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2.3.2离散型随机变量的方差


一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望

X P

x1

p1

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · xn · · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平

2、数学期望的性质

E (aX ? b) ? aEX ? b

3、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0

P

p

1- p

则 ~ B(n,p),则

EX ? p

4、如果随机变量X服从二项分布,即X

EX ? np
nM EX ? N

5、如果随机变量X服从超几何分布,
即X~ H(n,M,N)则

二、探究引入
要从两名同学中挑选出一名,代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标靶的环数 X 1 的分布列为

X1

P
X2

5 0.03
5 0.01

6 7 0.09 0.20
6 0.05 7 0.20

8 0.31

9 0.27

10 0.10
9 0.33

第二名同学击中目标靶的环数

X 2的分布列为
8 0.41

P

请问应该派哪名同学参赛?

发现两个均值相等

EX1 ? 8 , EX 2 ? 8
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.

那么还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标 来确定谁参加竞赛呢?

怎样定量刻画随机变量的稳定性呢? 已知样本方差可以刻画样本数据的稳定性
样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度.

在一组数:x1, x2 ,… x n 中,各数据的 平均数为 x,则这组数据的方差为: S2= ( x1 – x )2 + ( x2 – x )2 +…+ ( x n – x )2 n 方差反映了这组 数据的波动情况 能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢?

设离散型随机变量X的分布列为
X

x1

x2

...

xi

...

xn

P

p1

p2

...

pi

...

pn

? xi ? EX ?

2

描述了xi ? i ? 1, 2,
n 2

, n ? 相对于均值E ( X )的偏离程度

D( X ) ? ? ? xi ? E ( X ) ? pi
i ?1

D(X)为随机变量X的方差

D( X )

为随机变量X的标准差

四、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求DX和标准差。 解: EX ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

DX ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? ( 2 ? 2) ? 0.4
2 2 2

? ( 3 ? 2) ? 0.2 ? (4 ? 2) ? 0.1 ? 1.2
2 2

?X ? DX ? 1.2 ? 1.095

四、方差的应用
例:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X1 , X2分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平 。

解:EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多 数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8 -10环。

X1
P

8
0.2

9
0.6

10
0.2

X2
P

8
0.4

9
0.2

10
0.4

EX 1 ? 9, EX 2 ? 9

DX1 ? 0.4, DX2 ? 0.8

问题1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题2:如果其他对手的射击成绩都在8环左右 ,应派哪一名选手参赛? 问题3:如果其他对手的射击成绩都在9环左右 ,应派哪一名选手参赛?

方差的性质

D(aX ? b) ? a DX
2

若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

若X~H(n,M,N)

nM ( N ? M )( N ? n) 则D(X)= N 2 ( N ? 1)

相关练习:

1 1、 已 知 ? ? 3? ? , 且D? ? 13, 则D? ? 117 8

2、已知X~B(n, p),EX ? 8, DX ? 1.6, 则n ? , p ?0.8 10
3、有一批数量很大的商品,其中次品占 1%,现从中任意地连续取出200件商品 ,设其次品数为X,求EX和DX。 2,1.98

4.(07全国)某商场经销某商品,根据以往资料统 计,顾客采用的分起付款期数 ? 的分布列为:

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200 元,分2期或3期付款,其利润为250元,分4期或5 期付款,其利润为300元, ? 表示经销一件该商品的 利润。

(1)求事件A:”购买该商品的3位顾客中,至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A);
(2)求 ? 的分布列及期望E ? 。

小结: 随机变量的方差
性质
D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p) 若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)

意义


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