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《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版选修1-1【配套备课资源】2.2.2


2.2.2 双曲线的几何性质 一、基础过关 1.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4 2.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是 ( ) A.y=±3x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 3.双曲线-=1 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A.2 B.2 C. D.1 4.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于 ( ) A.- B.-4 C.4 D. 5.双曲线-=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直线,交 双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D. 6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线 的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 ( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 二、能力提升 7.若双曲线离心率为,焦点在 x 轴上,则其渐近线方程为____________. 8.已知圆 C 过双曲线-=1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲 线中心的距离是________. 9.如图所示,ABCDEF 为正六边形,则以 F、C 为焦点,且经 过 A 、 E 、 D 、 B 四 点 的 双 曲 线 的 离 心 率 为 ___________________________________________________. 10.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)与双曲线-=1 有共同的渐近线,且过点(-3,2); (2)与双曲线-=1 有公共焦点,且过点(3,2). 11.已知双曲线的一条渐近线为 x+y=0,且与椭圆 x2+4y2=64 有相同的焦距,求双曲线 的标准方程. 12.求证:双曲线-=1 (a>0,b>0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值. 三、探究与拓展 13.已知双曲线-=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在 点 P,使=,求该双曲线的离心率的取值范围.

答案 1.C 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.y=±2x 8. 9.+1 10.解 (1)设所求双曲线方程为-=λ (λ ≠0), 将点(-3,2)代入得λ =, 所以双曲线方程为-=,即-=1. 故双曲线标准方程为-=1. (2)设双曲线方程为-=1 (a>0,b>0). 由题意易求 c=2. 又双曲线过点(3,2),∴-=1. 又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8. 故所求双曲线的标准方程为-=1. 11.解 椭圆方程为+=1,可知椭圆的焦距为 8. ①当双曲线的焦点在 x 轴上时, 设双曲线方程为-=1 (a>0,b>0), ∴ 解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. ②当双曲线的焦点在 y 轴上时, 设双曲线方程为-=1 (a>0,b>0), ∴ 解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 由①②可知,双曲线的标准方程为 -=1 或-=1. 12.证明 设 P(x0,y0)是双曲线上任意一点,由双曲线的两渐近线方程为 bx+ay=0 和 bx -ay=0,可得 P 到 bx+ay=0 的距离 d1=, P 到 bx-ay=0 的距离 d2=. ∴d1d2=?=. 又 P 在双曲线上,∴-=1, 即 b2x-a2y=a2b2,∴d1d2=. 故 P 到两条渐近线的距离之积为定值. 13.解 如图,设|PF1|=m,|PF2|=n, 由题意及正弦定理得=, ∴n=m.又 m-n=2a, ∴m-m=2a, 即 m=2a,∴m=. 又 m>c+a,∴>c+a,即 c2-2ac-a2<0, ∴e2-2e-1<0,∴1-<e<1+. 又 e>1,∴1<e<1+.


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