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2013年高考全国新课标一卷数学试卷(理科)word版


绝密★启用前

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数学(理科)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名\准 考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M={x|(x+1)2 < 4,x∈R} ,N={-1,0,1,2,3} ,则 M∩N= ( ) (A) {0,1,2} (B) {-1,0,1,2} (C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3} (2)设复数 z 满足(1-i)z=2 i,则 z= ( ) (A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i (3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则 a1= ( ) (A) (B)(C) (D)(A) (B) (C) (D) (8)设 a=log36, b=log510, c=log714,则 (A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (9)已知 a>0,x,y 满足约束条件

(D)a>b>c )

{

x≥1 ,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=( x+y≤3 y≥a(x-3) (C)1 (D)2

(A)

(B)

(4)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β。直线 l 满足 l ⊥m,l ⊥n,l ? α,l ? β, 则( ) (A)α∥β 且 l ∥α (B)α⊥β 且 l⊥β (C)α 与 β 相交,且交线垂直于 l (D)α 与 β 相交,且交线平行于 l (5)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a = ( ) (A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1 (6)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 s=( ) (A)1+ + +…+ (C)1+ + +…+ (B)1+ (D)1+ + + +…+ +…+

(10)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是 ( ) (A) ? xα∈R,f(xα)=0 (B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 (C)若 xα 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,xα)单调递减 (D)若 xα 是 f(x)的极值点,则 f1(xα)=0 (11) 设抛物线 y2=3px(p≥0)的焦点为 F, M 在 C 上, 点 |MF|=5. 若以 MF 为直径的圆过点 (0, 3) ,则 C 的方程为 ( ) 2 2 2 2 (A)y =4x 或 y =8x (B)y =2x 或 y =8x 2 2 (C)y =4x 或 y =16x (D)y2=2x 或 y2=16x (12)已知点 A(-1,0) ;B(1,0) ;C(0,1) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等 的两部分,则 b 的取值范围是 (A) (0,1)

1 (B)(1 - 2 , ) 2 2

1 (C)(1 - 2 , ) 3 2
第Ⅱ卷

(D)[

1 1 , ) 3 2

本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生 根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______. (14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概 率为

(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)(1,1,0)(1,1,1)(0,0,0) , , , ,画该四面体三视图 中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )

1 ,则 n=________. 14

(15)设θ 为第二象限角,若 tan (? ?

?
4

) ? 2 ,则 sinθ+conθ=_________.

(20)(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

(16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,已知 S10=0,S15 =25,则 nSn 的最小值为________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) △ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB。 (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b=2,求△ABC 面积的最大值。

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点的直线 x+ya2 b2

=0 交 M 于

A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 2

(Ι )求 M 的方程; (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最 大值 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=e -ln(x+m) (Ι)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)当 m≤2 时,证明 f(x)>0 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF , B、E、F、C 四点共圆。 (1) 证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2) 若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。
x

(18)如图,直棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (Ⅰ)证明:BC1//平面 A1CD; (Ⅱ)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

2 AB。 2

(19)(本小题满分 12 分) 经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的 产品,没 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如 有图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 x(单位:t,100≤x≤150)表示 下一个销售季度内经销该农产品的利润。 (Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数 (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各 个需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例 如:若 x ? [100,110) ),则取 x=105,且 x=105 的概率等于需求量落

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ? x ? 2 cos ? (β 为参数)上,对应参数分别为 β=α ? ? y ? 2 sin ? 与 α=2π(0<α<2π) 为 PQ 的中点。 ,M (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程 (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。

, 入 [100110) 的 T 的数学期望。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (Ⅰ) ab ? bc ? ca ? ; 3 (Ⅱ) a ? b ? c ≥1
b c a
2 2 2


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