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精品习题:第一章 集合与常用逻辑用语


精品习题:第一章 集合与常用逻辑用语
(时量:120 分钟 150 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义 P※Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则 P※Q 中元素的个数为 A.3 B.4 C .7 D.12 2.设 A、B 是两个集合,定义 A-B={x|x∈A,且 x ? B},若 M={x||x+1|≤2},N={x|x= |sinα|,α∈R},则 M-N= A.[-3,1] B.[-3,0] C.[0,1] D.[-3,0]

3.映射 f:A→B,如果满足集合 B 中的任意一个元素在A中都有原象,则称为“满射”.已 知集合 A 中有 4 个元素,集合 B 中有 3 个元素,那么从 A 到 B 的不同满射的个数为 A.24 B.6 C. 36 D.72

4.若 lga+lgb=0(其中 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=ax 与 g(x)=bx 的图象 A.关于直线 y=x 对称 C.关于 y 轴对称 5.若任取 x1、x2∈[a,b],且 x1≠x2,都有 f( B.关于 x 轴对称 D.关于原点对称

x1+x2
2

)>

f(x1)+f(x2) 成立,则称 f(x) 是[a,b]上 2

的凸函数.试问:在下列图像中,是凸函数图像的为 y a A 6.若函数 f(x)=x- b x a B y b x a C y b x a D y b x

p p + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是 x 2
D.(-∞,1]

A.[-1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,-1] 7.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①c=0 时,f(x)是奇函数 ③f(x)的图象关于(0,c)对称 其中正确的命题是 A.①④
x

②b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根 ④方程 f(x)=0 至多两个实根 C.①②③ D.①②④

B.①③

e +1 8.函数 y= x ,x∈(0,+∞)的反函数是 e -1 x-1 A.y=ln ,x∈(-∞,1) x+1 x-1 C.y=ln ,x∈(1,+∞) x+1 x+1 B.y=ln ,x∈(-∞,1) x-1 x+1 D.y=ln ,x∈(1,+∞) x-1

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9.如果命题 P: ? ?{?} ,命题 Q: ? ? {?} ,那么下列结论不正确的是 A.“P 或 Q”为真 B.“P 且 Q”为假 C.“非 P”为假 D.“非 Q”为假

10.函数 y=x2-2x 在区间[a,b]上的值域是[-1,3],则点(a,b)的轨迹是图中的 A.线段 AB 和线段 AD C.线段 AD 和线段 BC 答题卡 B. 线段 AB 和线段 CD D. 线段 AC 和线段 BD 题号 答案 1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在横线上. 11.已知函数 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的 . 。 图 象 如 图 所 示 , 则 不 等 式 f(x)cosx<0 的 解 集 O 1 2 3 x . 。是 y

12.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过 800 元的不纳税;超过 800 元而不超过 4000 元 的按超过 800 元部分的 14%纳税;超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税.已知某人出 版一本书,共纳税 420 元时,这个人应得稿费(扣税前)为 13.已知函数 f(x)= f ( x) ? ? 元.

? x 2 , x ? 0,

若f ( f ( x0 )) ? 2, 则 x0= 2 cos x , 0 ? x ? ? . ?



14.若对于任意 a∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 的值恒大于零,则 x 的取值范 围是 . 15.如果函数 f(x)的定义域为 R,对于 m,n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-6,且 f(-1)是 不大于 5 的正整数,当 x>-1 时,f(x)>0. 那么具有这种性质的函数 f(x)= .(注:填上你认为正确的一个函数即可)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 二次函数 f(x)满足 f (x+1)-f (x)=2x 且 f (0)=1. ⑴求 f (x)的解析式; ⑵在区间[-1,1]上,y=f (x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方,试确定实数 m 的范围.

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17.(本小题满分 12 分) 已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} ,B= {x | ⑴当 a=2 时,求 A ? B; ⑵求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

x ? 2a ? 0} . x ? (a 2 ? 1)

18.(本小题满分 14 分)
2 2 已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q :只有一个实数 x 满足

不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.
2

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19.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2? x ? 1 (a 为实数). ⑴若 a<0,用函数单调性定义证明: y ? f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数; ⑵若 a=0, y ? g ( x) 的图象与 y ? f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称,求函数 y ? g ( x) 的解析式.

20.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x ) ? 2 x ?

a 的定义域为(0,1]( a 为实数). x

⑴当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x ) 的值域; ⑵若函数 y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; ⑶求函数 y ? f ( x ) 在 x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函数取最值时 x 的值.

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21.(本小题满分 14 分) 对于函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 2(a ? 0) ,若存在实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,
2

则称 x0 为 f ( x) 的不动点. ⑴当 a=2,b=-2 时,求 f ( x) 的不动点; ⑵若对于任何实数 b,函数 f ( x) 恒有两相异的不动点,求实数 a 的取值范围; ⑶在⑵的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不动点,且 直线 y ? kx ?

1 2a ? 1
2

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围.

集合与简易逻辑参考答案
用心 爱心 专心

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题次 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C D A C D B A 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) π π 3π 11.? ,-1?∪(0,1)∪? ,3?;12.3800;13. ;14. (-∞?1)∪(3,+∞);15.x 4 ?2 ? ?2 ? +6 或 2x+6 或 3x+6 或 4x+6 或 5x+6 三、解答题(共 80 分) 16.解: (1)设 f(x)=ax2+bx+c,由 f(0)=1 得 c=1,故 f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 即 2ax+a+b=2x,所以 ?

?2a ? 2 ?a ? 1 ,∴f(x)=x2-x+1. ,? ? a ? b ? 0 b ? ? 1 ? ?

(2)由题意得 x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立.即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成 立. 3 设 g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线 x= ,所以 g(x) 在[-1,1]上递减. 2 故只需 g(1)>0,即 12-3× 1+1-m>0,解得 m<-1. 17. 解:(1)当 a=2 时,A=(2,7),B=(4,5)∴ A ? B=(4,5). (2)∵ B=(2a,a2+1), 当 a<

1 时,A=(3a+1,2) 3

要使 B ? A,必须 ? 当 a=

? 2a ? 3a ? 1
2 ?a ? 1 ? 2

,此时 a=-1;

1 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在; 3 1 当 a> 时,A=(2,3a+1) 3
要使 B ? A,必须 ?

? 2a ? 2
2 ? a ? 1 ? 3a ? 1

,此时 1≤a≤3.

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1} 18. 解 :由a 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0,得(ax ? 2)( ax ? 1) ? 0, 2 1 显然a ? 0 ? x ? ? 或x ? a a 2 1 ?x?? ? ?1,1? , 故 | a |? 1或 | a |? 1,?| a |? 1 “只有一个实数满足x 2 ? 2ax ? 2a ? 0” .即抛物线y ? x 2 ? 2ax ? 2a与x轴只有
一个交点, ?? ? 4a 2 ? 8a ? 0.? a ? 0或2, ? 命题 " p或q为真命题"时 " | a |? 1或a ? 0" ? 命题 " P或Q "为假命题 ? a的取值范围为?a | ?1 ? a ? 0或0 ? a ? 1?
用心 爱心 专心

19.解: (1)设任意实数 x1<x2,则 f(x1)- f(x2)= (2 1 ? a ? 2
x

? x1

?1) ? (2x2 ? a ? 2? x2 ?1)

= (2 1 ? 2 2 ) ? a(2
x x

? x1

? 2? x2 ) = (2 x1 ? 2 x2 ) ?

2 x1 ? x2 ? a 2 x1 ? x2

? x1 ? x2 ,?2x1 ? 2x2 ,?2x1 ? 2x2 ? 0; ? a ? 0,? 2x1 ? x2 ? a ? 0 .
又2 1
x ? x2

? 0 ,∴f(x1)- f(x2)<0,所以 f(x)是增函数.

(2)当 a=0 时,y=f(x)=2x-1,∴2x=y+1, ∴x=log2(y+1), y=g(x)= log2(x+1). 20.解:(1)显然函数 y ? f ( x ) 的值域为 [ 2 2 , ? ? ) ; ( 2 )若函数

y ? f ( x ) 在定义域上是减函数,则任取 x1 , x 2 ? ( 0.1] 且 x1 ? x2 都有
1 2

)?0 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 成立, 即 ( x1 ? x2 )(2 ? x a x
只要 a ? ?2 x1 x 2 即可, 由 x1 , x 2 ? ( 0.1] ,故 ?2 x1 x 2 ? ( ?2,0) ,所以 a ? ?2 , 故 a 的取值范围是 ( ?? ,?2] ; (3)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调增,无最小值, 当 x ? 1 时取得最大值 2 ? a ; 由(2)得当 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0.1] 上单调减,无最大值, 当 x=1 时取得最小值 2-a; 当 ?2 ? a ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( 0. 当x?
?2a 2

?2 a 2

] 上单调减,在 [

?2a 2

, 1 ] 上单调增,无最大值,

时取得最小值 2 ? 2a .
2

21.解? f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 2(a ? 0),

f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 4. 2 设 x 为其不动点,即 2 x ? x ? 4 ? x. 2 则 2 x ? 2 x ? 4 ? 0. ? x1 ? ?1, x2 ? 2.即f ( x) 的不动点是-1,2. 2 (2)由 f ( x) ? x 得: ax ? bx ? b ? 2 ? 0 . 由已知,此方程有相异二实根, ? x ? 0 恒成立,即 b 2 ? 4a(b ? 2) ? 0. 即 b 2 ? 4ab ? 8a ? 0 对任意 b ? R 恒成立.
(1)当 a=2,b=-2 时,

? ? b ? 0. ?16a 2 ? 32a ? 0 ? 0 ? a ? 2. (3)设 A( x1 , x1 ), B( x2 , x2 ) , 1 ? k ? ?1 直线 y ? kx ? 是线段 AB 的垂直平分线, 2 2a ? 1 b , 记 AB 的中点 M ( x0 , x0 ). 由(2)知 x0 ? ? 2a 1 b b 1 ? M在y ? kx ? 2 上,? ? ? ? 2 . 2a 2a 2a ? 1 2a ? 1

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化简得: b ? ?

a 2a ? 1
2

??

1 2a ? 1 a

??

1 2 2a ? 1 a

??

2 2 时,等号成立). (当a ? 4 2

即b ? ?

2 . 4

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