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2011年高考新课标Ⅱ理科数学试题及答案(精校版,解析版,word版)


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

理 科 数 学
第Ⅰ卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.) 1.复数

2?i 的共轭复数是( 1 ? 2i

) C. ? i D. i )
开始 输入 N k=1, p=1

3 A. ? i 5

3 B. i 5

(0, +?) 2.下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是(
A. y ? x3 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x2 ? 1 D. y ? 2?|x|

3.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( ) A.120 B.720 C.1440 D.5040

p=p· k k<N 否 输出 p 结束

k=k+1 是

4.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的 可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A. )

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

5. 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y=2x 上, 则 cos2θ=( ) A. ? 4 5 B. ? 3 5 C. 3 5 D. 4 5

6.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视 图可以为( )

A.

B.

C.

D.

7. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A, B 两点, |AB| 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为(
2011 年高考理科数学试题


第 1 页【共 9 页】

A. 2

B. 3

C.2

D.3 )

a 1 8. ( x ? )(2 x ? )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( x x
A.- 40 B.- 20 C.20 D.40 )

9.由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为( A.

10 3

B.4

C.

16 3

D.6 )

10.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题中真命题是(

? 2? ? P 1 : a +b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
A. P1,P4 B.P1,P3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ?
?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?
C.P2,P3 D.P2,P4

11 . 设 函 数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且

f (? x)? f ( x,则( )



A. f ( x ) 在 (0, ) 单调递减 2 C. f ( x ) 在 (0, ) 单调递增 2 12.函数 y ? 于( A.2

?

? 3? B. f ( x ) 在 ( , ) 单调递减 4 4
? 3? D. f ( x ) 在 ( , ) 单调递增 4 4

?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x,(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等 x ?1
) B.4 C.6 D.8

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生必须做 答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分.)

?3 ? 2 x ? y ? 9 13.若变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9

.

14. 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 C 的中心为原点, 焦点 F1, F2 在 x 轴上, 离心率为 2 . 2
2011 年高考理科数学试题 第 2 页【共 9 页】

过 F1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且△ABF2 的周长为 16, 那么 C 的方程为

.

15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O-ABCD 的体积为 . .

16.在△ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

17. (满分 12 分)等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? L L ? log3 an ,求数列 { 1 } 的前 n 项和. bn 18. (满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° , AB=2AD , PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19. (满分 12 分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好, 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到 下面试验结果: 指标值分组 频数 A 配方的频数分布表 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表

[90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 指标值分组 4 12 42 32 10 频数 (Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2 , (t < 94) ? 从用 B 配方生产的产品中任取一件, 其利润记为 X (单位: 元) , y ? ? 2 , (94 ? t < 102) , ? 4 , (t ? 102) ?
求 X 的分布列及数学期望 (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的 . 质量指标值落入相应组的概率) 20. (满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0, -1),B 点在直线 y =-3 上,M 点 uuu r uu u r uuu r uur uuu r uur 满足 MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程;
2011 年高考理科数学试题 第 3 页【共 9 页】

(Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值 . 21. (满分 12 分)已知函数 f ( x) ?
x ? 2y ? 3 ? 0 .

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ?1 x

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围. x ?1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,按所做的第一题计分,做答 时请写清题号. 22. (满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与 △ABC 的顶点重合. 已知 AE 的长为 m,AC 的长为 n,AD, AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根. (Ⅰ)证明:C、B、D、E 四点共圆; (Ⅱ)若∠A=90?,且 m=4,n=6,求 C、B、D、E 所在圆的半径. 23. (满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

uu u v uuuv C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2.
(Ⅰ)求 C2 的方程;

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,M 是 ? y ? 2 ? 2sin ?

(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 24. (满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1} ,求 a 的值.

? 与 C1 的异于极 3

2011 年高考理科数学试题

第 4 页【共 9 页】

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

理 科 数 学(参考答案)
一、选择题: 1.【答案 C】 解析:

2 ? i (2 ? i )(1 ? 2i ) = ? i, 共轭复数为 C. 5 1 ? 2i

2. 【答案 B】 解析:由图像知选 B. 3. 【答案 B】 解析:框图表示 an ? n ? an?1 ,且 a1 ? 1 所求 a6 ? 720,故选 B. 4. 【答案 A】 解析:每个同学参加的情形都有 3 种,故两个同学参加一组的情形有 9 种,而参加同 一组的情形只有 3 种,所求的概率为 P= 5. 【答案 B】 解析:由题知 tan ? ? 2 , cos 2? ? 6. 【答案 D】 解析:条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底 面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的. 故选 D. 7. 【答案 B】 解析:通径|AB|= 8. 【答案 D】

3 1 ? ,故选 A. 9 3

cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ? ? ,故选 B. 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5

2b2 2 2 2 2 2 ? 2a 得 b ? 2a ? a ? c ? 2a ,故选 B. a

a 1 解析:由 ( x ? )(2 x ? )5 的展开式中各项系数的和为 2,得 a=1(令 x=1). 故原式 x x
= ( x ? )(2 x ? )5 ,所以通项 Tr ?1 ? C5r (2 x)5?2r (? x ?1 )r ? C5r (?1)r 25?r x5?2r ,由 5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80,由 5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项 为 40,故选 D . 9. 【答案 C】
3 2 2 1 16 4 解析:用定积分求解 S ? ? ( x ? x ? 2)dx ? ( x ? x 2 ? 2 x ) |0 ,故选 C. ? 0 3 2 3 4

1 x

1 x

10. 【答案 A】 解析:由 | a ? b |? a 2 ? b2 ? 2ab cos? ? 2 ? 2cos ? ? 1 得 cos ? ? ?
2011 年高考理科数学试题 第 5 页【共 9 页】

2? 1 ? ? ? [0, ) . 3 2

由 | a ? b |? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? 2 ? 2cos ? ? 1 得 cos ? ? 11. 【答案 A】 解析:? f ( x ) ? 2 sin(? x ? ? ?

? 1 ? ? ? ( , ? ] ,故选 A. 3 2

?
4

)(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小正周期为 π,所以 ? ? 2 ,

又 f (? x) ? f ( x) , ∴ f (x)为偶函数, ?? = 故选 A. 12. 【答案 D】 解析: y ?

? ? +k? , k ? Z , ? f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x , 4 2

1 的对称中心是(1,0)也是 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的中心, ?2 ? x ? 4 x ?1

他们的图像在 x=1 的左侧有 4 个交点,则 x=1 右侧必有 4 个交点. 不妨把他们的横坐 标由小到大设为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,则 x1 ? x8 ? x2 ? x7 ? x3 ? x6 ? x4 ? x5 ? 2 , 故选 D . 二、填空题: 13. 【答案-6】 解析:画出可行域如图,当直线 z ? x ? 2 y 过 ? (4,-5)时, zmin ? ?6 . 14. 【答案?

?2 x ? y ? 3 的交点 ?x ? y ? 9

x2 y2 ? ? 1】 16 8

?c 2 x2 y2 ? 解析:由 ? 得 a =4 , c = ,从而 b =8 , 2 2 ? ? ? 1. ?a 2 16 8 ?4a ? 16 ?
15.【答案 8 3 】 解 析 : 设 ABCD 所 在 的 截 面 圆 的 圆 心 为 M , 则 AM= OM= 4 2 ? (2 3 ) 2 ? 2 , VO ? ABCD ? 16.【答案 2 7 】 解析: A ? C ? 1200 ? C ? 1200 ? A , A ? (0,1200 ) ,

1 (2 3) 2 ? 62 ? 2 3 , 2

1 ?6?2 3 ?2 ? 8 3 . 3

BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A , sin A sin B

AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(1200 ? A) ? 3 cos A ? sin A ,? AB ? 2 BC ? sin C sin B

3cos A ? 5sin A ? 28 sin( A ? ? ) ? 2 7 sin( A ? ? ) ,故最大值是 2 7 .
2011 年高考理科数学试题 第 6 页【共 9 页】

三、解答题:
2 3 2 17.解析: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q 2 ? ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4

1 . 由条件可知 9

a>0,故 q ?

1 1 . 由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? . 故数列{an}的通项式为 3 3

an ?

1 . 3n

( Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ?? ? log3 an = ? (1 ? 2 ? ?? ? n ) ? ?

n( n ? 1) ,故 2

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n , ?? ? ?2( ? ) , ? ? ? ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 bn n(n ? 1) n n ?1
所以数列 {

1 2n . } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

18.解析: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?,AB ? 2 AD ,由余弦定 理得 BD ? 3 AD , 从而 BD2+AD2= AB2, 故 BD ? AD, 又 PD ? 底面 ABCD, 可得 BD ? PD, 所以 BD ? 平面 PAD,故 PA ? BD. (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射 线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 , B(0,3,0) , C(?1, 3,0) , P(0,0,1) . AB ? (?1, 3,0) , PB ? (0, 3, ?1), uuu r uuu r ? ? ?? x ? 3 y ? 0 , n ? AB ? BC ? (?1,0,0) ,设平面 PAB 的法向量为 n=(x, y, z),则 ? uur ? 0 ,即 ? ? ?n ? PB ? 0 ? 3y ? z ? 0 ? uur ? m ? PB ? 0 ? 因此可取 n ? ( 3,1, 3) , 设平面 PBC 的法向量为 m, 则 ? uuu , 可取 m ? (0, ?1, ? 3) , r m ? BC ? 0 ? ?

A 0 1 , ) (

uu u r

uur

cos ? m, n ??

?4 2 7 2 7 ,故二面角 A-PB-C 的余弦值为 ? . ?? 7 7 2 7
22 ? 8 =0.3 ,所以 100

19.解析: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为

用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3 . 由试验结果知,用 B 配方生产的产 品中优质品的频率为 为 0.42 . (Ⅱ) 用 B 配方生产的 100 件产品中, 其质量指标值落入区间[90, 94), [94, 102), [102, 110] 的频率分别为 0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为
2011 年高考理科数学试题 第 7 页【共 9 页】

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值 100

X 2 4 -2 P 0.04 0.54 0.42 X 的数学期望值 E(X)=-2× 0.04+2× 0.54+4× 0.42=2.68 .

20 .解析:(Ⅰ)设 M(x, y) ,由已知得 B(x, -3) , A(0, -1). 所以 MA ? (? x, ?1? y ) ,

uuu r

uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r MB ? (0, ? 3 ? y) , AB ? ( x, ?2) . 再 由 题 意 可 知 ( MA ? MB ? MB) ? AB ? 0 , 即
1 2 x ?2. 4

(? x, ?4 ? 2 y ) ? ( x, ?2) ? 0 . 所以曲线 C 的方程式为 y ?
(Ⅱ)设 P(x0, y0)为曲线 C: y ? 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ?

1 1 2 x ? 2 上一点,因为 y ? 1 x ,所以 l 的斜率为 x0 , 2 4 2

1 x0 ( x ? x0 ) ,即 x0x ? 2y ? 2y 0 ?x 02? 0 . 则 O 点到 l 的 2 1 2 x0 ? 4 1 2 | 2 y0 ? x0 | 4 1 2 2 距离 d ? . 又 y0 ? x0 ? 2 ,所以 d ? 2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 2 4 x0 ?4 2 x0 ?4 x0 ?4
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

21.解析: (Ⅰ) f ?( x ) ?

?(

x ?1 ? ln x ) b 1 x ? 2 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过 2 ( x ? 1) x 2

? f (1) ? 1 ?b ? 1 ? ? 点 (1,1) ,故 ? 1 ,即 ? a 1 ,解得 a ? 1 , b ? 1 . f ?(1) ? ? ?b ? ? ? ? ? ?2 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ? 考虑函数 h( x ) ? 2ln x ? (i)设 k ? 0 ,由 h?( x ) ?

ln x 1 ln x k 1 (k ?1)( x 2 ?1) ? ,所以 f ( x) ? ( ? )? (2ln x ? ). x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x

(k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x (k ? 1)( x 2 ? 1) . ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x x2

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h?( x ) ? 0 . 而 h(1) ? 0 , x2 1 故当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 h( x ) ? 0 ;当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 1 ? x2 1 ln x k ln x k h( x ) ? 0 ,从而当 x>0,且 x ? 1 时, f ( x ) ? ? ? 0 ,即 f ( x ) ? ? . 2 x ?1 x x ?1 x 1? x
(ii)设 0<k<1. 由于当 x ? (1, 故当 x ? (1,

1 )时,(k-1)(x2 +1)+2x>0,故 h?(x)>0,而 h(1)=0, 1? k

1 1 )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾. 1? k 1? x2
第 8 页【共 9 页】

2011 年高考理科数学试题

(iii) 设 k ? 1. 此时 h?(x)>0, 而 h(1)=0, 故当 x ? (1, + ? )时, h(x)>0, 可得 与题设矛盾. 综上可得,k 的取值范围为(- ? ,0].

1 h(x)<0, 1? x2

AD AE , ? AC AB 又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,所以 C、B、D、E 四点 共圆. (Ⅱ)m=4,n=6,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 2, 12. 即 AD=2,AB=12,取 CE 的中点 G,DB 的中 点 F,分别过 G、F 作 AC、AB 的垂线,两垂线交 于点 H,连结 D、H,因为 C、B、D、E 四点共圆, 所以圆心为 H ,半径为 DH. 由于∠A=90 ?,故 GH∥AB,HF∥AC. 从而 HF=AG=5,DF=5,故半 径为 5 2 . ?x ? 2 cos ? ? x y ? 2 23. 解析: (I) 设 P(x, y), 则由条件知 M ( , ) . 由于 M 点在 C1 上, 所以 ? , 2 2 ? y ? 2 ? 2 sin ? ? ?2
22. 解析: (Ⅰ) 连结 DE, 根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD× AB=mn=AE× AC, 即 即?

? x ? 4cos ? ? x ? 4cos ? ,从而 C2 的参数方程为 ? ( ? 为参数). ? y ? 4 ? 4sin ? ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? . 射 线? ?

?
3

与 C1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin

?
3

,射线 ? ?

?
3

与 C2 的交点 B 的极径为

? 2 ? 8sin

?
3

. 所以 | AB |?| ?2 ? ?1 |? 2 3 .

24.解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 . 由此可得 x ? 3 或 x ? ?1 . 故 不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} . ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 | x ? a | ?3x ? 0 ,此 不等式化 为不 等式组 ?

?x ? a 或 ? x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ,即 ? ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ?x ? a ? ? 或 ? a ? a ,因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 x ? a ? ? ? ? ? ? 4 2
2

?x | x ? ?

a 2

? ,由题设可得 ? a ? ?1 ,故 a ? 2 .

2011 年高考理科数学试题

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