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黑龙江省哈尔滨市2013年中考数学试题(word版,含解析)


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哈尔滨市 2013 年初中升学考试数学试卷解析
一、选择题
1 1.(2013 哈尔滨) ? 的倒数是( ). 3 1 1 (A)3 (B)一 3 (C) ? (D) 3 3 考点:倒数. 分析:一个数的倒数就是把这个数的分子、分母颠倒位置即可得到. 1 3 解答: ? 的倒数是 ? ? ?3 . 3 1 故选 B. 2.(2013 哈尔滨)下列计算正确的是( ). .

(A)a3+a2=a5

(B)a3·a2=a6

(C)(a2)3=a6

a a2 (D) ( ) 2 ? 2 2

考点:幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法。 分析:分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则对各选 项进行逐一计算即可 解答:解:A、a2 和 a3 不是同类项,不能合并,故此选项错误; B、a3a2=a3+2=a5,故此选项错误; C、 2)3=a6,故此选项正确; (a
a a2 D、 ( ) 2 ? 故此选项错误; 2 4

故选:C. 3.(2013 哈尔滨)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).

考点:轴对称图形与中心对称图形 . 分析:题考查了中心对称图形.掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴 对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是 要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分重合.

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解答: A.是轴对称图形,不是中心对称图形;B. 是中心对称图形,不是轴对称 图形.;C.是轴对称图形,不是中心对称图形;D. 是轴对称图形,又是中心 对称图形; 故选 D. 4.(2013 哈尔滨)如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形,则这个 几何体的俯视图是( ).

考点:简单组合体的三视图. 分析:从正面看到的图叫做主视图,从左面看到的图叫做左视图,从上面看到的图 叫做俯视图.根据图中正方体摆放的位置判定则可. 解答:解:从上面看,下面一行左面是横放 2 个正方体,上面一行右面是一个正方 体. 故选 A. 5. (2013 哈尔滨)把抛物线 y=(x+1)2 向下平移 2 个单位,再向右平移 1 个单位,所 得到的抛物线是( ). 2 (A)y=(x+2) +2 (B)y=(x+2)2-2 (C)y=x2+2 (D)y=x2-2 考点:抛物线的平移 分析:根据平移概念,图形平移变换,图形上每一点移动规律都是一样的,也可用 抛物线顶点移动.即(-1,0)—→(0,-2). 解答:根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律: “左加右减,上加下减.”故选 D. 1 ? 2k 6.(2013 哈尔滨)反比例函数 y ? 的图象经过点(-2,3),则 k 的值为( ). x 7 7 (A)6 (B)-6 (C) (D) ? 2 2 考点:反比例函数的图象上的点的坐标. 分析:点在曲线上,则点的坐标满足曲线解析式,反之亦然 1 ? 2k 1 ? 2k 解答:反比例函数 y ? 的图象经过点(-2,3),表明在解析式 y ? ,当 x x 7 x=-2 时,y=3,所以 1-2k=xy=3×(-2)=-6.,解得 k= 2 故选 C 7.(2013 哈尔滨)如图,在 ? ABCD 中,AD=2AB,CE 平分∠BCD 交 AD 边于点 E, 且 AE=3,则 AB 的长为( ). 5 (A)4 (B)3 (C) (D)2 2 考点:平行四边形的性质及等腰三角形判定.
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分析:本题主要考查了平行四边形的性质:平边四边形的对边平行且相等;等腰三 角形判定,两直线平行内错角相等;综合运用这三个性质是解题的关键 解答:根据 CECE 平分∠BCD 得∠BCE=∠ECD,AD∥BC 得∠BCE=∠DEC 从而△DCE 为等 腰三角形,ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得 AB=3 故选 B 8.(2013 哈尔滨)在一个不透明的袋子中,有 2 个白球和 2 个红球,它们只有颜色 上的区别,从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回.再随机地摸出一个球.则两 次都摸到白球的概率为( ). 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 16 8 4 2 考点:求概率,列表法与树状图法。 分析:概率的计算一般是利用树状图或列表把所有等可能性的情况列出,然后再计 算某一事件的概率.其关键是找出所有的等可能性的结果 解答:解:画树状图得:4 个球,白球记为 1、2 黑球记为 3、4 ∵共有 16 种等可能的结果,两次都摸到白球的只有 4 种情况, ∴两次都摸到黑球的概率是. 故选 C.

9. (2013 哈尔滨) 如图,在△ABC 中,M、N 分别是边 AB、AC 的中点,则△AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比为( ). 1 1 1 2 (A) (B) (C) (D) 2 3 4 3 考点:相似三角形的性质。 ,三角形的中位线 分析:利用相似三角形的判定和性质是解题的关键 解答:由 MN 是三角形的中位线,2MN=BC, MN∥BC ∴△ABC∽△AMN∴三角形的相似比是 2:1,∴△ABC 与△AMN 的面积之比为 4:
1 1. ,则△AMN 的面积与四边形 MBCN 的面积比为 , 3

故选 B 10. (2013 哈尔滨)梅凯种子公司以一定价格销售“黄金 1 号”玉米种子,如果一次 购买 10 千克以上(不含 l0 千克)的种子,超过 l0 千克的那部分种子的价格将打折,
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并依此得到付款金额 y(单位:元)与一次购买种子数量 x(单位:千克)之间的函数 关系如图所示.下列四种说法: ①一次购买种子数量不超过 l0 千克时,销售价格为 5 元/千克; ②一次购买 30 千克种子时,付款金额为 100 元; ③一次购买 10 千克以上种子时,超过 l0 千克的那部分种子的价格打五折: ④一次购买 40 千克种子比分两次购买且每次购买 20 千克种子少花 25 元钱. 其中正确的个数是( ). (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D) 4 个 考点:一次函数的应用。 分析:考查一次函数的应用;得到超过 10 千克的费用的计算方式是解决本题的关键 点. (1)0≤x≤10 时,付款 y=5×相应千克数;数量不超过 l0 千克 时,销售 价格为 5 元/千克; (2)x>10 时,付款 y=2.5x+25 相应千克数,超过 l0 千克的那部分种子的价格 解答: 由 0≤x≤10 时,付款 y=5×相应千克数,得数量不超过 l0 千克时,销售价格为 5 元/千克①是正确;当 x=30 代入 y=2.5x+25 y=100,故②是正确;由(2)x>10 时,付款 y=2.5x+25 相应千克数,得每千克 2.5 元,故③是正确;当 x=40 代入 y=2.5x+25 y=125,当 x=20 代入 y=2.5x+25=75,两次共 150 元,两种相差 25 元,故④是正 确;四个选项都正确, 故选 D

二、填空题 1 1.(2013 哈尔滨)把 98 000 用科学记数法表示为 .

考点:科学记数法—表示较大的数. 分析:科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原 数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答:98

000=9.8×104.
x 中,自变量 x 的取值范围是 x?3

12.(2013 哈尔滨)在函数 y ? 考点:分式意义的条件.



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分析:根据分式有意义的条件列出关于 x 的不等式,求出 x 的取值范围即可. x 解答:∵ 式子 y ? 在实数范围内有意义, x?3 ∴ x+3≠≥0,解得 x≠-3. 13.(2013 哈尔滨)计算: 27 ?
3 = 2



考点:二次根式的运算 分析:此题主要考查了二次根式的运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的 二次根式进行合并.合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数,根 指数与被开方数不变. 解答:原式= 3 3 ?
3 3 3 = . 2 2

14.(2013 哈尔滨)不等式组 3x-1<2,x+3≥1 的解集是 . 考点: 解一元一次不等式组。 分析: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知同大取大;同小取小;大小小大中 间找;大大小小找不到的原则是解答此题的关键. 分别求出各不等式的解集, 再求出 其公共解集即可. 解答: 解:3x-1<2①由①得,x<1, x+3≥1②得 x≥-2 故此不等式组的解集为:-2≤x<1. 故答案为:-2≤x<1. 15.(2013 哈尔滨)把多项式 4ax 2 ? ay 2 分解因式的结果是 考点:提取公因式法和应用公式法因式分解。 分析:先提取公因式法然后考虑应用公式法来因式分解。 解答: 4ax 2 ? ay 2 ? a (4 x 2 ? y 2 ) ? a (2 x ? y )(2 x ? y ) 16.(2013 哈尔滨)一个圆锥的侧面积是 36 ? cm2,母线长是 12cm,则这个圆锥的 底面直径是 cm. 考点:弧长和扇形面积 分析:本题考查圆锥形侧面积公式,直接代入公式即可.掌握圆锥形侧面积公式是解 题关键 解答:设母线长为 R,底面半径为 r,则底面周长=2π r,底面面积=π r2,侧面面积= π rR,由题知侧面积 36 ? =π r12,所以 r =3,底面直径是 6 17.(2013 哈尔滨)如图,直线 AB 与⊙O 相切于点 A,AC、CD 是⊙O 的两条弦,且 5 CD∥AB,若⊙O 的半径为 ,CD=4,则弦 AC 的长为 . 2 考点:垂径定理;勾股定理。切线的性质。 分析::本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理,根据题意作出辅助 线,构造出直角三角形是解答此题的关键。 解答:连接 OA,作 OE⊥CD 于 E,易得 OA⊥AB,CE=DE=2,由于 CD∥AB 得 EOA 三点共线, .

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连 OC,在直角三角形 OEC 中,由勾股定理得 OE= AEC 中由勾股定理得 AC= 2 5

3 ,从而 AE=4,再直角三角形 2

18. (2013 哈尔滨) 某商品经过连续两次降价, 销售单价由原来的 125 元降到 80 元, 则平均每次降价的百分率为 . 考点:一元二次方程的应用 分析:本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目 给出的条件,找出合适的等量关系求解 解答:设平均每次降价的百分率为 x, 根据题意得:125(1 ? x) 2 ? 80 ,解得 x1 =0.1=20%,x2 =﹣1.8 (不合题意,舍去) .故 答案为:20%. 19.(2013 哈尔滨)在△ABC 中,AB= 2 2 ,BC=1,∠ ABC=450,以 AB 为一边作等腰 直角三角形 ABD,使∠ABD=900,连接 CD,则线段 CD 的长为 . 考点:解直角三角形,钝角三角形的高 分析:双解问题,画等腰直角三角形 ABD,使∠ABD=900,分两种情况,点 D 与 C 在 AB 同侧,D 与 C 在 AB 异侧,考虑要全面; 解答:当点 D 与 C 在 AB 同侧,BD=AB= 2 2 ,作 CE⊥BD 于 E,CD=BD=
2 , 2

ED=

3 2 ,由勾股定理 CD= 5 当点 D 与 C 在 AB 异侧,BD=AB= 2 2 ,∠BDC=1350,作 2

DE⊥BC 于 E,BE=ED=2,EC=3,由勾股定理 CD= 13 故填 5 或 13

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20.(2013 哈尔滨)如图。矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0,过点 O 作 OE⊥ AC 交 AB 于 E,若 BC=4,△AOE 的面积为 5,则 sin∠BOE 的值为 . 考点:线段垂直平分线的性质;勾股定理;矩形的性质。解直角三角形 分析:本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质、垂直平分线的性质以及 勾股定理及解直角三角形.注意数形结合思想的应用,此题综合性较强,难度较大, 解答:由△AOE 的面积为 5,找此三角形的高,作 OH⊥AE 于 E,得 OH∥BC,AH=BH,由 三角形的中位线∵BC=4 ∴OH=2,从而 AE=5,连接 CE, 由 AO=OC, OE⊥AC 得 EO 是 AC 的垂直平分线, ∴AE=CE, 在直角三角形 EBC 中,BC=4,AE=5, 勾股定理得 EB=3, AB=8,在直角三角形 ABC 中,勾股定理得 AC= 4 5 ,BO=
1 AC= 2 5 ,作 EM⊥BO 于 M,在直角三角形 EBM 2

中,EM=BEsin∠ABD=3×

5 5

=

3 5 2 5 6 5 4 5 , BM= BEcos∠ABD=3× = ,从而 OM= , 5 5 5 5

在直角三角形 E0M 中,勾股定理得 OE= 5 ,sin∠

3 5 EM 3 BOE= ? 5 ? 0E 5 5

三、解答题 21.(2013 哈尔滨)
a 1 a?2 的值,其中 a ? 6 tan 60? ? 2 ? ? 2 a ? 2 a ? 1 a ? 2a ? 1 考点:知识点考察:①分式的通分,②分式的约分,③除法变乘法的法则,④完全 平方公式 ⑤特殊角的三角函数值 分析:利用除式的分子利用完全平方公式分解因式,除法变乘法的法则,同分母分 式的减法法则计算,再利用特殊角的三角函数值求出 a 的值代入进行计算即可,考 查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键

先化简,再求代数式

a 1 (a ? 1) 2 a a ?1 1 ? ? 解答:原式= = = ? a ? 2 a ?1 a ? 2 a ? 2 a ? 2 a ? 2

∵ a ? 6 tan 30? ? 2 = a ? 6 ?

3 ?2=2 3?2 3

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∴原式=

1 3 1 = = a?2 2 3?2?2 6

22.(2013 哈尔滨) 如图。在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度 的方格纸中,有线段 AB 和直线 MN,点 A、B、M、N 均在 小正方形的顶点上. (1)在方格纸中画四边形 ABCD(四边形的各顶点均 在小正方形的顶点上), 使四边形 ABCD 是以直线 MN 为 对称轴的轴对称图形, A 的对称点为点 D, B 的对 点 点 称点为点 C; (2)请直接写出四边形 ABCD 的周长. 考点:轴对称图形;勾股定理;网格作图; 分析:(1)根据轴对称图形的性质,利用轴对称的作图方法来作图,(2)利用勾 股定理求出 AB 、BC、CD、AD 四条线段的长度,然后求和即可最 解答:(1)正确画图(2) 2 5 ? 5 2

23.(2013 哈尔滨)春雷中学要了解全校学生 对不同类别电视节目的喜爱情况,围绕“在体育、新闻、动画、娱乐四类电视节目 中,你最喜欢哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生 进行问卷调查.将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图.其中最 喜欢新闻类电视节目的人数占被抽取人数的 l0%. 请你根据以上信息回答下列问题: (1)在这次调查中,最喜欢新闻类电视节目的学生有多少名?并补全条形统计图: (2)如果全校共有 l 200 名学生,请你估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的 学生有多少名?

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考点:条形统计图;用样本估计总体; 分析:(1)根据条形统计图除新闻的三组人数,最喜欢新闻类电视节目的人数占被 抽取人数的 l0%则除新闻的三组人数占 90%,即可得出被抽取的总天数; 用抽取人数减去除新闻的三组人数即可,再根据各组人数补图 (2) 最喜欢体育类电视节目的学生所占比例得出全校共有 l 200 名学生即可. 解答: (1)解:(11+18+16)÷(1—10%)=50(名)。 50—11—18—16=5(名) ∴在这次调查中.最喜欢新闻类电视节目的学生有 5 名 补全条形图如图所示. 11 (2)解:l200× =264(名) 50 ∴估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有 264 名

24.(2013 哈尔滨) 某水渠的横截面呈抛物线形, 水面的宽为 AB(单位: 米)。 现以 AB 所在直线为 x 轴. 以 抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为 O.已知 AB=8 米。设抛物线解析式为 y=ax2-4. (1)求 a 的值;
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(2)点 C(一 1,m)是抛物线上一点,点 C 关于原点 0 的对称点为点 D,连接 CD、 BC、BD,求 ABCD 的面积.

考点:二次函数综合题。 分析: (1)首先得出 B 点的坐标,进而利用待定系数法求出 a 继而得二次函数解析 式(2)首先得出 C 点的坐标,再由对称性得 D 点的坐标,由 S△BCD= S△BOD+ S△BOC
求出

解答:(1)解∵AB=8

由抛物线的对称性可知 0B=4 1 ∴B(4,0) 0=16a-4∴a= 4 (2)解:过点 C 作 CE⊥AB 于 E,过点 D 作 DF⊥AB 于 F 1 1 ∵a= ∴ y ? x2 ? 4 4 4 1 15 15 令 x=一 1.∴m= ×(一 1)2—4= ? ∴C(-1, ? ) 4 4 4 15 15 ∵点 C 关于原点对称点为 D ∴D(1, ).∴CE=DF= 4 4 1 1 1 15 1 15 S△BCD= S△BOD+ S△BOC = = OB·DF+ OB·CE= ×4× + ×4× =15 2 2 2 4 2 4 ∴△BCD 的面积为 l5 平方米

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25.(2013 哈尔滨)) 如图,在△ABC 中,以 BC 为直径作半圆 0,交 AB 于点 D,交 AC 于点 E.AD=AE (1)求证:AB=AC; (2)若 BD=4,BO= 2 5 ,求 AD 的长.

考点:(1)圆周角定理;全等三角形的性质;相似三角形的判定 分析:连接 CD、BE,利用直径所对圆周角 900、证明△ADC≌△AEB 得 AB=AC,(2) BD BO 利用△OBD∽△ABC 得 得 BC=4 再求 AB=10 从而 AD=AB—BD=6 此题利用相似 ? BC AB 三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识.此 题综合性较强,难度适中,注意数形结合思想的应用. 解答:(1)证明:连接 CD、BE ∵BC 为半圆 O 的直径. 0 ∴∠BDC=∠CEB=90 ∴∠LADC=∠AEB=900 又∵AD=AE ∠A=∠A ∴△ADC≌△AEB ∴AB=AC (2)解:连接 0D ∵OD=OB.∴∠OBD=∠ODB ∵AB=AC ∴∠0BD=∠ACB ∴∠ODB=∠ACB BD BO 又∵∠OBD=∠ABC.∴△OBD∽△ABC ∴ . ? BC AB ∵ BO ? 2 5 ∴ BC=4 . 又 ∵ BD=4 ∴
4 4 5 ? 2 5 AB

∴AB=10 ∴AD=AB—BD=6

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26.(2013 哈尔滨)甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务,甲队单独施工完成 此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用 l0 天。且甲队单独施工 45 天和乙队单 独施工 30 天的工作量相同. (1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天? 、 (2)若甲、乙两队共同工作了 3 天后,乙队因设备检修停止施工,由甲队单独继 续施工,为了不影响工程进度。甲队的工作效率提高到原来的 2 倍。要使甲队总的 工作量不少于乙队的工作量的 2 倍,那么甲队至少再单独施工多少天? 考点:分式方程的应用。一元一次不等式的应用; 分析: (1)假设乙队单独完成此项任务需 x 天,则甲队单独完成此项任务需(x+10) 天,根据:甲队单独施工 45 天和乙队单独施工 30 天的工作量相同. 列方程即可. (2)乙队再单独施工 a 天结合(1)的解和甲队总的工作量不少于乙队 的工作量的 2 倍,可列不等式.此题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式 的应用,合理地建立等量或不等量关系,列出方程和不等式是解题关键, 解答:设乙队单独完成此项任务需 x 天,则甲队单独完成此项任务需(x+10)天 45 30 根据题意得 经检验 x=20 是原方程的解 ∴x+10=30(天) ? x ? 10 x ∴甲队单独完成此项任务需 30 天.乙队单独完成此颊任务需 20 天 3 2a 2 (2)解:设甲队再单独施工 a 天 ? ? 2 ? 解得 a ≥3 30 30 30 ∴甲队至少再单独施工 3 天.

27.(2013 哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点 0 为坐标原点,A 点的坐标为 (3,0),以 0A 为边作等边三角形 OAB,点 B 在第一象限,过点 B 作 AB 的垂线交 x 轴 于点 C.动点 P 从 0 点出发沿 0C 向 C 点运动,动点 Q 从 B 点出发沿 BA 向 A 点运动, P,Q 两点同时出发,速度均为 1 个单位/秒。设运动时间为 t 秒. (1)求线段 BC 的长; (2)连接 PQ 交线段 OB 于点 E,过点 E 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 F。设线段 EF 的长为 m,求 m 与 t 之间的函数关系式,并直接写出自变量 t 的取值范围: (3)在(2)的条件下,将△BEF 绕点 B 逆时针旋转得到△BE1F1,使点 E 的对应点 E1 落在线段 AB 上,点 F 的对应点是 F1,E1F1 交 x 轴于点 G,连接 PF、QG,当 t 为何值 时,2BQ-PF=
3 QG? 3

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考点:等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角 形内角和、等腰三角形判定,一元一次方程 分析:(1)由△AOB 为等边三角形得∠ACB=∠OBC=300, 由此 CO=OB=AB=OA=3,在 RT△ABC 中,AC 为 6 ,从而 BC= 3 3 (2)过点 Q 作 QN ∥0B 交 x 轴于点 N,先证△AQN 为等边三角形,从而 NQ=NA=AQ=3-t,NON=3- (3-t)=t 3 1 PN=t+t=2t,再由△POE∽△PNQ 后 对应边成比例计算得 OE ? ? t 再由 EF=BE 易得 2 2 出 m 与 t 之间的函数关系式 (3)先证△AE’G 为等边三角形,再证∠QGA=900 通过两边成比例夹角相等得△FCP∽△BCA 再用含 t 的式子表示 BQ、、PF、QG 通过 解方程求出 解答:(1)解:如图 l∵△AOB 为等边三角形 ∴∠BAC=∠AOB=60。 ∵BC⊥AB ∴∠ABC=900 ∴∠ACB=300∠OBC=300 ∴∠ACB=∠OBC ∴CO=OB=AB=OA=3 ∴AC=6 ∴BC=
3 AC= 3 3 2

(2)解:如图 l 过点 Q 作 QN∥0B 交 x 轴于点 N ∴∠QNA=∠BOA=600=∠QAN ∴QN=QA ∴△AQN 为等边三角形 ∴NQ=NA=AQ=3-t ∴NON=3- (3-t)=t ∴PN=t+t=2t ∴OE∥QN.∴△POE∽△PNQ ∴ ∴
OE PO ? QN PN

OE 1 3 1 ? ∴ OE ? ? t 3?t 2 2 2 ∵EF∥x 轴 ∴∠BFE=∠BCO=∠FBE=300 1 3 ∴EF=BE∴m=BE=OB-OE ? t ? 2 2 (0<t<3) (3)解:如图 2
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? ?BE1 F 1 ? ?BEF ? 180? ? ?EBF ? ?EFB ? 120?

∴∠AEG=600=∠EAG ∴GE1=GA ∴△AE’G 为等边三角形 1 3 3 1 ? QE1 ? BE1 ? BQ ? m ? t ? t ? ? t ? ? t 2 2 2 2 3 1 ? QE1 ? GA ? AE1 ? AB ? BE1 ? BQ ? ? t ? QE1 2 2 ∴∠l=∠2 ∠3=∠4 ∵∠l+∠2+∠3+∠4=1800∴∠2+∠3=900 即∠QGA=900

∵EF∥OC
? BF BE ? BC BO

?

BF m 3 3 3 ? ? BF ? 3m ? t? 2 2 3 3 3

? BC ? CF ?

3 1 3? 3 2 2

CP ? CO ? OP ? 3 ? t
3 1 3? 3t CF 2 3 ? t CP 2 ? ? ? ? CB 6 CA 3 3
∵∠FCP=∠BCA
?

∴△FCP∽△BCA.

3 3?t 3 3 1 PF CP 3?t ∵2BQ—PF= QG ∴ 2t ? ? ?( 3 ? 3t ) ∴t=1∴ ? ? PF ? 3 2 3 2 2 AB CA 2 3 QG 3

当 t=1 时,2BQ—PF=

28.(2013 哈尔滨) 已知:△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称(点 A 的对称点是点 C),点 E、F 分别是 线段 BC 和线段 BD 上的点,且点 F 在线段 EC 的垂直平分线上,连接 AF、AE,AE 交 BD 于 点 G. (1)如图 l,求证:∠EAF=∠ABD; (2)如图 2,当 AB=AD 时,M 是线段 AG 上一点,连接 BM、ED、MF,MF 的延长线

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交 ED 于点 N,∠MBF= 证明你的结论.

1 2 ∠BAF,AF= AD,试探究线段 FM 和 FN 之间的数量关系,并 2 3

考点:本题考查了三角形全等的判断和性质,相似三角形的判断和性质,平行线分 线段成比例定理,轴对称性质,三角形四边形内角和,线段的垂直平分线性质 要求较高的视图能力和证明推理能力。 分析: (1)连接 FE、FC,先证△ABF、△CBF 全等,得∠FEC=∠BAF,通过四边形 ABEF 与三角形 AEF 内角和导出; (2)先由△AFG∽△BFA,推出∠AGF=∠BAF,再得 BG=MG, 9 5 通过△AGF∽△DGA,导出 GD= a,FD= a,过点 F 作 FQ∥ED 交 AE 于 Q,通过 BE∥ 2 2 4 8 8 35 7 AD 德线段成比例设 EG=2kBG=MG=3k,GQ= EG= k ,MQ=3k+ k = k ,从而 FM= FN 9 9 9 9 2 本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、平行线分线段成比例定理等重要 知识点,难度较大.在解题过程中,涉及到数目较多的线段比,注意不要出错 解答:(1)证明:如图 1 连接 FE、FC ∵点 F 在线段 EC 的垂直平分线上 ∴.FE=FC ∴∠l=∠2 ∵△ABD 和△CBD 关于直线 BD 对称.∴AB=CB ∠4= ∠3 BF=BF ∴△ABF≌ACBF ∴∠BAF=∠2 FA=FC ∴FE=FA ∠1=∠BAF. ∴∠5=∠ 0 0 6 ∵ ∠l+∠BEF=180 ∠BAF+∠BEF=180 ∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600 ∴.∠AFE+∠ABE=1800 又∵∠AFE+∠ 0 5+∠6=180 ∴∠5+∠6=∠3+∠4 ∴∠5=∠4 即∠EAF=∠ABD 7 (2)FM= FN 证明:如图 2 由(1)可知∠EAF=∠ABD 2 又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA ∴∠AGF=∠BAF 1 1 又∵∠MBF= ∠BAF.∠MBF= ∠AGF 2 2 又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG ∴∠MBG=∠BMG ∴BG=MG ∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
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又∵∠FGA=∠AGD.∴△AGF∽△DGA.? 设 GF=2a AG=3a.∴GD=
9 a 2

GF AG AF 2 GF AG 2 ∵AF= AD? ? ? ? ? AG GD AD 3 AG GD 3

5 ∴FD== a∵∠CBD=∠ABD ∠ABD=∠ADB 2 BG EG EG AG 2 ∴.∠CBD=∠ADB∴BE//AD.∴ ? ? ? ? GD AG BG GD 3 设 EG=2k∴BG=MG=3k 过点 F 作 FQ∥ED 交 AE 于 Q 4 GO GF 2a 4 ? ? ? ? ∴? GO ? QE 5a 5 5 QE FD 2 4 8 8 35 ∴GQ= EG= k . MQ=3k+ k = k 9 9 9 9

∵FQ∥ED?

MF MQ 7 7 ? ? ∴FM= FN 2 FN QE 2

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