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极坐标和参数方程-近三年高考真题汇编


分类汇编:坐标系与参数方程
2014 年真题: 1.[2014· 安徽卷] 以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标
?x=t+1, ? 系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),圆 C ?y=t-3 ?

的极坐标方程是 ρ=4cos θ ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 B.2 14 C. 2 D.2 2 答案:D

)

?x=-1+cos θ , ? 2.[2014· 北京卷] 曲线? (θ 为参数)的对称中心( ? ?y=2+sin θ

)

A.在直线 y=2x 上 B.在直线 y=-2x 上 C.在直线 y=x-1 上 D.在直线 y=x+1 上 答案:B 3. [2014· 江西卷]若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 则线段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ = π 1 ,0≤θ≤ 2 cos θ +sin θ

π 1 B.ρ = ,0≤θ≤ 4 cos θ +sin θ π C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ≤ 2 π D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ≤ 4 答案:A
? ?x=2+t, 4.[2014· 重庆卷] 已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x ?y=3+t ? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ -4cos θ =0(ρ≥0, 0≤θ<2 π ),则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径ρ =________. 答案: 5 π π 5. [2014· 陕西卷]在极坐标系中, 点?2, ?到直线 ρsin?θ - ?=1 的距离是________. 6 6? ? ? ?

答案: 1 x= t, ? ? 6.[2014· 湖北卷]已知曲线 C1 的参数方程是? 3t (t 为参数).以坐标原点为极点,x y= ? 3 ? 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,则 C1 与 C2 交点的直角坐 标为________. 答案:( 3,1) ?x=2+cos α , ? π ? 7. [2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中, 倾斜角为 的直线 l 与曲线 C: 4 ?y=1+sin α ?

(α 为参数)交于 A,B 两点,且|AB|=2.以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,则直线 l 的极坐标方程是________. 答案:ρ cos θ -ρsin θ =1 8.[2014· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别 2 为 ρsin θ =cos θ 和 ρsin θ =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为________. 答案:(1,1)
?x=a-2t, ? 9. [2014· 福建卷] 已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),圆 C 的参数方程为 ? ?y=-4t ? ?x=4cos θ , ? (θ 为参数). ?y=4sin θ ?

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x2+y2=16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤4,

解得-2 5≤a≤2 5. 10. [2014· 辽宁卷]将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的 2 倍, 得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. ? ?x=x1, 解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点(x,y),依题意,得? 由 ?y=2y1, ? 2 2 2 2 ? y? 2 y x2 + y = 1 得 x + = 1 ,即曲线 C 的方程为 x + =1. 1 1 ?2? 4 ?x=cos t, ? 故 C 的参数方程为? (t 为参数). ? ?y=2sin t y2 ? ? ?x2+ 4 =1, ?x=1, ? ?x=0, (2)由? 解得? 或? ?y=0 ?y=2. ? ? ?2x+y-2=0, ? 1 ? 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ?2,1?,所求直线的斜率 k=2, 1 1 x- ?, 于是所求直线方程为 y-1= ? 2? 2? 化为极坐标方程,并整理得 3 2ρ cos θ -4ρsin θ =-3,即 ρ= . 4sin θ -2cos θ
? ?x=2+t, x2 y2 11.[2014· 新课标全国卷Ⅰ]已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最

小值.
?x=2cos θ , ? 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), ? ?y=3sin θ

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l 的距离 d= 5 |4cos θ +3sin θ -6|, 5 d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, 5 sin 30°

则|PA|=

4 其中 α 为锐角,且 tan α = . 3 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5 12.[2014· 新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 π 轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ ,θ ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标. 解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为 ?x=1+cos t, ? ? (t 为参数,0≤t≤π ). ? ?y=sin t, (2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在 π 点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 π π 3 3 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即? , ?. 3 3? ? ?2 2 ? π 13. [2014· 浙江卷] (1)在极坐标系 Ox 中, 设集合 A={(ρ, θ)|0≤θ≤ , 0≤ρ ≤cos θ }, 4 求集合 A 所表示区域的面积; (2)在直角坐标系 xOy 中, π x=-4+tcos , 4 直线 l: (t 为参数), π y=tsin 4 ? x = a cos θ , ? 曲线 C:? (θ 为参数),其中 a>0. ?y=2sin θ ? 若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方,求 a 的取值范围. 解:(1)在 ρ=cos θ 两边同乘 ρ,得 ρ 2=ρcos θ . 化成直角坐标方程,得 x2+y2=x, 1 2 1 x- ? +y2= . 即? ? 2? 4

? ? ?

1 2 1 x- ? +y2= 所围成 所以集合 A 所表示的区域为:由射线 y=x(x≥0),y=0(x≥0),圆? ? 2? 4 π 1 的区域,如图所示的阴影部分,所求面积为 + . 16 8

(2)由题意知,直线 l 的普通方程为 x-y+4=0. 因为曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方,故对 θ∈R,有 acos θ -2sin θ +4>0 恒 成立, 2? 即 a2+4cos(θ+φ)>-4? ?其中tan φ =a?恒成立, 所以 a2+4<4.又 a>0,得 0<a<2 2013 年真题:
一、选择题 1 . (2013 年安徽数学(理)试题)在极坐标系中,圆 p =2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方

3.

程分别为 A. ? =0(? ? R)和?cos=2 C. ? = B. ? =





?
2

(? ? R )和? cos=2

?
2

(? ? R)和? cos=1

D. ? =0(? ? R)和?cos=1

【答案】B 二、填空题 2 . (2013 年天津数学(理) )已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为

? ?? ? 4, ? , 则|CP| = ______. ? 3?
【答案】 2

3

3 . (2013 年高考上海卷(理) )在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1 与 ? cos ? ? 1 的公共点到

极点的距离为__________
【答案】

1? 5 . 2
? ) 到直线 ρ sinθ =2 的距离等于 6

4 . ( 2013 年高考北京卷(理) ) 在极坐标系中 , 点 (2,

_________. 【答案】1
5 . (2013 年重庆数学(理) )在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,

x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系 . 若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ?

?x ? t2 ? ( t 为参数 ) 相交于 3 ? ?y ? t

A, B 两点,则 AB ? ______
【答案】 16 6 . (2013 年广东省数学(理)卷)(坐标系与参数方程选讲选做题)已 知曲线 C 的参数方程

? ? x ? 2 cos t ? ? y ? 2 sin t ( t 为参数), C 在点 ?1,1? 处的切线为 l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半 为?
轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为_____________.

【答案】

? sin ? ? ?

? ?

??

?? 2 4?

7 . (2013 年高考陕西卷(理) )C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾

斜角 ? 为参数, 则圆 x2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为_____ _ .
y

P θ

O

x

【答案】 ?

? x ? cos 2 ? ? y ? cos ? ? sin ?

,? ? R

8 . (2013 年高考江西卷 (理) ) (坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? t ?y ? t
2

(t

为参数),若以直角坐标系的原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,则曲线 c 的极坐标方程 为__________
【答案】 ? cos
2

? ? sin ? ? 0

9 . (2013 年高 考湖南卷(理) )在平面直角坐标系 xoy 中,若

? x ? t, ? x ? 3cos ? , l :? (t 为参数)过椭圆 C : ? ?y ? t ? a ? y ? 2sin ?

(?为参数)的 右顶点,则常数 a的值为 _____ ___.

【答案】3

10. ( 2013 年高考湖北卷(理) ) 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参 数方程为 ?

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?

?? 为参数,a ? b ? 0 ? .在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点
O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为

? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ? ? b . 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点 , 且与 ?? 4? 2

圆 O 相切,则椭圆 C 的离心率为___________.
【答案】 三、解答题 11. (2013 年新课标Ⅱ卷数学(理) )

6 3

已知动点

都在曲线

为参数

上,对应参数分别为



, (Ⅰ)求 (Ⅱ )将



的中点.

的轨迹的参数方程; 到坐标原点的距离 表示为 的函数,并判断 的轨迹是否过坐标原点.

【答案】

12. (2013 年辽宁数学(理) )在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标

系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ? (I)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

? ?

??

? ? 2 2. . 4?

(II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? ,求 a , b 的值. ? y ? t ?1 ? 2

【答案】

13. (2013 年福建数学(理)坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x

轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点 A 的极坐标为 ( 2,

?
4

) ,直线的极坐标方程为

? ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线上.
4
(1)求 a 的值及直线的直角坐标方程; (2)圆 c 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ,( ? 为参数),试判断直 线与圆的位置关系. ? y ? sin ?

【答案】解:(Ⅰ)由点 A( 2,

?

) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4

?

所以直线的方程可化为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 从而直线的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1
2 2

所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1 [来源:学科网]

以为圆心到直线的距离 d ?

2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

14. (2013 年江苏卷(数学) )在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 1 (t 为 ? y ? 2t

? x ? 2 tan 2 ? 参数),曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数),试求直线 l 与曲线 C 的普通方程, y ? 2 tan ? ?
并求出它们的公共点的坐标.
【答案】C 解:∵直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t ? 1 ∴消去参 数 t 后得直线的普通方程为 ? y ? 2t

2x ? y ? 2 ? 0 ①
同理得曲线 C 的普通方程为 y 2 ? 2 x ②

①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 ( 2,2) , ( ,?1) [来源:学科网]

1 2

15. (2013 年高考新课标 1(理) ) 已知曲线 C1 的参数方程为

( 为参数),以

坐标原点为极点, .

轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点 的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).
【答案】将

消去参数 ,化为普通方程

, [来源:

学科网] 即 : ,将 代入

得, [来源:学*科*网 Z*X*X*K] , ∴ (Ⅱ) 的极坐标方程为 的普通方程为 , ;



解得



,∴



的交点的极坐标分

别为(

),

.

2012 真题(部分) : 1.【2012 高考真题辽宁理 23】 在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。 【答案】

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程、普通方程与参数方程的互化、极 坐 标 系 的 组 成 . 本 题 要 注 意 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 的 圆 心 为 (0,0) 半 径 为 r1 ? 2 , 圆

C2 : ( x ? 2)2 ? y2 ? 4 的圆心为 (2,0) 半径为 r2 ? 2 ,从而写出它们的极坐标方程;对于两
圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据直线的参数形式 写出。 对于极坐标和参数方程的考查, 主要集中在常见曲线的考查上, 题目以中低档题为主. 2.【2012 高考真题福建理 22】 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为几点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线

l 上 两 点 M , N 的 极 坐 标 分 别 为 ( 2,0 ) ,

,圆 C 的参数方程

。 (Ⅰ)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 与圆 C 的位置关系。 【答案】

3.【2012 高考江苏 23】在极坐标中,已知圆 C 经过点 P

?

2,

? ,圆心为直线 4

?

? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 3? 2 ?
?? 3 ? 【答案】解:∵圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3? 2 ? ?? 3 ? ∴在 ? sin ? ? ? ? ? ? 中令? =0 ,得 ? ? 1 。 3? 2 ?
∴圆 C 的圆心坐标为(1,0) 。

?

??

3




2

C







P

?

2,

? 4

?







C









PC ?

? 2?

2

?

1 ? ? ? 2

1

?
4

2 。 c o s

= 1

∴圆 C 经过极点。∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? 。 【考点】直线和圆的极坐标方程。

?? 3 ? 【解析】根据圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点求出的圆心坐标;根据圆 C 3 2 ? ?
经过点 P

?

2,

? 求出圆 C 的半径。从而得到圆 C 的极坐标方程。 4

?

4.【2012 高考真题新课标理 23】本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ?y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围. 【答案】 (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,
2 2 2 2

?
3

)

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40

? 56 ? 20sin 2 ? ?[56,76]


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