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吉林省实验中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


吉林省实验中学 2015---2016 学年度上学期 高一年级数学学科期末考试试题
第Ⅰ卷 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. )

, 2, 3, 4, 5, 6, 7? , A ? ?2, 4, 5? , B ? ?1 , 3, 5, 7? ,则 A ? ? ? 1. 已知全集 U ? ?1 U B? ?
(A) ?5? 2. 函数 y ?

4? (B) ?2,

5? (C) ?2,

4, 5, 6? (D) ?2,

1 的定义域为 log3 ? 3x ? 2 ?

?2 ? ? ?? (A) ? , ?3 ?
?2 ? 1? ? ?1 , +? ? (C) ? , ?3 ?

, ? ?? (B) ?1
? 2 5? ?5 ? +? ? ( D) ? , ? ? ? , ? 3 3? ?3 ?

? ? ? 单调递增,则实数 m 的取值范围是 3. 若幂函数 f ? x ? ? xm?1 在 ? 0,
(A) ? 0,+ ? ?

0? (B) ? ??,

,+ ? ? (C) ? ?1

? 1? (D) ? ??,

4. 函数 f ? x ? ? 2x ? x 的零点所在的一个区间是

? 1? (A) ? ?2,

, 0? (B ) ? ?1
α 是 2

1? (C) ? 0,

, 2? (D) ?1

5. 若 α 是第三象限角,则

(A)第二象限角 (C)第二或第三象限角

(B)第四象限角 (D)第二或第四象限角

6. 若角 α 的终边过点 P 2 cos120?, 2 sin 225? ,则 sin α ? (A) ?
3 2

?

?

(B) ?

1 2

( C)

2 2

(D) ?

2 2

7. 将函数 y ? sin x 的图象上每个点的横坐标缩短为原来的

1 ,纵坐标不变,再将所 2
1

π 个单位后,得到函数 f ? x ? 的图象,则函数 f ? x ? 的解析式为 6 π? π? ? ? (A) f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? (B) f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 3? 6? ? ? π? π? ?1 ?1 (C) f ? x ? ? sin ? x ? ? (D) f ? x ? ? sin ? x ? ? 3? 6? ?2 ?2 π? π ? 8. 函数 f ? x ? ? sin ? ωx ? ? ? ω ? 0 ? 相邻两个对称中心间的距离为 ,以下哪个区间 3? 2 ?

得图象向左平移

是函数 f ? x ? 的递减区间
? π ? 0? (A) ? ? , ? 3 ? ? π? (B) ? 0, ? ? 3? ? π π? ? π 5π ? (C) ? , ? (D) ? , ? ?12 2 ? ?2 6 ?

9. 已知 a,b,c,d 为非零向量,且 a ? b ? c , a ? b ? d ,则下列说法正确的个数为 (1)若 a ? b ,则 c ? d ? 0 ; (3)若 c ? d ,则 a ? b ? 0 ; (A)1 10. (B)2 (2)若 c ? d ? 0 ,则 a ? b ; (4)若 a ? b ? 0 ,则 c ? d . (C)3 (D)4

π? ? φ ? ? 的部分图象如图所示, 已知函数 f ? x ? ? A sin ? ωx ? φ? ? A ? 0,ω ? 0, 2? ? 下列说法正确的是

(A) f ? x ? 的最小正周期为 2π (B) f ? x ? 的图象关于直线 x ? ?
2π 对称 3

? 5π ? 0 ? 对称 (C) f ? x ? 的图象关于点 ? ? , ? 12 ? ? π ? ? , 0 ? 上有两个不相等的实数根 ? 3? (D)当 m ? ?2, ? 时,方程 f ? x ? ? m 在 ? ? 2 ?

?

11.

π? 4 3 2π ? ? ? 已知 sin ? α ? ? ? sin α ? ,则 cos ? α ? ? 的值是 3 ? 3 5 ? ? ?

(A) ? 12.

4 5

(B)

4 5

( C) ?

3 5

(D)

3 5

5? 时 , 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x? 2? ? f? x ? , 当 x ? ?3,
2

f ? x ? ? 2 ? x ? 4 ,则下列不等式成立的是
π? π? ? ? (A) f ? sin ? ? f ? cos ? 6? 6? ? ? 2π ? 2π ? ? ? (C) f ? sin ? ? f ? cos ? 3 ? 3 ? ? ?

(B) f ? sin1? ? f ? cos1? (D) f ? sin 2 ? ? f ? cos 2 ?

第Ⅱ卷 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. ) 13. 14. 15.
??? ? ??? ? 已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ?

. . .

已知扇形的面积为 4,圆心角为 2 弧度,则该扇形的弧长为 12 3 ? π? 已知 α , β ? ? 0, ? , sin ? α ? β ? ? , cos β ? ,则 sin α ? 13 5 ? 2?

16.

? log2 x , 0? x ? 2 ? 已知函数 f ? x ? ? ? ? π ? ,若存在实数 x1 , x 2 , x3 , x 4 ,满足 2≤x≤10 ?sin ? x ?, ? ?4 ?
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ? x4 ? ,则

? x3 ? 1? ? x4 ? 1?
x1 x2

的取值范

围是 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,其中 17 小题 10 分,18~22 小题每小题 12 分;解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题 10 分)

3? , b ? ? ?1 , 2? . 已知向量 a ? ? 4,
(Ⅰ)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (Ⅱ)若向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行,求 ? 的值. 18. (本小题 12 分) tan α ? tan 2α π? ? ? 3 ? sin 2 α ? cos 2 α ? ? 2sin ? 2α ? ? . 求证: tan 2α ? tan α 3? ?

19.

(本小题 1 2 分)

π? ?1 已知函数 f ? x ? ? 3sin ? x ? ? , x ? R . 4? ?2
3

? π 9π ? (Ⅰ)列表并画出函数 f ( x) 在 ? , ? 上的简图; ?2 2 ? 3 ? π 9π ? (Ⅱ)若 f ? α ? ? , α ? ? , ? ,求 α . 2 ?2 2 ?

20.

(本小题 12 分) ?π ? 1 已知 tan ? ? α ? ? . ?4 ? 2 (Ⅰ)求 tan α 的值;

?π ? sin ? 2α ? 2 π ? ? sin 2 ? ? α ? 2 ? ? 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos ? π ? 2 α ? ? sin 2 α
21. (本小题 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ?2sin2 x ? 2 3sin x cos x ? 1. (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期及对称中心;
? π π? (Ⅱ)若 x ? ? ? , ? ,求 f ? x ? 的最大值 和最小值. ? 6 3?

22.

(本小题 12 分) a 2 x ? ? t ? 1? 设函数 f ? x ? ? ( a ? 0 且 a ? 1 )是定义域为 R 的奇函数. ax (Ⅰ)求 t 的值; (Ⅱ)若 f ?1? ? 0 ,求使不等式 f kx ? x2 ? f ? x ? 1? ? 0 对一切 x ? R 恒成立的实 数 k 的取值范围;
? 3? ( Ⅲ ) 若 函 数 f ? x ? 的 图 象 过 点 ? 1, ? , 是 否 存 在 正 数 m ? m ? 1? , 使 函 数 ? 2?
2x ?2 x , log2 3? 上的最大值为 0,若存在,求出 m 的 g ? x ? ? logm ? ?a ? a ? mf ? x ?? ? 在 ?1

?

?

值;若不存在,请说明理由.

4

吉林省实验中学 2015---2016 学年度上学期 高一年级数学学科期 末考试参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分;在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 B 5 D 6 D 7 A 8 C 9 D 10 D 11 A 12 C

第Ⅱ卷 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分. ) 13.2; 14.4; 15.
56 ; 65

21? 16. ? 9,

三、解答题: (本大题共 6 小题,其中 17 小题 10 分,18~22 小题每小题 12 分;解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.解: (Ⅰ) Q a = (4, 3), b = (- 1, 2)

r r r r ? a ? b ? 4 ? ? ?1? ? 3? 2 ? 2, a ? 42 ? 32 ? 5, b ?
∴ cos ? a, b ??

? ?1?

2

? 22 ? 5
??(5 分)

a ?b 2 2 5 ; ? ? a b 5 5 25

(Ⅱ) ∵ a = (4, 3), b = (- 1, 2). ∴ a ? ?b ? (4 ? ? ,3 ? 2? ), 2a ? b ? (7,8) ∵向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行, ∴ ? 4 ? λ ? ? 8 ? ?3 ? 2λ ? ? 7 ? 0 解得: ? ? ? 18.证明:左边 ?

1 . 2

??(10 分)

sin α sin 2α ? 3 cos 2α sin 2α cos α ? cos 2α sin α π? ? ? sin 2α ? 3 cos 2α ? 2sin ? 2α ? ? ? 右边. 3? ?

??(12 分)

19.解:(Ⅰ)由“五点作图法”列表如下:

5

x

? 2
0 0

1 ? x? 2 4 1 ? 3sin( x ? ) 2 4
图象如下: y 4 3 2 1 -π O -1 -2 -3 -4 π

3? 2 ? 2
3

5? 2
π 0

7? 2 3? 2
–3

9? 2
2π 0 ??(3 分)









x

??(6 分)
π? 1 π? 3 ?1 ?1 (Ⅱ)由 f ? α ? ? 3sin ? α ? ? ? ,得 sin ? α ? ? ? , 4? 2 4? 2 ?2 ?2

1 π π 1 π 5π 所以 α ? ? ? 2kπ 或 α ? ? ? 2kπ , ? k ? Z ? 2 4 6 2 4 6 5π 13π ? 4kπ 或 α ? ? 4kπ , 6 6 5π 13π ? π 9π ? 又因为 α ? ? , ? ,所以 k 取 0,得 α ? 或 . 6 6 ?2 2 ?

即α ?

??(9 分) ??(12 分)

20.解: (Ⅰ) tan(

?
4

??) ?

tan

?
4

? tan ?

1 ? tan

?
4

tan ?

?

1 ? tan ? 1 ? , 1 ? tan ? 2
?? (5 分)

解得 tan ? ? ?

1 ; 3

6

sin(2? ? 2? ) ? sin 2 ( ? ? ) sin 2? ? cos 2 ? 2 (Ⅱ) = 1 ? cos(? ? 2? ) ? sin 2 ? 1 ? cos 2? ? sin 2 ?

?

?

2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 15 ? ?? . 2 2 2 2 ? tan ? 19 2 cos ? ? sin ?

??(12 分)

21.解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ∴ f ( x) 的最小正周期为 T ?

?
6

)

2? ?? , ??(3 分) 2 ? k? ? ? (k ? Z ) , 令 sin(2 x ? ) ? 0 ,则 x ? 6 2 12 k? ? ? , 0), ( k ? Z ) ; ∴ f ( x) 的对称中心为 ( ??(6 分) 2 12 ? ? ? ? 5? 1 ? (Ⅱ)∵ x ? [ ? , ] ∴ ? ? 2 x ? ? ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 3 6 6 6 2 6
∴ ?1 ? f ( x) ? 2 ∴当 x ? ? 当x?

?
6

时, f ( x) 的最小值为 ?1 ;

??(9 分) ?? (12 分) ??(2

?
6

时, f ( x) 的最大值为 2 .

22.解: (Ⅰ)f(x)是定义域为 R 的奇函数∴f(0)=0,∴t=2; 分) (Ⅱ)由(1) 得 f ( x) ? a x ? a ? x 由 f (1) ? 0 得 a ?

1 ? 0 又 a ? 0 ? a ? 1, a

由 f (kx ? x 2 ) ? f ( x ? 1) ? 0 得 f (kx ? x 2 ) ? ? f ( x ? 1) ,

? f ( x) 为奇函数? f (kx ? x 2 ) ? f (1 ? x) ? a ? 1 ,

? f ( x) ? a x ? a ? x 为 R 上的增函数,
? kx ? x 2 ? 1 ? x 对一切 x ? R 恒成立,即 x 2 ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒
成立,
2 故 ? ? (k ? 1) ? 4 ? 0 解得 ? 3 ? k ? 1 ;

?? (6 分)
7

(Ⅲ)假设存在正数 m ? m ? 1? 符合题意,由 a ? 2 得

g ( x) ? logm [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] = logm [22 x ? 2?2 x ? m(2 x ? 2? x )] ? logm [(2 x ? 2? x ) 2 ? m(2 x ? 2? x ) ? 2] ,
设 t ? 2 x ? 2 ? x ,则 (2 x ? 2 ? x ) 2 ? m(2 x ? 2 ? x ) ? 2 ? t 2 ? mt ? 2 ,

3 8 ? x ? [1, log2 3] ,? t ? [ , ] 记 h(t ) ? t 2 ? mt ? 2 , 2 3

? 函数 g ( x) ? logm [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] 在 [1, log2 3] 上的最大值为 0 ,

3 8 ? (ⅰ)若 0 ? m ? 1 ,则函数 h(t ) ? t 2 ? mt ? 2 在 [ , ] 有最小值为 1, 2 3 m 1 13 3 17 3 ? m ? 1 ? m ? ,不合题意; ? 对称轴 t ? ? ,? hmin (t ) ? h( ) ? 2 2 6 2 4 2 3 8 (ⅱ)若 m ? 1 ,则函数 h(t ) ? t 2 ? mt ? 2 ? 0 在 [ , ] 上恒成立,且最大值为 2 3
1,最小值大于 0,

25 ? 1 m 25 ? ? ? 1? m ? ? ? 73 ? 2 2 12 ? 6 ?? ?m? ①? , 8 73 24 ?h(t ) ? h( ) ? 1 ?m ? max ? ? 3 24 ? ?
又此时

73 m 73 ? 3 8 ? ? ? ? , ? , 又h(t ) min ? h( ) ? 0 ,故 g ( x) 无意义 48 2 48 ? 2 3 ?

所以 m ?

73 应舍去 ; 24

25 ? ? m 25 m ? ? ? ? ? 2 12 ? 6 ?? ? m 无解, ②? 3 13 ?h(t ) ?m ? max ? h( ) ? 1 ? ? 2 6 ? ?
综上所述: 故不存在正数 m ? m ? 1? , 使函数 g ( x) ? logm [a 2 x ? a ?2 x ? mf ( x)] 在

[1, log2 3] 上的最大值为 0 .

?? (12 分)
8


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