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2017-2018版高中数学 第二章 解三角形 1.2 余弦定理(一)学案 北师大版必修5


1.2 学习目标 余弦定理(一) 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题. 知识点一 余弦定理的推导 思考 1 根据勾股定理,若△ABC 中,∠C=90°,则 c =a +b =a +b -2abcos C.① 试验证①式对等边三角形还成立吗?你有什么猜想? 思考 2 在 c =a +b -2abcos C 中,abcos C 能解释为哪两个向量的数量积?你能由此证明 思考 1 的猜想吗? 梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要.因为两边及其夹角恰好是 平面向量一组基底的条件,所以能把第三边用基底表示进而求出模. 另外,也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理. 知识点二 余弦定理的呈现形式 1.a =__________________,b =____________________,c =____________. 2.cos ____= cos ____= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b2+c2-a2 ; 2bc c2+a2-b2 ; 2ca a2+b2-c2 cos ____= . 2ab 知识点三 适宜用余弦定理解决的两类基本的解 三角形问题 思考 1 观察知识点二第 1 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 思考 2 观察知识点二第 2 条中的公式结构,其中等号右边涉及几个量?你认为可用来解哪 类三角形? 梳理 余弦定理适合解决的问题:(1)已知两边及其夹角,解三角形;(2)已知三边,解三角 形. 类型一 余弦定理的证明 例 1 已知△ABC,BC=a,AC=b 和角 C,求解 c. 反思与感悟 所谓证明,就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿,要勘探地形,证 明一个公式,要考察公式两边的结构特征,联系已经学过的知识,看有没有相似的地方. 跟踪训练 1 例 1 涉及线段长度,能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题? 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度 1 已知两边及其夹角 例 2 在△ABC 中,已知 b=60 cm,c=34 cm,A=41°,解三角形.(角度精确到 1°,边长 精确到 1 cm) 反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时,应先从余弦定理入手求出第三边,再利用正弦定 理求其余的角. 跟踪训练 2 在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15°,求 A. 命题角度 2 已知三边 例3 1′). 反思与感悟 已知三边求三角, 可利用余弦定理的变形 cos A= 在△ABC 中,已知 a=134.6 cm,b=87.8 cm,c=161.7 cm,解三角形(角度精确到 b2+c2-a2 a2+c2-b2 , cos B= , 2bc 2ac b2+a2-c2 cos C= 求一个角,求其余角时,可用余弦定理也可用正弦定理. 2ba 跟踪训练 3 在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5,判断三角形的形状. 3 1. 一个三角形的两边长分别为 5 和 3, 它们夹角的余弦值是- , 则三角形的另一边长为( 5 A.52 B.2 13 C.16 D.4 ) ) 2.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为( A. π 3 π B. 6 π C. 4 π D. 12 3.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. 5 3 B. 18 4 C. 3 2 7 D. 8


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