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辽宁师大附中2015届高三上学期期中考试数学(文)试题word版含答案(已解析)


辽宁师大附中 2015 届高三上学期期中考试数学(文)试题
一.选择题(每题 5 分共 60 分)
1.对于非零向量 a、b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A 【解析】 非零向量 a , b , a ∥ b 推不出 a + b =0, a + b =0? a ∥ b , 由此可知 a ∥ b 是 a + b =0 成立的充分不必要条件 故答案为:A 【考点】充分条件与必要条件 【难度】 1 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

? ?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

2+x 2.设 f(x)=lg ,则 f 2-x A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2)
【答案】B 【解析】

? x? ?2?+f ? ?

?2? ? x?的定义域为( ? ?

).

B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4)

2+x 要使函数有意义,则 > 0 解得 x∈(-2,2) 2-x

?x? f 2 +f ? ?
? ?2 ? ? ? 则? ? ?2 ? ? ?

?2?要确保两个式子都要有意义, ? x?
x ?2 2 ?x∈(-4,-1)∪(1,4) 2 ?2 x

故答案为:B 【考点】函数的定义域与值域 【难度】 1

3. 设 m, n 是两条不同直线, α, β 是两个不同的平面, 下列命题正确的是( A.m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m∥n B.m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m⊥n C.m⊥α,n?β,m⊥n,则 α⊥β D.m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β
【答案】B

).

【解析】 对于 A,若 m∥α,n∥β 且 α∥β, 说明 m、n 是分别在平行平面内的直线, 它们的位置关系应该是平行或异面,故 A 错; 对于 B,由 m⊥α,n⊥β 且 α⊥β,则 m 与 n 一定不平行, 否则有 α∥β,与已知 α⊥β 矛盾, 通过平移使得 m 与 n 相交,且设 m 与 n 确定的平面为 γ, 则 γ 与 α 和 β 的交线所成的角即为 α 与 β 所成的角, 因为 α⊥β,所以 m 与 n 所成的角为 90 ,故命题 B 正确. 对于 C,根据面面垂直的性质,可知 m⊥α,n?β,m⊥n, ∴n∥α,∴α∥β 也可能 α∩β=l,也可能 α⊥β,故 C 不正确; 对于 D,若“m?α,n?α,m∥β,n∥β”, 则“α∥β”也可能 α∩β=l,所以 D 不成立. 故答案为:B 【考点】点线面的位置关系 【难度】2
?

?? ? ?? ? ?? ? 4.已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 m ? n ? m ? n , 则? = (

?

? ?

?



A. ?4
【答案】C 【解析】

B. ?2

C. -3

D. -1

由向量 m =(λ+1,1), n =(λ+2,2), 得 m ? n =(λ+1 , 1)+(λ+2 , 2)=(2λ+3 , 3) ,

??

?

?? ?

?? ? m ? n =(λ+1 , 1)- (λ+2 , 2)=(-1 , -1)
由( m ? n ) ? ( m ? n ), 得(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,解得:λ=-3. 故答案为:C 【考点】平面向量坐标运算 【难度】 2

?? ?

?? ?

π 5.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,|φ|<2)的部分图象如图所示,如果 x1 , x2 π π ∈(-6,3),且 f( x1 )=f( x2 ),则 f( x1 ? x2 )等于( 1 A.2
【答案】C 【解析】 π π 由图知,T=2×( 3+ 6) =π,

)

2 B. 2

3 C. 2

D.1

∴ω=2,因为函数的图象经过( ? 0=sin( ?

?
6

, 0 ),

π ? ,所以 ?=3, 3 2 π ? π ∴f(x)=sin(2x+ 3) , x1 ? x2 =2× = , 12 6 +?)∵| ? | < 所以 f( x1 ? x2 )=sin

?

2? 3 = . 3 2

故答案为:C 【考点】三角函数的图像与性质 【难度】 2

6.设数列 ?an ? 是公差 d<0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, 若 S6 ? 5a1 ? 10d , 则 Sn 取最大值时,n=( A.5
【答案】C 【解析】 ∵ S6 ? 5a1 ? 10d ,∴ 6a1 ? 15d ? 5a1 ? 10d 得到 a1 ? 5d ? 0 即 a6 ? 0 , ∵数列 ?an ? 是公差 d<0 的等差数列,∴n=5 或 6, Sn 取最大值. 故答案为:C 【考点】等差数列 【难度】 2

). C.5 或 6 D.6 或 7

B.6

7.设 x,y∈R+,且 x+4y=40,则 lg x+lg y 的最大值是( A.40
【答案】D 【解析】 ∵x>0,y>0,x+4y=40,∴40≥2 4xy ,化为 xy≤100, 当且仅当 x=4y=

).

B.10

C.4

D.2

1 ×40 ,即 x=20,y=5 时取等号, 2

∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2. 故答案为:D 【考点】均值定理 【难度】 2

?x-y+2≥0, 8.已知实数 x,y 满足不等式组?x+y-4≥0, ?2x-y-5≤0,

若目标函数 z=y-ax 取得最

大值时的唯一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围为(

).

A.(-∞,-1) C.[1,+∞)
【答案】D 【解析】 x-y+2≥0, ? ? 不等式 ?x+y-4≥0, ? ?2x-y-5≤0, 的可行域将目标函数变形得 y=ax+z, 当 z 最大时,直线的纵截距最大, 画出直线 y=ax 将 a 变化, 结合图象得到当 a>1 时, 直线经过(1,3)时纵截距最大. 故答案为:D 【考点】线性规划 【难度】 2

B.(0,1) D.(1,+∞)

9.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等 的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 ( ). A.12π C.32π B.24π D.48π

【答案】D 【解析】 由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 4, 该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为 3 ×4=4 3 , 即球的半径为 2 3 ,所以该球的表面积是 4? (2 3)2 ? 48? . 故答案为:D 【考点】空间几何体的三视图与直观图 【难度】2

10.在等差数列{an}中,a1>0,a10· a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项的和 S18=12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是 ( A.24
【答案】C 【解析】



B.48

C.60

D.84

? a1 ? 0 , a10 ? a11 ? 0 ,? d ? 0 , a10 ? 0 , a11 ? 0 ,

?T18 ? a1 ? a2 ? ? ? a10 ? a11 ? a12 ? ? ? a18 ? (a1 ? a2 ? ? ? a10 ) ? (a11 ? a12 ? ? ? a18 ) ? S10 ? (S18 ? S10 ) ? 2S10 ? S18 ? 60
故答案为:C 【考点】数列求和 【难度】 2

2 1 11.已知 x>0,y>0,且 x+ y=1,若 x+2y> m 2 +2m 恒成立,则实数 m 的取值范 围是 ( ).

A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞) C.(-2,4)
【答案】D 【解析】 2 1 2 1 4y x ∵ x +y =1 ,∴x+2y=(x+2y)( x +y ) =4+ ? ≥4+2 4 =8 x y ∵x+2y> m +2m 恒成立,∴ m +2m<8,求得-4<m<2 故答案为:D 【考点】均值定理 【难度】 2
2 2

D.(-4,2)

5π? sinθ 3cosθ ? 12.设函数 f(x)= 3 x3 + 2 x 2 + tan ? ,其中 θ∈?0,12?,则导数 f ?(1) 的取 ? ? 值范围为( ) B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[-2,2]

A.[ 2,2]
【答案】A 【解析】 ∵f(x)=

sinθ 3 3cosθ x + 2 x 2 + tan ? , 3

2 ∴ f ?( x ) = sin ? ? x + 3 cos? ? x ∴f′(1)= sin? ? 3 cos? =2sin(θ+

? ) 3

∵θ ∈ [0,

5? ? ? 3? ? 2 ] ,∴θ+ ∈[ , ]∴sin(θ+ )∈[ , 1] 12 4 3 3 3 2

∴ f ?(1) ∈[ 2 ,2], 故答案为:A 【考点】导数的综合运用 【难度】2

二.填空题(每题 5 分共 20 分)

13.函数 y=sin2x+2 3 sin 2 x 的最小正周期 T 为_______
【答案】 ? 【解析】 y=sin2x+2 3 ×

1 ? cos 2 x =sin2x- 3 cos2x+ 3 2

=2(

1 3 sin2xcos2x)+ 3 2 2

? )+ 3 ,∵ω=2,∴T=π. 3 故答案为: ?
=2sin(2x【考点】三角函数的图像与性质 【难度】2 14. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 am?1 ? am +1 ? am ? 0 , 则 m=________. S2m?1 ? 38 ,
2

【答案】 10 【解析】 根据等差数列的性质可得: am?1 ? am +1 =2am ,

? am?1 ? am+1 ? am2 ? 0 ,∴ 2am ? am2 ? 0 ∴ am =0 或 am =2
若 am =0,显然 S2 m?1 ? (2m ? 1)am 不成立∴ am =2 ∴ S2 m?1 =

(2m ? 1)(a1 ? a2 m ?1 ) = (2m ? 1)am =38, 2

解得 m=10. 故答案为: 10 【考点】等差数列 【难度】 2

15.已知 x>0,y>0,x+3y+xy=9,则 x+3y 的最小值为________.
【答案】 6 【解析】 由于 x>0,y>0,x+3y+xy=9, 则 9-(x+3y)=xy=

1 1 ( x ? 3 y)2 ×x×3y≤ × , 3 3 3

当且仅当 x=3y 时,取“=”则此时 ?

? x ? 3 y ? xy ? 9 , x ? 3y ?

由于 x>0,y>0,解得 ?

?x ? 3 , ?y ?1

故 x+3y=6 故答案为: 6 【考点】均值定理 【难度】 2

? ? ? ? ? 16.已知 a, b 是单位向量, a ? b ? 0 .若向量 c 满足
? ? ? ? c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是 ________.
【答案】[ 【解析】 由 a , b 是单位向量, a ? b =0. 可设 a =(1,0), b =(0,1), c =(x,y) ∵向量 c 满足| c - a - b |=1, ∴|(x-1,y-1)|=1,
2 2 2 2 ∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) =1,即 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 .

2 -1 , 2 +1] .

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

其圆心 C(1,1),半径 r=1.∴|OC|= 2 .
2 2 ∴ 2 -1 ≤| c |= x ? y ?

?

2 +1 .

∴| c |的取值范围是[ 故答案为:[ 故答案为:[

?

2 -1 , 2 +1] .

2 -1 , 2 +1] . 2 -1 , 2 +1] .

【考点】数量积的应用 【难度】2 三.解答题 17.(10 分)设函数 f(x)=m x -mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】 解:(1)要使 m x -mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0;
?m<0, ? 若 m≠0,则? ?-4<m<0. 2 ?Δ=m +4m<0 ?
2 2

所以 m 的取值范围是(-4,0].

(2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立, 就是要使 m( x ? ) ?
2

1 2

3 m ? 6 <0 在 x∈[1,3]上恒成立. 4

有以下两种方法: 方法一:令 g(x)= m( x ? ) ?
2

1 2

3 m ? 6 ,x∈[1,3]. 4

当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g ( x) max =g(3)=7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g ( x) max =g(1)=m-6<0. 所以 m<6,所以 m<0. 6 综上所述,m 的取值范围是{m|m< }. 7

1 2 3 2 方法二:因为 x -x+1= ( x ? ) + >0, 4 2
又因为 m( x -x+1)-6<0, 6 所以 m< 2 . x -x+1 6 因为函数 y= 2 = x -x+1 6 在[1,3]上的最小值为 , 7 6 所以只需 m< 即可. 7 6 所以,m 的取值范围是{m|m<7}. 【考点】一元二次不等式 【难度】3 6 , 12 3 ?x- ? + 2 4
2

?? ? x x? ? ? ? x 18.已知向量 m =? 3sin4,1?, n =?cos4,cos24?. ? ? ? ? ?? ? 2π ? ? (1)若 m ? n =1,求 cos? 3 -x?的值; ? ? ?? ? (2)记 f(x)= m ? n ,在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 且满足(2a-c)cosB
=bcosC,求函数 f(A)的取值范围.

【答案】见解析 【解析】

x ?? ? x 1 ? cos 2 x ? 1 3 解:∵ m ? n = sin + =sin( + )+ =1 2 2 6 2 2 2 x ? 1 ∴sin( + )= 2 6 2 2? ? x ? 1 2 ∵cos( -x)=-cos(x+ )=-[1-2 sin ( + )]=3 2 6 2 3
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C) =sinA∵sinA>0∴cosB= ∵B∈(0,π),∴B=

? 2? ∴A ∈ (0 , ) 3 3 x ? 1 A ? 1 ∵f(x)=sin( + )+ ∴f(A)=sin( ? )+ 2 6 2 2 6 2 A ? ? ? A ? 1 ∵ ? ∈ ( , ) ∴sin( ? ) ∈ ( , 1) 2 6 2 6 2 6 2 3 ∴f(A) ∈ (1 , ) 2
【考点】解斜三角形 【难度】3

1 2

19.(本小题满分 12 分)已知在等比数列 ?an ? 中, a1 =1,且 a2 是 a1 和 a3 -1 的等 差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2b2 ? 3b3 ? ?nbn ? an (n ? N ) ,求 ?bn ? 通项公式 bn
【答案】见解析 【解析】 解:(1)由题意,得 2 a2 = a1 + a3 -1,即 2 a1 q= a1 + a1q -1, 整理得 2q ? q .又 q≠0,解得 q=2,∴ an ? 2
2

2

n?1

.

(2)当 n=1 时, b1 ? a1 ? 1 ; 当 n≥2 时, nbn ? an ? an?1 ? 2 ,即 bn ?
n ?2

2 n?2 , n

1,n=1, ? ? n-2 ∴ bn =?2 ,n≥2. ? ? n 【考点】等比数列

【难度】3

1 t ?1 20. (本小题满分 12 分)设 a>0,a≠1,t>0,比较2 log a t 与 log a 的大小, 2 并证明你的结论.
【答案】见解析 【解析】 证明: log a

t ?1 1 t ?1 t ?1 - log a t = log a - loga t = log a , 2 2 2 2 t

∵t>0,t+1≥2 t(当且仅当 t=1 时等号成立),∴

t ?1 ≥1. 2 t

当 t=1 时, log a 若 a>1,则 log a

t+1 t ?1 1 = log a t ;当 t≠1 时, >1. 2 2 t 2

t ?1 1 t ?1 >0,即 log a > log a t ; 2 2 2 t t ?1 1 t ?1 <0,即 log a <2 log a t . 2 2 t

若 0<a<1,则 log a

【考点】对数与对数函数 【难度】3

21.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥ CD,AB⊥AD, CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD. E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点. 求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
【答案】见解析 【解析】 解:(1)因为平面 PAD∩平面 ABCD=AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, 且 PA⊥AD.所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以 ABED 为平行四边形.所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形.

所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD,从而 CD⊥PD. 又 E,F 分别是 CD 和 CP 的中点, 所以 EF∥PD,故 CD⊥EF.CD?平面 PCD, 由 EF,BE 在平面 BEF 内,且 EF∩BE=E, ∴CD⊥平面 BEF. 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 【考点】立体几何综合 【难度】3

22.已知函数 f ( x) ? kx , g ( x) ? (1)求函数 g ( x) ?

ln x x

ln x 的单调递增区间; x

(2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间(0,+ ?) 上恒成立,求 k 的取值范围; (3)求证:
ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ??? 4 ? 4 2e 2 3 n

【答案】见解析 【解析】 解:(1)∵g(x)=

ln x 1 ? ln x (x>0),∴g′(x)= , x x2

令 g ?( x ) >0,得 0<x<e,

ln x 的单调递增区间为(0,e). x ln x ln x (2)由 kx≥ , 得 k≥ 2 , x x ln x 令 h(x)= ,则问题转化为 k 大于等于 h(x)的最大值. x2 1 ? 2 ln x 又 h?( x) = ,令 h?( x) =0 时 , x= e . x3
故函数 g(x)= 当 x 在区间(0,+∞)内变化时, h?( x) 、h(x)变化情况如下表:

x

(0, e )

e

( e , ??)

h?( x)
h( x )

+

0

-



1 2e



由表知当 x= e 时,函数 h(x)有最大值,且最大值为,因此 k≥

1 . 2e

ln x 1 ln x 1 1 ? (x≥2), ≤ ,∴ 4 < 2 x x 2e 2e x 2 1 ln 2 ln 3 ln n 1 1 1 ∴ 4 ? 4 ??? 4 ? ( 2 + 2 +….+ 2 ) n 2e 2 3 2 3 n
(3)由 又∵

1 1 1 1 1 1 ? ? ..... ? + 2 +….+ 2 < 2 2 3 n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n

1 1 1 1 1 1 1 ? + - + - +…+ 2 2 2 3 4 n ?1 n 1 ln 2 ln 3 ln n 1 =1- <1,∴ 4 ? 4 ? ? ? 4 ? . n 2e 2 3 n
=1【考点】导数的综合运用 【难度】4


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