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江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试试题数学试卷


扬州市 2015 届高三上学期期末考试试题 数学
一.填空题 (70 分) 1.集合 A ? ??1,0,2? , B ? x x ? 1 ,则 A ? B = 2.已知 i 是虚数单位,则

?

?

▲ .

.

1- i 的实部为 (1 ? i ) 2



2 3.命题 P : “ ?? x Rx, ? x2 ?? 3 0

” ,命题 P 的否定:



.

4.在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一张(不放回) ,两人都中奖 的概率为 ▲ . ▲ .

5.如图是一个算法流程图,输出的结果为

6.已知样本 6,7,8,9, m 的平均数是 8,则标准差是



.

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 7.实数 x, y 满足 ? x ? 1 , ?y ?1 ? 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ▲ .
8.已知 ? ? (0, ? ),cos ? ? ? 9.已知双曲线 C :

4 ? ,则 tan(? ? ) = 5 4



.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线 a 2 b2

与直线 l: x ? 3 y =0 垂直,且 C 的一个焦点到 l 的距离为 2, 则 C 的标准方程为 ▲ . ▲ .

x ? ? 2 ? a, x ? 2 10.设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x ) 的值域为 R ,是实数 a 的取值范围是 2 ? ?x ? a , x ? 2

11.已知 A ( xA , yA )是单位圆(圆心为坐标极点 O ,半径为 1)上任一点,将射线 OA 绕点 O 逆 时针旋转 ▲ .
2 2 2

? 到 OB 交单位圆于点 B ( xB , yB ) ,已知 m >0,若 myA ? 2 yB 的最大值为 3,则 m = 3
▲ .

12.设实数 x, y 满足 x ? 2 xy ?1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值是

? ) 13. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 an ? 4? (
则实数 p 的取值范围是 ▲ .

1 2

n ?1

, 若对任意 n ? N * , 都有 1 ? p(Sn ? 4n) ? 3 ,

14.已知 A(0,1) ,曲线 C : y ? log a x 恒过点 B ,若 P 是曲线 C 上的动点,且 AB AP 的最小值为 2,则 a = ▲ .

二.解答题(90 分)

15. (14 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [ , ] 时,求函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x) 的值域.

?
2

) 部分图象如图所示.

1 5 2 2

16. (14 分)在三棱锥 P ? ABC 中, D 为 AB 的中点. (1)与 BC 平行的平面 PDE 交 AC 于点 E ,判断点 E 在 AC 上的位置并说明理由如下: (2)若 PA ? PB ,且 ?PCD 为锐角三角形,又平面 PCD ? 平面 ABC ,求证: AB ? PC .

P

A D B

C

17. (15 分)如图, A, B, C 是椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 是椭圆的右顶 a 2 b2

点, BC 过椭圆 M 的中心,且满足 AC ? BC , BC ? 2 AC . (1)求椭圆的离心率; (2)若 y 轴被 ABC 的外接圆所截得弦长为 9,求椭圆方程.

y B A

O
C

x

18. (15 分)如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30?方向的两条街道,某公园 P 位于商

tan ? ?3 3 ) 业中心北偏东 ? 角( 0<? < , ,且与商业中心 O 的距离为 21 公里处,现要经过公 2
园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A, B 两处. (1)当 AB 沿正北方向时,试求商业中心到 A, B 两处的距离和; (2)若要使商业中心 O 到 A, B 两处的距离和最短,请确定 A, B 的最佳位置.

?

19. (16 分) 已知数列{ an }中,a1 ? 1, a2 ? a , 且 an?1 ? k (an ? an?2 ) 对任意正整数都成立, 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (1)若 k ?

1 ,且 S2015 ? 2015a ,求 a; 2

(2)是否存在实数 k ,使数列 ?an ? 是公比不为 1 的等比数列,且任意相邻三项 am , am?1 , am? 2 按某 顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有 k 值,若不存在,请说明理由; (3)若 k ? ?

1 , 求Sn . 2

20. (16 分)已知函数 f ( x) ? ex , g ( x) ? ax2 ? bx ? c . (1) 若 f ( x ) 的图象与 g ( x) 的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上, 且在该点处两条曲线的切 线互相垂直,求 b 和 c 的值; (2)若 a ? c ? 1, b ? 0 ,试比较 f ( x ) 与 g ( x) 的大小,并说明理由; (3)若 b ? c ? 0 ,证明:对任意给定的正数 a ,总存在正数 m ,使得当 x ? (m, ??) 时, 恒有 f ( x ) > g ( x) 成立.

数 学 试 题(附加题)
(考试时间:30 分钟 总分:40 分)
     0? ?1 ? 21.A. (本小题满分 10 分,矩阵与变换)在平面直角坐标系 xoy 中,设曲线 C1 在矩阵 A = 1? ? 0    ? ? 2?

x2 ? y 2 ? 1,求曲线 C1 的方程。 对应的变换作用下得到曲线 C2 : 4

B. (本小题满分 10 分,坐标系与参数方程选讲) 已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

)??

2 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建 2
,求曲线 C1 与曲线 C2 交点的直角坐标。

立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? cos ?
2 ? y ? sin ?

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算

步骤. 22.((本小题满分 10 分)射击测试有两种方案,方案 1:先在甲靶射击一次,以后都在乙靶射击;方 案 2:始终在乙靶射击,某射手命中甲靶的概率为

2 3 ,命中一次得 3 分;命中乙靶的概率为 ,命 3 4

中一次得 2 分,若没有命中则得 0 分,用随机变量 ? 表示该射手一次测试累计得分,如果 ? 的值不 低于 3 分就认为通过测试,立即停止射击;否则继续射击,但一次测试最多打靶 3 次,每次射击的 结果相互独立。 (1)如果该射手选择方案 1,求其测试结束后所得部分 ? 的分布列和数学期望 E ? ; (2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大?请说明理由。

23.((本小题满分 10 分) 对于给定的大于 1 的正整数 n,设 x ? a0 ? a1n ? a2n ?
2

? ann n ,其中

ai ? { 0,1, 2,
(1)求 A2 (2)设 An ?

, n ? 1}, i ? 1, 2,

, n ? 1, n ,且 an ? 0 ,记满足条件的所有 x 的和为 A n 。

n n (n ? 1) f ( n) ; ,求 f(n) 2

扬州市 2014—2015 学年度第一学期期末调研测试试题 高 三 数 学 参 考 答 案 第一部分
1.

?0?
2

2. ?

1 2

2 3. ?x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0

4.

1 3
10.

5. 15

6.

7. -2

1 8. 7
12.

x2 y 2 ? ?1 9. 4 12
5 ?1 2
13. [2,3]

?1? ?2, ? ?? ? ??,

11.

6 ?1

14. e

14.解:点 A(0,1) , B(1, 0) ,设 P( x,loga x) ,则 AB ? AP ? ?1, ?1? ? ? x, log a x ? 1? ? x ? log a x ? 1 . 依题 f ( x ) ? x ? loga x ? 1 在 (0, ??) 上有最小值 2 且 f (1) ? 2 ,故 x ? 1 是 f ( x ) 的极值点,即最小 值点.

f '( x) ? 1 ?

1 x ln a ? 1 ? , 若 0 ? a ? 1 ,f '( x) ? 0 ,f ( x ) 单调增, 在 (0, ??) 无最小值; 故 a ? 1, x ln a x ln a

设 f '( x) ? 0 ,则 x ? loga e ,当 x ? (0,log a e ) 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? (loga e, ??) 时, f '( x) ? 0 ,

从而当且仅当 x ? log a e 时, f ( x ) 取最小值,所以 loga e ? 1 , a ? e . 15⑴由图, A ? 2,

? T 2 1 ? ? ? ? (? ) ? 1 ,得 T ? 4 , ? ? ,则 f ( x) ? 2sin( x ? ) , ??3 分 2 4 3 3 2 6 2 ? 2 ? ? ? 由 f ( ) ? 2sin( ? ? ? ) ? 2 ,得 sin( ? ? ) ? 1 ,所以 ? ? ? 2k? ? ( k ? Z ) , 3 2 3 3 3 2
又0 ?? ?

?

2

,得 ? ?

?

6

,所以 f ( x) ? 2sin(

?

⑵ y ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2sin(

x ? ) ? 2 cos( x ? ) ? 2 2 sin( x ? ) , ??10 分 2 6 2 6 2 12 1 5 ? ? ? 7 ? 1 ? ? ? x? ) ? 1 ,即 ? 2 ? f ( x 因为 x ? [ , ] ,故 ? x ? ,则 ? ? sin( ) ?2 2 , 2 2 6 2 12 6 2 2 12
所以函数 y ? f ( x ? 1) ? f ( x) 的值域为 [? 2, 2 2] . ??14 分

?

?

?

x? ); 2 6

?

??7 分

?

?

?

P

16⑴解: E 为 AC 中点.理由如下: 平面 PDE 交 AC 于 E ,即平面 PDE

平面 ABC ? DE , ??4 分 ??7 分

而 BC // 平面 PDE , BC ? 平面 ABC ,所以 BC // DE , 在 ?ABC 中,因为 D 为 AB 的中点,所以 E 为 AC 中点; ⑵证:因为 PA ? PB , D 为 AB 的中点,所以 AB ? PD , 因为平面 PCD ? 平面 ABC ,平面 PCD 平面 ABC ? CD ,

A

E

C
B

在锐角 ?PCD 所在平面内作 PO ? CD 于 O ,则 PO ? 平面 ABC ,?10 分 因为 AB ? 平面 ABC ,所以 PO ? AB 又 PO

D P

PD ? P , PO, PD ? 平面 PCD ,则 AB ? 平面 PCD ,
A ??14 分

又 PC ? 平面 PCD ,所以 AB ? PC . 17. 解⑴因为 BC 过椭圆 M 的中心,所以 BC ? 2OC ? 2OB ,

C
D

O
B

又 AC ? BC, BC ? 2 AC , 所 以 ?OAC 是 以 角 C 为 直 角 的 等 腰 直 角 三 角 形, ??3 分

a a ( ) 2 (? ) 2 a a a a 10 则 A(a, 0), C ( , ? ), B(? , ), AB ? a ,所以 22 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? 3b2 , 2 2 2 2 2 a b2
所以 c ? 2b , e ?
2 2

6 ; 3
a a 4 4

??7 分

⑵ ?ABC 的外接圆圆心为 AB 中点 P ( , ) ,半径为 则

10 a, 4
为 :

?ABC 的 外 接 圆 a 2 a 2 5 2 (x ? ) ? ( y ? ) ? a ??10 分 4 4 8 5a a 5a a ? (? ) ? 9 ,得 a ? 6 , 令x ? 0, y ? 或 y ? ? ,所以 4 4 4 4

(也可以由垂径定理得 (

10 2 a 2 9 a) ? ( ) ? 得 a ? 6 ) 4 4 2
??15 分

所以所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 36 12

y

18⑴以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立坐标系.设 P(m, n) ,

7 3 21 ∵ 0 ? ? ? , tan ? ? 3 3 ∴ cos ? ? , sin ? ? , 2 14 14
9 3 则 m ? OP ? sin ? ? , n ? OP ? cos ? ? , 2 2
2

?

B

P O A x

??4 分

依题意,AB⊥OA,则 OA= 9 ,OB=2OA=9,商业中心到 A、B 两处的距离和为 13.5km. ⑵ 方法 1:当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB: y ? 3 ? k ( x ? 9 ) ,① 2 2 令 y ? 0 ,得 xA ? ? 3 ? 9 ;由题意,直线 OB 的方程为 y ? 3x ,② 2k 2 解①②联立的方程组,得 xB ?

9k ? 3 9k ? 3 ,∴ 2 2 , OB ? xB ? yB ? 2 xB ? k? 3 2(k ? 3)
??

∴ y ? OA ? OB ? ? 11 分

3 9 9k ? 3 , 由 xA ? 0 , 得k ? 3, 或k ? 0. xB ? 0 , ? ? 2k 2 k ? 3

y' ?

?8 3 (k ? 3)
2

?

3 ? 3(3k ? 3)(5k ? 3) 3 ,令 y ' ? 0 ,得 k ? ? , ? 2 2 2k 2 3 2k (k ? 3)

3 当 k ? ? 3 时, y ' ? 0 , y 是减函数;当 ? ? k ? 0 时, y ' ? 0 , y 是增函数, 3 3
∴当 k ? ? 3 时,y 有极小值为 9km; 当k ?
3

结合⑴知 y ? 13.5 km. 3 时,y ' ? 0 ,y 是减函数,

综上所述,商业中心到 A、B 两处的距离和最短为 9km,此时 OA=6km,OB=3km, 方法 2:如图,过 P 作 PM//OA 交 OB 于 M,PN//OB 交 OA 于 N,设∠BAO= ? , △OPN 中

PN ON OP ,得 PN=1,ON=4=PM, ? ? sin(90 ? ? ) sin(? ? 30 ) sin120?
北 M O

B

PN NA sin(120? ? ? ) △PNA 中∠NPA=120°- ? ∴ 得 NA ? ? sin ? sin ? sin(120? ? ? )

P N A

同理在△PMB 中,

BM PM 4sin ? ,得 MB ? , ? ? sin ? sin(120 ? ? ) sin(120 ? ? ?)
??13 分

y ? OA ? OB ?

s i n ( 1 ?2? 0? ) 4 ?s i n ? ? 1 ? 4? 2 4 ? ? 5 , 9 ? sin ? s i n ( 1 2? 0? )

当且仅当

3 sin(120? ? ? ) 4sin ? 即 sin(120? ? ? ) ? 2sin ? 即 tan ? ? 时取等号. ? ? 3 sin ? sin(120 ? ? )
9 4 ? 4, 0) , 2 ,得 A( ? 2m ? 1 3 m? 9 3m ? 2 2 y? x? 3 2

方法 3:若设点 B(m, 3m) ,则 AB:

∴ OA ? OB ? 2m ?

4 4 ? 4 ? 2m ? 1 ? 1 ? ?4?9, 2m ? 1 2m ? 1

??13 分

当且仅当 2m ? 1 ?

4 3 即 m ? 时取等号. 2m ? 1 2

2 1 ? , 方法 4:设 A( n, 0) ,AB: y ? 0 ? x ? n ,得 xB ? n?4 2 9 3 ?n ?0 2 2
OA ? OB ? n ? 2 xB ? n ? 4 ? 4 ? 4 4 ? 1 ? (n ? 4) ? ?5 ? 9, n?4 n?4
??13 分

当且仅当 n ? 4 ? 答 : A 置. 19 ⑴ k ? 列,

4 即 n ? 6 时取等号. n?4
离 商 业 中 心 3km 为 最 佳 位

选 地 址 离 商 业 中 心 6km , B ??15 分

1 1 时 , an ?1 ? (an ? an ? 2 ) , an?2 ? an?1 ? an?1 ? an , 所 以 数 列 {an } 是 等 差 数 2 2
??1 分

此 时 首 项 a1 ? 1 , 公 差 d ? a2 ? a1 ? a ? 1 , 数 列 {an } 的 前 n 项 和 是

1 Sn ? n ? n(n ? 1)(a ? 1) , ??3 分 2
故 2015a ? 2015 ?

1 1 ? 2015 ? 2014(a ? 1) ,即 a ? 1 ? ? 2014(a ? 1) ,得 a ? 1 ;??4 分 2 2

(没有过程,直接写 a ? 1 不给分) ⑵ 设 数 列 {an } 是 等 比 数 列 , 则 它 的 公 比 q ?

a2 ? a , 所 以 am ? am?1 , am?1 ? am , a1

am?2 ? a m?1 , ??6 分
①若 am?1 为等差中项,则 2am?1 ? am ? am?2 ,即 2a ? a
m m?1

? a m?1 ,解得: a ? 1 ,不合题意;

②若 am 为等差中项,则 2am ? am?1 ? am?2 ,即 2a 解得 a ? ?2 (舍 1) ;k ?

m?1

? a m ? a m?1 ,化简得: a 2 ? a ? 2 ? 0 ,

am?1 am a 2 ? m?1 m1? ? 2 ? ? ; am ? am?2 a ? a 1? a 5
m?1

③若 am?2 为等差中项,则 2am?2 ? am?1 ? am ,即 2a 解得 a ? ?

? a m ? a m?1 ,化简得: 2a 2 ? a ? 1 ? 0 ,
??9 分

1 am?1 am a 2 ;k ? ? m?1 m?1 ? ?? ; 2 2 am ? am?2 a ? a 1? a 5

综上可得,满足要求的实数 k 有且仅有一个, k ? ? ⑶k ? ?

2 ; 5

??10 分

1 1 则 an ?1 ? ? (an ? an ? 2 ) , 2 2
??12 分

an?2 ? an?1 ? ?(an?1 ? an ) , an?3 ? an?2 ? ?(an?2 ? an?1 ) ? an?1 ? an ,
当 n 是偶数时,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?
?

? an?1 ? an ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

? (an?1 ? an )

n n (a1 ? a2 ) ? (a ? 1) , 2 2

当 n 是奇数时,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?
? a1 ?
式,

? an?1 ? an ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ?

? (an?1 ? an )

n ?1 n ?1 n ?1 (a2 ? a3 ) ? a1 ? [?(a1 ? a2 )] ? 1 ? ( a ? 1) , n ? 1 也 适 合 上 2 2 2
??15 分

? 1 ? 2 (a ? 1), n是奇数 综上可得, Sn ? ? . n是偶数 ? n (a ? 1),
2
20.

n ?1

??16 分

x ⑴解: f (0) ? 1 , f '( x) ? e , f '(0) ? 1 , g (0) ? c , g '( x) ? 2ax ? b , g '(0) ? b ,

??2

分 依题意: ?

? f (0) ? g (0) ? c ? 1, ,所以 ? ; ? f '(0) g '(0) ? ?1 ? b ? ?1

??4 分

2 ⑵解: a ? c ? 1 , b ? 0 时, g ( x) ? x ? 1 ,

??5 分

① x ? 0 时, f (0) ? 1 , g (0) ? 1 ,即 f ( x) ? g ( x) ② x ? 0 时, f ( x) ? 1 , g ( x) ? 1 ,即 f ( x) ? g ( x) ③ x ? 0 时,令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ? x ?1 ,则 h '( x) ? e ? 2x .
x 2 x

设 k ( x) ? h '( x)=e ? 2 x ,则 k '( x)=e ? 2 ,
x x

当 x ? ln 2 时, k '( x) ? 0, k ( x) 单调递减;当 x ? ln 2 时, k '( x) ? 0, k ( x) 单调递增. 所以当 x ? ln 2 时, k ( x) 取得极小值, 且极小值为 k (ln 2) ? e
x ln 2

? 2ln 2 ? 2 ? ln 4 ? 0

即 k ( x) ? h '( x)=e ? 2 x ? 0 恒成立,故 h( x) 在 R 上单调递增,又 h(0) ? 0 , 因此,当 x ? 0 时, h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x) ? g( x) . 综 上 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 0 时 , ??9 分

f ( x) ? g ( x) ; 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? g( x) .


??10 分

证法一:①若 0 ? a ? 1 ,由⑵知,当 x ? 0 时, e ? x ? 1 .即 e ? x ? ax ,
x 2 x 2 2

? ?? ,恒有 e ? ax . 所以, 0 ? a ? 1 时,取 m ? 0 ,即有当 x ? ? m,
x 2

②若 a ? 1 , f ( x) ? g( x) 即 e ? ax ,等价于 x ? ln(ax ) 即 x ? 2 ln x ? ln a
x 2

2

令 t ( x) ? x ? 2ln x ? ln a ,则 t '( x) ? 1 ? 调递增.

2 x?2 ? .当 x ? 2 时, t '( x) ? 0, t ( x) 在 (2, ??) 内单 x x

取 x0 ? ae2 ,则 x0 ? e2 ? 2 ,所以 t ( x) 在 ( x0 , ??) 内单调递增. 又 t ( x0 ) ? e2a ? 2ln e2a ? ln a ? e2a ? 4 ? 3ln a ? 7a ? 4 ? 3ln a ? 4(a ? 1) ? 3(a ? ln a) ? 0

? ?? 时,恒有 即存在 m ? ae ,当 x ? ? m,
2

f ( x) ? g ( x) .

??15 分

? ?? ,恒有 综上,对任意给定的正数 a ,总存在正数 m ,使得当 x ? ? m,

f ( x) ? g ( x) .

??16 分

证法二:设 h( x) ?

ex e x ( x ? 2) h '( x ) ? ,则 , x2 x3

当 x ? (0, 2) 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调减,当 x ? (2, ??) 时, h '( x) ? 0 , h( x) 单调增, 故 h( x) 在 (0, ?? ) 上有最小值, h(2) ?

e2 , 4

??12 分

e2 ①若 a ? ,则 h( x) ? 2 在 (0, ?? ) 上恒成立, 4
即当 a ?

e2 时,存在 m ? 0 ,使当 x ? (m, ??) 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ; 4

②若 a ?

e2 ,存在 m ? 2 ,使当 x ? (m, ??) 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ; 4 e2 ,同证明一的②, 4
??15 分

③若 a ?

综 上 可 得 , 对 任 意 给 定 的 正 数 a , 总 存 在 m , 当 x ? (m, ??) 时 , 恒 有

f ( x)?

g( . x)

??16 分

第二部分(加试部分)
21. A.设 P( x, y ) 是曲线 C1 上任意一点,点 P( x, y ) 在矩阵 A 对应的变换下变为点 P?( x?, y?)

?1??0 ? ? x? ? x ? x? ? ? ?x? ? ? 则有 ? ? ? ,即 ? 1 1 ? ? y? ? y ? y?? ?0?? ? ? y ? ? ? 2? ? 2

??5 分

x2 ? y 2 ? 1 上, 又因为点 P?( x?, y?) 曲线 C2 : 4


( x?)2 ( x) 2 y ? ( y?) 2 ? 1 ,从而 ? ( )2 ? 1 4 4 2
2 2

所以曲线 C1 的方程是 x ? y ? 4 . B.由 ? cos(? ?

??10 分

?
4

)??

2 ,得曲线 C1 的直角坐标系的方程为 2
??3 分

x ? y ?1 ? 0 ,
由?

? x ? cos ?
2 ? y ? sin ?

,得曲线 C2 的普通方程为 ??7 分
2

x2 ? y ? 1(?1 ? x ? 1) ,
由?

?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ? 1
2

,得 x ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 (舍去)或 x ? ?1 ,

所以曲线 C1 与曲线 C2 交点的直角坐标为 (?1, 0) .

??10 分

22.在甲靶射击命中记作 A ,不中记作 A ;在乙靶射击命中记作 B ,不中记作 B , 其中 P ( A) ?

2 2 1 3 3 1 , P( A) ? 1 ? ? , P( B) ? , P( B) ? 1 ? ? 3 3 3 4 4 4

??2 分

⑴ ? 的所有可能取值为 0, 2,3, 4 ,则

1 1 1 1 P(? ? 0) ? P( ABB) ? P( A) P( B) P( B) ? ? ? ? , 3 4 4 48
P(? ? 2) ? P( ABB ) ? P( ABB ) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) P ( B )

1 3 1 1 1 3 6 ? ? ? ? ? ? ? 3 4 4 3 4 4 48 ,
P(? ? 3) ? P( A) ? 2 3,

1 3 3 9 . P(? ? 4) ? P( ABB) ? P( A) P( B) P( B) ? ? ? ? 3 4 4 48

? 的分布列为:

?
P

0

2

3

4

1 48 1 6 2 9 E? ? 0 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ?3 48 48 3 48
??7 分

6 48

2 3


9 48

⑵射手选择方案 1 通过测试的概率为 P 1 ,选择方案 2 通过测试的概率为 P 2 ,

2 9 31 P ? ? ; 1 ? P (? ? 3) ? 3 48 48 1 3 3 3 1 3 3 3 27 P2 ? P(? ? 3) ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 4 4 4 4 4 4 4 4 32
因为 P2 ? P 1 ,所以应选择方案 2 通过测试的概率更大. ??10 分 ?9 分

23⑴当 n ? 2 时, x ? a0 ? 2a1 ? 4a2 , a0 ?{0,1} , a1 ?{0,1} , a2 ? 1 , 故满足条件的 x 共有 4 个, 分别为: x ? 0 ? 0 ? 4 , x ? 0 ? 2 ? 4 , x ? 1 ? 0 ? 4 , x ? 1 ? 2 ? 4 , 它们的和是 22 . ??4 分 ⑵由题意得, a0 , a1, a2 ,

, an?1 各有 n 种取法; an 有 n ? 1 种取法, , an?1 的不同取法共有 n ? n ?

由分步计数原理可得 a0 , a1, a2 ,
n

n ? (n ? 1) ? nn (n ? 1) ,
??6 分

即满足条件的 x 共有 n (n ? 1) 个, 当 a0 分别取 0,1, 2,

, n ? 1时, a1, a2 ,

, an?1 各有 n 种取法, an 有 n ? 1 种取法,
n n (n ? 1)2 ? n ? 1)n (n ? 1) ? ; 2
n ?1

故 An 中所有含 a0 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ?

同理, An 中所有含 a1 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ?

? n ? 1)nn ?1 (n ? 1) ? n ?

nn (n ? 1)2 ?n; 2

An 中所有含 a2 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ? An 中所有含 an ?1 项的和为 (0 ? 1 ? 2 ?
当 an 分别取 i ? 1, 2,

? n ? 1)n n ?1 (n ? 1) ? n 2 ?

n n (n ? 1)2 2 ? n ;?? 2 nn (n ? 1)2 n?1 ?n ; 2

? n ? 1)nn?1 (n ? 1) ? nn?1 ?

, n ? 1 时, a0 , a1 , a2 ,

, an?1 各有 n 种取法,
n n ?1 (n ? 1) n ?n ; 2

故 An 中所有含 an 项的和为 (1 ? 2 ?

? n ? 1)n n ? n n ?

所以 An ?

nn (n ? 1) 2 (1 ? n ? n 2 ? 2

? nn ?1 ) ?

n n?1 (n ? 1) n ?n ; 2

?

nn (n ? 1)2 nn ? 1 nn ?1 (n ? 1) n n n (n ? 1) n ?1 n ? ? ?n ? (n ? n ? 1) 2 n ?1 2 2
n ?1

故 f (n) ? n

? nn ? 1 .

??10 分


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