A.p 为真

4.对具有线性相关关系的变量 x,y,测得一组数据如下表:

x y

2 20

4 40

5 60

6 70

8 80
? ?

根据上表, 利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 y ? 10.5 x ? a , 据此模型来预测当 x= 20 时,y 的估计值为 A. 210 B.210.5 C.211.5 D.212.5

5.“ a ∥ ”是“存在唯一实数 ? ,使得 a = ? b ”的 b A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 必要条件 6.函数 y ? 1og5 (1 ? x) 的大致图象是 D.既不充分也不

? ?

?

?

7.△ ABC 中,若 sinB 既是 sinA,sinC 的等差中项,又是 sinA,sinC 的等比中项,则∠ 的大 B 小是 A. 30
?

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

?

8.在区间[0, ? ]上随机取一个数 x,则事件“ sin x ? cos x ?

6 ”发生的概率为 2
D.

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

2 3

9.若运行如右图所示的程序,则输出 S 的值是

2012 2011 2012 C. 2013
A.

2011 2012 2013 D. 2012
B.

10.已知函数 f ( x) ? M sin(? x ? ? )( M ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

半个周期内的图象如图所示,则函数 f ( x ) 的解析式为 A. f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

) )

B. f ( x) ? 2sin(2 x ? C. f ( x) ? 2sin( x ?

?
6 )

?
6

D. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) 2 3 ? 的最小值为 m n
D.5

11.若点 A(m、n)在第一象限,且在直线 2 x ? 3 y ? 5 上,则 A.

24 5

B.

26 5

C.4

12.能够把圆 O:x2 +y2= 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函 数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是

A. f ( x) ? x3 C. f ( x) ? e x ? e? x

B. f ( x) ? tan

x 2

D. f ( x) ? 1n[(4 ? x)(4 ? x)]

第Ⅱ (非选择题共 100 分) 卷
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置上。 ) 13.以椭圆

x2 ? y 2 ? 1的右焦点为焦点,且顶点在原点的抛物线标准议程为 3



14.若函数 f ( x) ? ?

?1og 2 x, x ? 0
x ??2 ? 1, x ? 0

,则函数 f ( x ) 的零点为



?x ? y ? 2 ? 1 ? 15.已知 O 是坐标原点,点 M 的坐标为(2,1) ,若点 N(x,y)为平面区域 ? x ? 上 2 ? ?y ? x ?
的一个动点,则 OM ·ON 的最大值是
x

???? ???? ?



16.已知点 A( x1 , a x 2 ) B( x2 , a x 2 ) 是函数 y ? 2 的图象上任意不同两点,依据图象可知,线 段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论
x1 ? x2 a x1 ? a x2 ? a 2 成立.运 2

用类比思想方法可知,若点 A(x1,sinxl) 、B(x2,sinx2)是函数 y=sinx(z∈ (0, ? ) ) 的图象上的不同两点,则类似地有____成立. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } a1 ? 1, 点(an , an?1 )在函数y ? 3x ? 2的图象上(n ? N * ). 中 (I)证明:数列 {an ? 1} 是等比数列; (Ⅱ )求数列 {an } 的前 n 项和. 18(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x ·cos ? x ? 2 3 cos 小正周期为 ? (I)求 ? 的值; (Ⅱ )将函数 y= f(x)的图象向右平移 来的
2

,且函数 f ( x ) 的最 ? x ? 3 (其中 ? >o)

? 单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩小为原 6

1 倍(纵坐标不变)得到函数 y=g(x)的图象.求函数 g(x)的单调区间. 2

19. (本小题满分 12 分) 某学校为促进学生的全面发展,积极开展丰富多样的社团活动,根据调查,学校在传统 民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团,三个社团参加的人数如 下表示所示:

社团 人数

泥塑 320

剪纸 240

年画 200

为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样 本,已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少 2 人. (I)求三个社团分别抽取了多少同学; (Ⅱ )若从“剪纸”社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务,已知“剪纸” 社团被抽取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率. 20. (本小题满分 12 分)

y 2 x2 没椭圆 C : 2 ? 2 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别 F1、F2,点 P 是椭圆短轴的一个端点, a b
且焦距为 6,△ F1F2 的周长为 16. P (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )求过点(3,0)且斜率为

4 的直线 l 被椭圆 C 所截线段的中点坐标。 5

21. (本小题满分 14 分) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC, 其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相 切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 若池边 AE 满足函数 y ? ? OA 距离为 t (0 ? t ? 2) .

1 2 x ? 2(0 ? x ? 2 的图象,且点 M 到边 2

1 时,求直路 l 所在的直线方程; 2 (Ⅱ 当 t 为何值时, ) 地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大, 最大值是多少?
(I)当 t ? 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? b ·x 的图象过点(1,0)
2

(I)求 f ( x ) 的解析式;

(Ⅱ )若 f ( x) ?

1 ? 1nx(t 为实数)恒成立,求 t 的取值范围; x

(Ⅲ )当 m ? 0 时,讨论 F ( x) ? f ( x) ?

x 2 m2 ? 1 ? x 在区间(0,2)上极值点的个数。 2 m

福州市 2012—2013 学年第一学期高三期末质量检查 数学(文科)试卷参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. ) 13. y 2 ? 4 2 x 14. 1 或 0 15.3 16. sin x1 ? sin x2 ? sin x1 ? x2
2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因点 (an , an?1 ) 在直线 y ? 3x ? 2 的图象上,? an?1 ? 3an ? 2 , 令 bn ? an ? 1,故只需证 ?bn ? 是等比数列, ·········································· 分 ·········································2

bn?1 an?1 ? 1 3an ? 2 ? 1 3? an ? 1? ························ ? ? ? ? 3 , b1 ? a1 ? 1 ? 2 , ·························4 分 bn an ? 1 an ? 1 an ? 1

? 数列 ?bn ? 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.
即数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列. ·································· 分 ·································6 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,3 为公比的等比数列, ∴ an ? 1 ? 2 ? 3n?1 , ······························································· 分 ······························································8 ································································ ? an ? 2 ? 3n?1 ?1 ································································9 分 所以数列 ?an ? 的前 n 项和

Sn ? (2 ?1) ? (2 ? 3 ?1) ???? ? 2 ? 3n?1 ?1
························································· ? 2(1 ? 3 ? ??? ? 3n?1 ) ? n ·························································10 分

? 2?

1 ? 3n ?n 1? 3

? 3n ? n ? 1.···································································· 分 ···································································12
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 2 sin( 2?x ?

?
3

) , ·······················2 分 ·······················

因为 ? ? 0 ,函数 f ( x ) 周期为 ? ·················································3 分 ················································· 所以 T ?

2? ? ? ? ? ,所以 ? ? 1 ···············································4 分 ··············································· 2? ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2sin(2 x ? 函数 y ? 2sin[2( x ?

?
3

) . 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

? 2? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再将所得图象各点的横坐标缩小为 6 3 3 1 2? ) . ·························8 分 原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x) ? 2sin(4 x ? ························· 2 3 ? 2? ? k? 7? k? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) ;得 ?x? ? (k ? Z ) 由 - ? 2k? ? 4 x ? 2 3 2 2 24 2 24 ? 2? 3? k? ? k? 5? ? ? 2k? (k ? Z ) ;得 ?x? ? (k ? Z ) 由 ? 2k? ? 4 x ? 2 3 2 2 24 2 24 k? 7? k? ? - , ? ] (k ? Z ) ; 故函数 g ( x) 的增区间为[ 2 24 2 24 k? ? k? 5? - , ? 减区间为[ ], (k ? Z ) . ·········································· 分 ·········································12 2 24 2 24
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设抽样比为 x ,则由分层抽样可知, “泥塑”“剪纸”“年画”三个社团抽取的人 、 、 240 200 数分别为 320 x、 x、 x . ······················································ 分 ·····················································1

?

? 个单位后得到 6

1 . ···································· 分 ···································2 40 1 1 ? 8 ,240 ? ? 6, 故 “泥塑” 、 “剪纸” 、 “年画” 三个社团抽取的人数分别为 320 ? 40 40 1 200 ? ? 5 .··································································4 分 ·································································· 40
则由题意得 320 x ? 240 x ? 2 ,解得 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知,从“剪纸”社团抽取的同学为 6 人,其中 2 位女生记为 A,B,4 位男生记为 C,D,E,F. ·························································· 分 ·························································6 则从这 6 位同学中任选 2 人,不同的结果有 {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F}, {B,C},{B,D},{B,E},{B,F}, {C,D},{C,E},{C,F}, {D,E},{D,F}, {E,F}, 共 15 种.··································································· 8 分 ···································································

其中含有 1 名女生的选法为 {A,C},{A,D},{A,E},{A,F}, {B,C},{B,D},{B,E},{B,F}, 共 8 种;···································································10 分 ··································································· 含有 2 名女生的选法只有{A,B}1 种. 故至少有 1 名女同学被选中的概率为

8 ?1 9 3 ? = . ····························· 分 ····························12 15 15 5

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,则由题设得 ?

2c ? 6 ?a ? 5 ,解得 ? ,所以 ?c ? 3 ?2a ? 2c ? 16 ?
x2 y 2 ? ? 1 . ··························6 分 ·························· 25 16

b2 ? a2 ? c2 ? 52 ? 32 ? 16 ,故所求 C 的方程为
(Ⅱ)解法一、过点 ? 3,0 ? 且斜率为 分 将之代入 C 的方程,得

4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? ,????????? 8 5 5

x2 ? x ? 3? ·············································· ? ? 1 ,即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 .··············································9 分 25 25
2

因为 ? 3,0 ? 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ·············· 10 分 ·············· 因为 x1 ? x2 ? 3 ,所以线段 AB 中点的横坐标为 纵坐标为

x1 ? x2 3 ? , 2 2

4 ?3 ? 6 ? ? ? 3? ? ? . 5 ?2 ? 5

···················································11 分 ···················································

故所求线段的中点坐标为 ?

?3 6? ·············································12 , ? ? . ·············································· 分 ?2 5?
4 4 的直线 l 的方程为 y ? ? x ? 3 ? , ······················· 8 分 ······················· 5 5

解法二、过点 ? 3,0 ? 且斜率为

因为 ? 3,0 ? 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, 设两交点的坐标分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,中点 M 的坐标为 ( x0 , y0 )

? x12 y12 ? 25 ? 16 ? 1 (1) ? 则有 ? 2 ks5u x2 y2 2 ? ? ? 1 (2) ? 25 16 ?

·················································9 分 ·················································

由(1)-(2)得,

( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ( y ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ?? 1 25 16



16( x1 ? x2 ) y ?y ?? 1 2 25( y1 ? y2 ) x1 ? x2



16x0 4 4 ············································· ? ? ,又 y 0 ? ( x0 ? 3) , ··············································11 分 5 25y 0 5

3 ? ? x0 ? 2 ? 所以 ? ?y ? ? 6 ? 0 5 ?
故所求线段的中点坐标为 ?

?3 6? ···············································12 , ? ? .················································ 分 ?2 5?

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ y ? ? x 2 ? 2 ,∴ y? ? ? x , ∴过点 M (t , ? t 2 ? 2) 的切线的斜率为 ?t , ········································ 2 分 ········································ 所以过点 M 的切线方程为 y ? (? t 2 ? 2) ? ?t ( x ? t ) ,即 y ? ?tx ? t 2 ? 2 ; 2 2 A 1 1 17 当 t ? 时,切线 l 的方程为 y ? ? x ? ???????????4 分

1 2

1 2

1

1

y B

2

2

8

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,切线 l 的方程为: y ? ?tx ? t 2 ? 2 ,

1 2

t t .故切线 l 与线段 AB 交点为 F ( , 2) ,????5 分 O 2 2 1 1 令 x ? 2 ,得 y ? t 2 ? 2t ? 2 .故切线 l 与线段 BC 交点为 G (2, t 2 -2t+2) ????????6 2 2
令 y ? 2 ,得 x ? 分 地块 OABC 在切线 l 右上部分的区域为一三角形 ?FBG ,设其面积为 f (t ) ,

x C

1 ··························································· 8 FB ? BG , ···························································· 分 2 1 1 1 ? ? 2- t) - t 2 +2t) ( ? ( 2 2 2 1 3 2 ······················································· 10 f (t )= t -t +2t (0<t ? 2) ························································ 分 8 3 ∵ f ?(t ) ? t 2 -2t+2 8 4 4 ∴当 t ? 0,) f (t ) 为单调递增函数;当 t ? ,) f (t ) 为单调递减函数, 时 ( ( 2 时 3 3
∴ f (t ) ?

4 4 32 时, f (t ) 的最大值为 f ( )= .········································· 11 分 ········································· 3 3 27 400 ∴当点 M 到边 OA 距离为 m 时, 3 320000 2 地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积取到最大,最大值为 m .············· 12 分 ············· 27
∴当 t ? 22.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x) ? ln x ? bx2 的图象过定点(1,0) ,??????????????1 分 把点(1,0)代入 f ( x) ? ln x ? bx 2 得 b ? 0 , 所以 f ( x) ? ln x , ???????????????????????????????2 分

t ? ln x 恒成立, x t t 即 ? ln x ? ln x 恒成立,得 ? 2 ln x ,因为 x ? 0 , x x 所以 t ? 2 x ln x ,······························································ 3 ······························································
(Ⅱ) f ( x) ? 分 令 h( x) ? 2 x ln x, h '( x) ? 2(ln x ? 1) , ············································ 4 ············································ 分 当 x ? (0, ) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ) 为减函数; ·························· ························· 5 分 当 x ? ( , ??) 时, h '( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 ( , ??) 为增函数; ······················ ····················· 6分

1 e

1 e

1 e

1 e

2 1 2 h( x) 的最小值为 h( ) ? ? ,故 t ? ? ; ·········································7 分 ········································· e e e
(Ⅲ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? ln x ,所以 F ( x) ? ln x ?

x 2 m2 ? 1 ? x( x ? 0) 2 m

所以

1 m ?1 F '( x) ? x ? ? ? x m
2

( x ? m)( x ? x

1 ) m

又 x ? 0 ,由 F ?( x) ? 0 得, x1 ? m , x 2 ?

1 ····································· .·····································9 分 m

(1)当 m ?

1 ·····10 时,得 m ? 1 , F ?( x) ? 0 , F (x) 在(0,2)为增函数,无极值点;······ 分 m

?0 ? m ? 2 1 1 ? (2)当 ? 且m ? 时,得 ? m ? 2 且 m ? 1 ,根据 x、F ? x?、F? ? x? 的变化 1 m 2 ?0 ? m ? 2 ?
·············································12 情况检验,可知 F (x) 有 2 个极值点; ·············································· 分

?0 ? m ? 2 ?m ? 2 1 ? ? (3) ? 1 当 或? 时, 0 ? m ? 或 m ? 2 时, 得 根据 x1、F ? x ?、F ? ? x ? 的 1 ?2 0? ?2 2 ?m ? m ? ?
·········································· 变化情况检验,可知 F (x) 有 1 个极值点;··········································13 分 综上,当 m ? 1 时,函数 F (x) 在(0,2)无极值点;当 0 ? m ?

1 或 m ? 2 时, F (x) 有 1 2

个极值点;当

1 ? m ? 2 且 m ? 1 时, F (x) 有 2 个极值点. ··························14 分 ························· 2


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