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安徽省淮南市2013-2014学年高一下学期期末教学质量检测数学试题


淮 南 市 2013-2014 学 年 高 一 下 学 期 期 末 教 学 质 量 检 测 数学试题
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式正确的是( 2ab a ? b ? ? ab A B a?b 2 2ab a?b ? ab ? C D a?b 2



ab ?

2ab a ? b ? a?b 2 2ab a ? b ab ? ? a?b 2


2. 在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 ,那么 a3 等于( A 4 B 5 C 6 D 7

3. 若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 的交点位于第一象限,则实数 a 的取值范围是( A ?1 ? a ? 2 B



a ? ?1

C

a?2

D

a ? ?1 或 a ? 2


4. 已知点 (3, 1) 和 (?4, 6) 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( A C

a ? ?7 或 a ? 24 ?7 ? a ? 24

B D

a ? 7 或 a ? 24 ?24 ? a ? 7


5. 在 ?ABC 中,若 a ? 5, b ? 15, A ? 30o ,则边 c 的长度等于( A

2 5

B

5

C

2 5或 5

D 以上都不对 )

6. 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 | 2a ? b | 的最大值、最小值分别是( A

4 2,0

B

4, 4 2

C

16, 0

D

4, 0


7. 在 ?ABC 中,满足下列条件的三角形有两个的是( A C

b ? 10, A ? 45o , C ? 70o a ? 7, b ? 5, A ? 80o
1 t

B D

A ? 60o , c ? 48, B ? 60o a ? 14, b ? 16, A ? 45o


8. 若直线经过点 P(1,1) 和点 Q ( 2, t ? ) ,其中 t ? 0 ,则该直线的倾斜角的取值范围是( A

(0, ] 4

?

B [

? ?

, ) 4 2

C

? 3? ( , ] 2 4

D

[

3? ,? ) 4
n

9. 在数列 {an } 中, an?1 ? can (c 为非零常数)且前 n 项和 Sn ? 3 ? k ,则实数 k 等于(
·1 ·



A ?1

B 1
2

C 0

D 2 )

10. 关于 x 的不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集中只有一个元素,则实数 m =( A

?2

B 2

C

?2

D 不存在

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
11. 已知两点 A(4, 9), B(6, 3) ,则以 AB 为直径的圆的标准方程为___________________。 12. 已知 | a |? 10,| b |? 12 ,且 (3a ) ? ( b) ? ?36 ,则 a 与 b 的夹角大小是_____________。 13. 若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 8 ,则 ab 的取值范围是________________。 14. 若 x, y 满足 4 x ? 3 y ? 24 且 x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最小值为_________________。

1 5

三、解答题(共 44 分)
15.(本小题满分 10 分) 已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和直线 l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试确定 m, n 的 值,使 (1) l1 和 l2 相交于点 P(m, ?1) ; (2) l1 ? l2 且 l1 在 y 轴上的截距为 ?1 。

、 c 分 别 是 三 内 角 A、 B、 C 对 应 的 三 边 , 已 知 16. ( 本 小 题 满 分 10 分) 在 ?ABC 中 , a、 b

b2 ? c2 ? a2 ? bc。
(1)求角 A 的大小; (2)若 2sin
2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,判断 ?ABC 的形状。 2 2

17.(本小题满分 12 分) 已知 a,b 是正常数, a ? b, x, y ? (0, ??) ,求证:

a 2 b2 (a ? b)2 , ? ? x y x? y

指出等号成立的条件; (2)利用(1)的结论求函数 f ( x) ? 取最小值时 x 的值。
·2 ·

2 9 ? 1 ? ? ? x ? (0, ) ? 的最小值,指出 x 1 ? 2x ? 2 ?

18.(本小题满分 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ,{bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 ,

b2 (a2 ? a1 ) ? b1 。
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn 。 bn

四、附加题(本小题满分 20 分)
已知 f ( x) ? ? 4 ? 且 a1 ? 1, an ? 0 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且满足

? 1 ? 1 * P a , ? , 数列 的前 n 项和为 , 点 { a } S ? ? 在曲线 y ? f ( x) 上 (n ? N ) , n n n n 2 an ?1 ? x ?

Tn ?1 T ? 2n1 ? (4n ? 1)(4n ? 3) ,问:当 b1 为何值时,数列 2 an a n ?1

{bn } 是等差数列;

·3 ·

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 C 5 C 6 D 7 D 8 B 9 A 10 A

二、填空题 11、 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 40 12、120° 13、 [16,??) 14、

47 7

三、解答题

?m 2 ? 8 ? n ? 0 ?m ? 1 15、 (1)由题意: ? ,解得: ? 。 ?2 m ? m ? 1 ? 0 ?n ? 7
(2)由题意: 2m ? 8m ? 0 ,所以: m ? 0 此时直线 l1 的方程为: 8 y ? n ? 0 ,即 y ? ?
2 2 2

…………………………5 分

n n ,令 ? ? ?1 ,得 n ? 8 。………10 分 8 8

16、 (1)在 ?ABC 中, b ? c ? a ? 2b cos A ,又 b2 ? c2 ? a2 ? bc,

1 ? ? cos A ? , A ? …………………………4 分 2 3 C 2 B ? 2sin 2 ? 1,?1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 , (2) Q 2sin 2 2

2? 2? ? 2? ? ? cos B ? cos C ? 1,cos B ? cos ? ? B ? ? 1,cos B ? cos cos B ? sin sin B ? 1, 3 3 ? 3 ?

3 1 ?? ? ? ? sin B ? cos B ? 1,?sin ? B ? ? ? 1. Q 0 ? B ? ? ,? B ? , C ? 2 2 6? 3 3 ?

? ?ABC 是等边三角形。
17、 (1)应用均值不等式,得 ?

…………………………10 分

? a 2 b2 ? y x ? ? ( x ? y) ? a 2 ? b2 ? a 2 ? ? b2 ? ? a 2 ? b2 y? x y ? x

a 2 b2 (a ? b)2 y 2 x 2 。 ?2 a ? ? b ? ? (a ? b) ,故 ? ? x y x? y x y
2

当且仅当 a ?
2

y x a b ? b 2 ? ,即 ? 时上式取等号。 x y x y
·4 ·

…………………………6 分

(2)由(1) , f () x ? 即x ?

22 32 2 ( 3 ) ?2 ? ? 2 5 ? 2x 1 2 ? x2 1 ( x2) ? ? x

。当且仅当

2 3 ? , 2x 1? 2x

1 时上式取等号,即 [ f ( x)min ] ? 25 。 5

…………………………12 分

18、 (1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 4n ? 2 ; 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ,也满足上式,所以: an ? 4n ? 2 。 又 b1 ? a1 ? 2 , (2) cn ? (2n ? 1)4n?1

b2 1 1 2 ? ,所以: bn ? 2 ? ( ) n ?1 ? n ?1 4 4 b1 4

……………6 分

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?? ? cn ? 1?1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 2 ? ?? ? (2n ? 1)4 n?1

4Tn ?

1? 4 ? 3 ? 42 ? ?? ? (2n ? 3)4n?1 ? (2n ? 1)4n

所以: ? 3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 2 ? ?? ? 4 n?1 ) ? (2n ? 1)4 n

? 2(1 ? 4 ? 4 2 ? ??4 n?1 ) ? 1 ? (2n ? 1)4 n
4n ? 1 ?2 ? 1 ? (2n ? 1)4 n 4 ?1
5 5 ? ( ? 2n) 4 n ? 3 3 6n ? 5 n 5 ?4 ? 。 所以: Tn ? 9 9
附加题: 解: (1)由于 y ? ? 4 ?

…………………………12 分

1 1 ,点 P (an , ? ) 在曲线 y ? f ( x) 上, 2 an ?1 x

??

1 1 1 1 1 1 ? f (an ) ? ? 4 ? 2 , 并 且 an ? 0 , ? ? 4 ? 2 ,? 2 ? 2 ? 4(n ? N *) 。 数 列 an?1 an an?1 an an?1 an

?1? 1 ? 2 ? 是等差数列,首项 2 ? 1 ,公差 d 为 4, a1 ? an ?
·5 ·

?

1 1 1 2 (n ? N *) 。 ? 1 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 3, an ? , Q an ? 0,? an ? 2 an 4n ? 3 4n ? 3
…………………………10 分

(2)由题意,得:

(4n ? 3)g Tn?1 ? (4n ? 1)Tn ? (4n ? 3)(4n ? 1), 故:
?{

Tn ?1 T ? n ?1 , 4n ? 1 4n ? 3

Tn T } 为等差数列,其首项为 1 ? b1 ,公差为 1. 4n - 3 1

?

Tn ? b1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? b1 ? 1 4n ? 3

?Tn ? (4n ? 3)(n ? b1 ? 1)
若要 {bn } 为等差数列,则 Tn ? An2 ? Bn(其中A、B为常数) ,所以: b1 ? 1 …………………………20 分

·6 ·

高一数学 参考答案
三、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 C 5 C 6 D 7 D 8 B 9 A 10 A

四、填空题 11、 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 40 12、120° 13、 [16,??) 14、

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三、解答题

?m 2 ? 8 ? n ? 0 ?m ? 1 15、 (1)由题意: ? ,解得: ? 。 ?2 m ? m ? 1 ? 0 ?n ? 7
(2)由题意: 2m ? 8m ? 0 ,所以: m ? 0 此时直线 l1 的方程为: 8 y ? n ? 0 ,即 y ? ?
2 2 2

…………………………5 分

n n ,令 ? ? ?1 ,得 n ? 8 。………10 分 8 8

16、 (1)在 ?ABC 中, b ? c ? a ? 2b cos A ,又 b2 ? c2 ? a2 ? bc,

1 ? ? cos A ? , A ? …………………………4 分 2 3 C 2 B ? 2sin 2 ? 1,?1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 , (2) Q 2sin 2 2

2? 2? ? 2? ? ? cos B ? cos C ? 1,cos B ? cos ? ? B ? ? 1,cos B ? cos cos B ? sin sin B ? 1, 3 3 ? 3 ?

3 1 ?? ? ? ? sin B ? cos B ? 1,?sin ? B ? ? ? 1. Q 0 ? B ? ? ,? B ? , C ? 2 2 6? 3 3 ?

? ?ABC 是等边三角形。

…………………………10 分

? a 2 b2 ? y x 17、 (1)应用均值不等式,得 ? ? ? ( x ? y) ? a 2 ? b2 ? a 2 ? ? b2 ? ? a 2 ? b2 y? x y ? x
a 2 b2 (a ? b)2 y 2 x 2 ,故 。 ? ? ?2 a ? ? b ? ? (a ? b) x y x? y x y
2

·7 ·

当且仅当 a ?
2

y x a b ? b 2 ? ,即 ? 时上式取等号。 x y x y

…………………………6 分

22 32 2 ( 3 ) ?2 (2)由(1) , f () x ? ? ? 2 5 ? 2x 1 2 ? x2 1 ( x2) ? ? x
即x ?

。当且仅当

2 3 ? , 2x 1? 2x

1 时上式取等号,即 [ f ( x)min ] ? 25 。 5

…………………………12 分

18、 (1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 4n ? 2 ; 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ,也满足上式,所以: an ? 4n ? 2 。 又 b1 ? a1 ? 2 , (2) cn ? (2n ? 1)4n?1

b2 1 1 2 ? ,所以: bn ? 2 ? ( ) n ?1 ? n ?1 4 4 b1 4

……………6 分

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?? ? cn ? 1?1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 2 ? ?? ? (2n ? 1)4 n?1

4Tn ?

1? 4 ? 3 ? 42 ? ?? ? (2n ? 3)4n?1 ? (2n ? 1)4n

所以: ? 3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 2 ? ?? ? 4 n?1 ) ? (2n ? 1)4 n

? 2(1 ? 4 ? 4 2 ? ??4 n?1 ) ? 1 ? (2n ? 1)4 n
?2 4n ? 1 ? 1 ? (2n ? 1)4 n 4 ?1

5 5 ? ( ? 2n) 4 n ? 3 3 6n ? 5 n 5 ?4 ? 。 所以: Tn ? 9 9
附加题: (不计入总分) 解: (1)由于 y ? ? 4 ?

…………………………12 分

1 1 ,点 P (an , ? ) 在曲线 y ? f ( x) 上, 2 an ?1 x

??

1 1 1 1 1 1 ? f (an ) ? ? 4 ? 2 , 并 且 an ? 0 , ? ? 4 ? 2 ,? 2 ? 2 ? 4(n ? N *) 。 数 列 an?1 an an?1 an an?1 an
·8 ·

?1? 1 ? 2 ? 是等差数列,首项 2 ? 1 ,公差 d 为 4, a1 ? an ?

?

1 1 1 2 (n ? N *) 。 ? 1 ? 4(n ? 1) ? 4n ? 3, an ? , Q an ? 0,? an ? 2 an 4n ? 3 4n ? 3
…………………………10 分

(2)由题意,得:

(4n ? 3)g Tn?1 ? (4n ? 1)Tn ? (4n ? 3)(4n ? 1), 故:
?{

Tn ?1 T ? n ?1 , 4n ? 1 4n ? 3

Tn T } 为等差数列,其首项为 1 ? b1 ,公差为 1. 4n - 3 1

?

Tn ? b1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? b1 ? 1 4n ? 3

?Tn ? (4n ? 3)(n ? b1 ? 1)
若要 {bn } 为等差数列,则 Tn ? An2 ? Bn(其中A、B为常数) ,所以: b1 ? 1 …………………………20 分

·9 ·


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