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3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标 3.3 空间两点间的距离课件(北师大版数


我们知道,数轴Ox上的点M,可用与它对应的
实数来确定其位置;平面直角坐标平面上的点M可以用 一对有序实数(x,y)来确定其位置.那么,一架空中飞 行的飞机的位置,该怎样确定呢? 问题1:只给出飞机所在位置的经度和纬度,能 确定飞机位置吗? 提示:不能具体确定.

问题2:如果不仅给出飞机位置的经度和纬度,

再给出高度,能确定飞机的位置吗?
提示:能确定.

问题3:在空间,为了确定空间任意点的位置,
需要几个实数呢?

提示:需要三个实数.

1.空间直角坐标系右手系的建立方法 垂直于 (1)将x轴和y轴放置在水平面上,那么z轴就 水平面. 右 (2)伸出 大拇指 手,让四指与 垂直,

x轴正方向 并使四指先指向 y轴正方向 方向旋转90°指向
大拇指

握拳 ,然后让四指沿 ,此时

指向即为z轴正向, 这样的坐标系为右手系.

2.空间直角坐标系中的有关名称

O (1)在空间直角坐标系中,
轴统称为坐标轴. 坐标轴 (2)由

x,y 叫作原点, ,z

确定的平面叫坐标平面,x、

xOy y轴确定的平面记作
作 平面,

yOz 平面,y、z轴确定的平面记

xOz
平面.

x、z轴确定的平面记作

数轴上点的坐标可用一个实数表示,如A(2);平
面直角坐标系中点的坐标可用一个有序实数对表示,如

A(2,1);在空间直角坐标系中,点的坐标可用有序实数
组(x,y,z)表示. 问题1:y轴上点的坐标有什么特点? 提示:可用(0,y,0)表示.

问题2:点(2,0,-1),(-1,0,3),

(2,0,3)有什么特征?这些点的位置如何?
提示:这些点纵坐标为零,都在xOz平面 上. 问题3:点(2,1,3)关于x轴和xOy平面的对 称点坐标各是什么? 提示:(2,-1,-3),(2,1,-3).

空间直角坐标系中点的坐标 (1)类似于平面直角坐标系中点的坐标表示,在

三元有序数组 空间直角坐标系中,用一个
(x,y,z) 刻画空间点的位置,任意一点P的坐标记 为



y
坐标.

z .第一个是x坐标,第二个是

坐标,

第三个是

(2)如果P在xOy平面上,则P的坐标为 (x,y,0). 如果P不在

xOy平面上,过点P作xOy平面的垂线垂足为P′(x,y,0),如果
P与Z轴的正半轴在xOy平面的同侧,那么Z= |PP′| ;否则Z

=-

|PP′| ,则P在空间直角坐标系中的坐标为(x,y,z).

在平面直角坐标系中两点A(x1,y1)、B(x2, y2),则 A、B两点的距离|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 ,而距离

是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常 涉及距离.怎样用坐标来求空间两点的距离呢?

问题1:在空间直角坐标系中,点M(0,0,3)到原点的 距离多少? 提示:|OM|=3. 问题2:点N(3,0,4)到原点的距离为多少?
提示:因为点N在平面xOz上,可利用平面直角坐标系 中点坐标公式得 |ON|= 32+42=5.

问题3:点A(3,-1,0)与点B(-1,2,0)的距离为多 少? 提示:A、B都在平面xOy上,
|AB|= ?3+1?2+?-1-2?2=5.

问题4:如果|OP|的长为r,那么x2+y2+z2=

r2表示什么图形?
提示:表示以O为球心,以r为半径的球面.

空间两点间的距离公式 (1)空间任意一点P(x0,y0,z0)与原点的距离|OP| =

x2+y2+z2 0 0 0

.

(2)空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离 |AB|=

?x1-x2?2+?y1-y2?2+?z1-z2?2

.

1.空间直角坐标系的建立解决了空间点的位置, 要和建立平面直角坐标系一样,强调“三要素”,即原点、 坐标轴方向和单位长度. 2.在空间直角坐标系中,给出具体的点写出它 的坐标和根据坐标画出点的位置是重要的两个方面.在这 个过程中,可以借助于长方体加以联想和理解.

3.在空间直角坐标系中,对于空间任意点P,都 可以用一个三元有序数组(x,y,z)来表示;反之,任何 一个三元有序数组(x,y,z),都可以确定空间中的一个 点P.这样,点与三元有序数组之间建立了一一对应的关

系.
4.根据空间两点间距离公式,已知空间两点坐标, 就可以代入公式求出距离. 5.对于已知距离求字母值的问题,要使用方程的 思想,通过距离公式解方程求得.

[例1]

如图,棱长为1的正方体ABCD-

A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的
中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标. [思路点拨] 取D为空间坐标系的原点,过D点的

三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,按定义确
定E,F,G坐标.

[精解详析]

如图,以D为坐标原点,分别以DA,

DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 1 E点在平面xDy中,且|EA|=2.

1 ∴E点的坐标为(1, 2 ,0).∴B点和B1点的坐标 1 分别为(1,1,0)和(1,1,1),故F点坐标为(1,1,2). 1 1 同理可得G点坐标为(1,2,2).

[一点通]

(1)空间中点的位置和点的坐标是相对

的,建立空间坐标系,要力争尽可能简捷地将点的坐标 表示出来,因此,要确定各点到xDy面,yDz面,xDz面 的距离,同时中点坐标公式在空间坐标系中仍然适用. (2)设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2中点 x1+x2 y1+y2 z1+z2 P(x,y,z)坐标满足:x= 2 ,y= 2 ,z= 2 .

1.在空间直角坐标系中,已知点P(1, 2, 5),过P 作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标是 A.(0, 2,0) C.(1,0, 5)
解析:∵Q点在yOz平面上, ∴x=0,y= 2,z= 5.

(

)

B.(0, 2, 5) D.(1, 2,0)

答案:B

1 2.点M(0,26,-3)所在的位置是 A.x轴上 C.xOy平面内

( B.xOz平面内

)

D.yOz平面内

1 解析:∵M点的坐标为(0,26,-3),x=0, ∴点M在平面yOz内.

答案:D

3.在空间直角坐标系中标出下列各点:

A(0,2,4),B(1,0,5),C(0,2,0),D(1,3,4),
解:先根据x,y确定各点在xOy平面上相应点的位

置,
再根据它们的z坐标来确定出在空间直角坐标系的位 置 (如图).

4.如图,在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中,E、F分别为D1D、BD的 1 中点,G在棱CD上,且CG=4CD,H为C1G的中点,试建 立适当的直角坐标系,写出点E、F、G、H的坐标.

解:以D为原点,DA所在直线为x轴,DC 所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立 空间直角坐标系. ∵点E在z轴上,且为D1D的中点, 1 故点E坐标为(0,0,2).过F作FM⊥AD、 1 1 1 FN⊥DC,则|FM|=|FN|=2,故点F坐标为(2,2,0);

3 3 点G在y轴上,又|GD|=4,故点G坐标为(0,4,0); 过H作HK⊥CG于点K,由于H为C1G的中点,故|HK| 1 1 =2,|CK|=8. 7 7 1 ∴|DK|=8.故点H的坐标为(0,8,2).

[例2]

求点M(a,b,c)关于坐标平面,坐标轴

及坐标原点的对称点的坐标. [思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问

题,确定坐标和位置即可.

[精解详析]

点M关于xOy平面的对称点M1的坐

标为(a,b,-c),关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a,

-b,c),关于yOz平面的对称点M3的坐标为(-a,b,

c).
关于x轴的对称点M4的坐标为(a,-b,-c), 关于y轴的对称点M5的坐标为(-a,b,-c), 关于z轴的对称点M6的坐标为(-a,-b,c), 关于原点对称的点M7的坐标为(-a,-b,-

[一点通]

空间对称点的坐标规律

空间对称问题要比平面上的对称问题复杂,除了 关于点对称,直线对称,还有关于平面对称,在解决这一 类问题时,注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线,坐标

平面为参照面,通过平行、垂直确定出对称点的位置.空
间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题,可以参照如下口 诀记忆:“关于谁谁不变,其余的相反”.如关于x轴对称 的点x坐标不变,y坐标、z坐标变为原来的相反数;关于

xOy坐标平面对称的点x、y不变,z坐标相反.特别注意
关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数.

5.在空间直角坐标系中,P(2,3,4)、Q(-2,-3,-

4)两
点的位置关系是 ( ) A.关于x轴对称 B.关于

yOz平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对

6.已知点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴的对称点为

A′(λ,7,-6),则λ,μ,v的值为
A.λ=-2,μ=-4,v=-5 B.λ=2,μ=-4,v=-5 C.λ=2,μ=10,v=8 D.λ=2,μ=10,v=7

(

)

解析:关于x轴对称的点,x轴上的坐标不变,其它是 相反数,则 ?λ=2, ? ?3-μ=-7, ?-1+v=6, ? ?λ=2, ? ??μ=10, ?v=7. ?

答案:D

7.点(3,-2,1)关于yOz平面的对称点是________,关 于

x轴的对称点是________,关于z轴的对称点是
_______. 答案:(-3,-2,1) (3,2,-1) (-3,2,1)

[例3]

在空间直角坐标系中,解答下列各题:

(1)在x轴上求一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为;
(2)在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M,使 它到点N(6,5,1)的距离最小. [思路点拨] 解决; (1)可设点P(x,0,0)后,利用距离公式

(2)可根据点M在x+y=1上设点M,再由距离公式构
建函数,求出|MN|的最小值.

[精解详析]

(1)因为点P在x轴上,所以设点 ?x-4?2+1+4= 30.

P(x,0,0),由题意,得|P0P|= 解得x=9或x=-1.

所以点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).

(2)由已知,可设M(x,1-x,0),则 |MN|= = ?x-6?2+?1-x-5?2+?0-1?2

2?x-1?2+51.

所以,当x=1时,|MN|min= 51,此时点M(1,0,0).

[一点通]

解决该类问题的关键是应用两点间

的距离公式,根据点的特征,合理地设出所求点的坐 标,这样不但减少了参数,还可简化计算,避免出 错.

8.(2012· 济宁调研)设点B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对 称点,则|AB|等于 A.10 C. 38 B. 10 D.38 ( )

解析:B点的坐标为(2,-3,-5), 则|AB|= ?2-2?2+?-3+3?2+?5+5?2=10.

答案:A

9.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则 △ABC

的形状是
( )

A.等腰三角形
C.直角三角形 形

B.等边三角形
D.等腰直角三角

解析:由距离公式得: |AB|= |AC|= |BC|= ?1-4?2+?-2-2?2+?11-3?2= 89, ?1-6?2+?-2+1?2+?11-4?2= 75, ?4-6?2+?2+1?2+?3-4?2= 14.

∴|AC|2+|BC|2=|AB|2. ∴△ABC为直角三角形.

答案:C

10.点P在x轴上,它到点P1(0, 2,3)的距离为到点P2 (0,1,-1)的距离的2倍,则点P的坐标是_______.
解析:由已知可设P(x,0,0),则 |PP1|=2|PP2|. ∴x2+( 2)2+32=4[x2+1+(-1)2]. ∴3x2=3. ∴x=± 1. ∴P点坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).

答案:(1,0,0)或(-1,0,0)

1.确定空间定点M的坐标的步骤 (1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面, 依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R. (2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x,y 和 z. (3)得出点M的坐标为(x,y,z).

2.已知M点坐标为(x,y,z)确定点M位置的步 骤 (1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x,y和z的 点P、Q、R.

(2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平
面. (3)三个平面的唯一交点就是M. 3.对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问 题,要记住“关于谁对称谁不变”的原则.

4.对于空间两点间距离公式,既要学会正用求距 离,又要学会逆用求坐标,学会用方程的思想求字母 的值和函数思想求值. 5.中点坐标公式 在空间给定P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),若P是 x1+x2 P1P2的中点,P点的坐标为(x,y,z),则x= 2 , y1+y2 z1+z2 y= 2 ,z= 2 .


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