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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 任意角的三角函数第3课时学案 新人教A版必修4


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 任意角的三角函数第 3 课时学 案 新人教 A 版必修 4
【学习目标】 1.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 2.利用三角函数 线比较两个同名三角函数值的大小. 【重点难点】 三角函数线 比较两个同名三角函数值的大小 【学习内容】 问题:角是一个图形概念,也是一个数量概念(弧度数).作为角的函数——三角函数是一 个数量概念(比值) ,但它是否也是一个图形概念呢?换句话说,能否用几何方式来表示三 角函数呢? 【新授】

y a角的终边 P T

【边描述 单位长度 叫做单位 定就是 1

O

M

A

x

边画】以坐标原点为圆 心,以 1 为半径画一个圆,这个圆就 圆(注意:这个单位长度不一 厘米或 1 米) .当角 ? 为第一象

限角时,则其终边与单位圆必有一个交点 P ( x, y ) ,过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M , 请你观察: 根据三角函数的定义: | MP |?| y |?| sin ? | ; | OM |?| x |?| cos ? | . 随着 ? 在第一象限内转动, MP 、 OM 是否也跟着变化? 思考: (1)为了去掉上述 等式中的绝对值符号,能否给线段 MP 、 OM 规定一个适当的方向,使它们的 取值与点 P 的坐标一致? (2)你能借助单位圆,找到 一条如 MP 、 OM 一样的线段来表示角 ? 的正切值吗? 我们知道, 直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 ? 的终边不在坐 标轴上时, 以 O 为始点、 M 为终点,规定:当线段 OM 与 x 轴同向时, OM 的方向为正向,且有 正
1

值 x ;当线段 OM 与 x 轴反向时, OM 的方向为负向,且有负值 x ;其中 x 为 P 点的横坐 标.这样,无论那种情况都有

OM ? x ? cos ? .
同理,当角 ? 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点,规定:当线段 MP 与 y 轴 同向时, MP 的方向为正向,且有正值 y ;当线段 MP 与 y 轴反向时, MP 的方向为负向, 且有负值 y ;其中 y 为 P 点的纵坐标.这样,无论那种情况都有

MP ? y ? sin ? .像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段,叫做有向线段(dire ct line
segment). 如何用有向线段来表示角 ? 的正切呢? 如上图,过点 A(1,0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于 y 轴,设它与 ? 的终边交于 点 T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段 OA、AT ,我们有

tan ? ? AT ?

y . x

我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦 线、余 弦线、正切线,统称为三角函数线. 探究: (1)当角 ? 的终边在第二、第三、第四象限时,你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正 切线吗? (2)当 ? 的终边与 x 轴或 y 轴重合时,又是怎样的情形呢?

由四个图看出:

2

当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x ? ? y ? MP MP , cos ? ? ? ? x ?OM OM , r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT . x OM OA

我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM 、AT ,分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线、 正切线,统称为三角函数线. 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1) 解:

? 5? 2? ; (2) ; (3) ? ; 6 3 3

(4) ?

13? . 6

例 2 已知

?
4

?? ?

?
2

,试比较 sin ? , cos? , tan? 的大小.

例 3 利用三角函数线比较下列各组数的大小: (1) sin 解:

2? 4? 2? 4? 与 sin ; (2)tan 与 tan . 3 5 3 5

例 4 在[0,2π ]上满足 sin ? ≥ 解:

1 的角 ? 的取值范围是 2

3

【课堂小结与反思】

【课后作业与练习】 1.利用余弦线比较 cos 64 ,cos 285 的大小; 2.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

? 2? 19? (1) 4 ; (2) 3 ; (3) 6 ;
3.如果 ?

?
(4)

?
6.


?
2

<?< 0 ,那么下列各式中正确的是(
B. D.

A. cos ? ? tan ? ? sin ? C. tan ? ? sin ? ? cos ?

sin ? ? cos ? ? tan ?
sin ?< tan ?< cos ?

4.分别根据下列条件,在[0,2π ]上写出角 ? 的取值范围: (1) cos? ?

3 3 ; (2) tan ? ? ?1 ; (3) sin ? ? ? . 2 2
B. 在 y 轴上 D. 在直线 y=-x 上

5.已知角α 的正弦线是单位长度的有向线段,则 角α 的终边( ) A.在 x 轴上 C. 在直线 y=x 上

6.若 sin ? =0,则角 ? 的集合为 7.利用三角函数线比较下列各组数的大小:

2? 4? 4? 5? 与 cos ; (2)tan 与 tan . 3 5 3 3 5? ? (3) cos 与 sin 6 4
(1) cos

4


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