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第三章 概率 §3.1 习题课有详细答案


§ 3.1

习题课

课时目标 1.进一步理解随机事件的有关概念; 理解频率与概率的关系及概率的意义.2. 会解决简单的有关概率的实际问题.

1.下面的事件:①掷一枚硬币,出现反面;②对顶角相等;③3+5>10,是随机事件 的有( ) A.② B.③ C.① D.②③ 2.下面的事件: ①袋中有 2 个红球,4 个白球,从中任取 3 个球,至少取到 1 个白球; ②某人买彩票中奖; ③实系数一次方程必有一实根; ④明天会下雨. 其中是必然事件的有( ) A.① B.④ C.①③ D.①④ 3.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学 的身高在[160,175]之间的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为( ) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 4.若 P(A+B)=P(A)+P(B)=1,则事件 A 与 B 的关系是( ) A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.对立且互斥 D.以上均不对 5.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙 级品和丙级品的概率分别是 5% 和 3% , 则抽验一只产品是正品 ( 甲级品 ) 的概率为 ________. 6.某射击运动员进行双向飞蝶射击训练,七次训练的成绩记录如下: 100 120 150 100 150 160 150 射击次数 n 81 95 123 82 119 127 121 击中飞碟数 nA (1)求各次击中飞碟的频率; (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少?(保留 3 位小数)

一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.任何事件的概率总是在(0,1)之间 B.频率是客观存在的,与试验次数无关 C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 D.概率是随机的,在试验前不能确定 2.下列事件中,随机事件是( ) A.向区间(0,1)内投点,点落在(0,1)区间 B.向区间(0,1)内投点,点落在(1,2)区间 C.向区间(0,2)内投点,点落在(0,1)区间 D.向区间(0,2)内投点,点落在(-1,0)区间 3.给出下列三个命题,其中正确的有( ) ①有一大批产品,已知次品率为 10%,从中任取 100 件,必有 10 件是次品;

3 ②做 7 次抛硬币的试验,结果 3 次出现正面向上,因此正面出现的概率是 ; 7 ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 4.如果事件 A、B 互斥, A 、 B 分别为 A、B 的对立事件,则有( A.A+B 是必然事件 B. A + B 是必然事件 C. A 与 B 一定互斥 D. A 与 B 不互斥 5.关于互斥事件的理解,错误的是( ) A.若 A 发生,则 B 不发生;若 B 发生,则 A 不发生 B.若 A 发生,则 B 不发生,若 B 发生,则 A 不发生,二者必具其一 C.A 发生,B 不发生;B 发生,A 不发生;A、B 都不发生 D.若 A、B 又是对立事件,则 A、B 中有且只有一个发生 6.考察正方体 6 个面的中心,从中任意选 3 个点连成三角形,再把剩下的 3 个点也连 成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于( ) 1 1 A.1 B. C. D.0 2 3 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.下列说法: ①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小; m ②做 n 次随机试验,事件 A 发生 m 次,则事件 A 发生的频率 就是事件的概率; n ③频率是不能脱离 n 次试验的试验值, 而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论 值; ④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确的是________. 8.某人在一次射击中,命中 9 环的概率为 0.28,命中 8 环的概率为 0.19,不够 8 环的 概率为 0.29,则这人在一次射击中命中 9 环或 10 环的概率为________. 9.从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 1 张,事件 A 为“抽得红桃 K”,事件 B 为“抽得为黑桃”,则概率 P(A∪B)的值是________.(结果用最简分数表示) 三、解答题 10.袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的 1 5 5 概率是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、 3 12 12 得到黄球、得到绿球的概率各是多少? )

11.我国已经正式加入 WTO,包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降到

世贸组织所要求的水平,其中有 21%的进口商品恰好 5 年关税达到要求,18%的进口商 品恰好 4 年达到要求, 其余的进口商品将在 3 年或 3 年内达到要求, 求进口汽车在不超 过 4 年的时间内关税达到要求的概率.

能力提升 1 1 12.甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙获胜的概率为 ,求(1)甲获胜的概率;(2)甲 2 3 不输的概率.

13.下表为某班英语及数学成绩的分布,学生共有 50 人,成绩分 1~5 五个档次,例如 表中所示英语成绩为 4 分、 数学成绩为 2 分的学生为 5 人, 将全班学生的姓名卡片混在 一起,任取一张,该张卡片对应学生的英语成绩为 x,数学成绩为 y,设 x,y 为随机变 量.(注:没有重名学生)

(1)x=1 的概率为多少?x≥3 且 y=3 的概率为多少? (2)a+b 等于多少?

1.随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,概率是大次数地 重复试验中频率的稳定值. 2. 概率可看作频率理论上的期望值, 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小, 频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率. 3.复杂事件求概率时常用的两种转化方法:一是转化为彼此互斥的事件的概率;二是 转化为求其对立事件发生的概率.

答案:

§ 3.1

习题课

双基演练 1.C 2.C 3.B [该同学身高超过 175 cm(事件 A)与该同学身高不超过 175 cm 是对立事件,而不 超过 175 cm 的事件为小于 160 cm(事件 B)和[160,175](事件 C)两事件的和事件,即 P(A)=1-P( A ) =1-[P(B)+P(C)] =1-(0.2+0.5) =0.3.] 4.C [∵P(A+B)=1,∴A+B 为必然事件. 又∵P(A+B)=P(A)+P(B),∴A 与 B 为互斥事件,因此有 A∩B 为不可能事件.A∪B 为必然事件,所以 A 与 B 也是对立事件.] 5.92% 解析 记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件 C,这三 个事件彼此互斥, 因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5% -3%=92%. nA 6.解 (1)计算 得各次击中飞碟的频率依次为 0.810,0.792,0.820,0.820,0.793,0.794, n 0.807. (2)由于这些频率非常接近 0.810, 在它附近摆动, 所以运动员击中飞碟的概率约为 0.810. 作业设计 1.C 2.C 3.A [由频率和概率的定义及频率与概率的关系可知①②③都不正确.] 4. B [A、 B 互斥, A、 B 可以不同时发生, 即 A∩B=?, 所以 A∩B 的对立事件 A∩B

= A ∪ B 是必然事件,即 A + B 是必然事件.] 5.B [A、B 互斥,A、B 可以不同时发生,A、B 也可以同时不发生,但只要一个发 生,另一个一定不发生.对立事件是必定有一个发生的互斥事件,故只有 B 错.] 6.A [由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥,且四棱锥的各个 侧面是全等的三角形, 底面四个顶点构成一个正方形, 从这 6 个点中任选 3 个点构成的 三角形可分为以下两类: 第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中 的任意一个面的中心, 构成的是等腰直角三角形, 此时剩下的三个点也连成一个与其全 等的三角形.第二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选 3 个点所 在的平面彼此相邻)此时构成的是正三角形,同时剩下的三个点也构成与其全等的三角 形,故所求概率为 1.] 7.①③④ 8.0.52 解析 P=1-P(x≤8)=1-P(x<8)-P(x=8) =1-0.29-0.19=0.52. 7 9. 26 解析 一副扑克中有 1 张红桃 K,13 张黑桃,事件 A 与事件 B 为互斥事件,∴P(A∪B) 1 13 7 =P(A)+P(B)= + = . 52 52 26 10.解 设事件 A、B、C、D 分别表示“任取一球,得到红球”,“任取一球,得到 黑球”,“任取一球,得到黄球”,“任取一球,得到绿球”, 1 则由已知得 P(A)= , 3 5 P(B∪C)=P(B)+P(C)= , 12

5 P(C∪D)=P(C)+P(D)= , 12 P(B∪C∪D)=1-P(A)=P(B)+P(C)+P(D) 1 2 =1- = . 3 3 1 1 1 解得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 4 6 4 1 1 1 故得到黑球,得到黄球,得到绿球的概率分别为 , , . 4 6 4 11.解 方法一 设“进口汽车恰好 4 年关税达到要求”为事件 A, “不到 4 年达到要 求”为事件 B,则“进口汽车不超过 4 年的时间内关税达到要求”就是事件 A+B,显 然 A 与 B 是互斥事件,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.18+(1-0.21-0.18)=0.79. 方法二 设“进口汽车在不超过 4 年的时间内关税达到要求”为事件 M,则 N 为“进 口汽车 5 年关税达到要求”,所以 P(M)=1-P(N)=1-0.21=0.79. 12.解 (1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率为 P=1 1 1 1 - - = . 2 3 6 (2)方法一 设事件 A 为“甲不输”,看作是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事 1 1 2 件,所以 P(A)= + = . 6 2 3 1 2 方法二 设事件 A 为“甲不输”,看作是“乙胜”的对立事件.所以 P(A)=1- = . 3 3 2 所以甲不输的概率是 . 3 1+1+3 1 13.解 (1)P(x=1)= = , 50 10 8 4 P(x≥3,y=3)= = . 50 25 (2)P(x=2)=1-P(x=1)-P(x≥3) 5 35 =1- - 50 50 10 a+b+7 = = , 50 50 ∴a+b=3.


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