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广东省汕头市金山中学2015届高三第一学期期中考试数学(理)含答案


汕头市金山中学 2014-2015 学年度第一学期高三期中考试

理科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 40 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 M ? {x | A. (?1,??)

x ?1 1 ? 0} , N ? {x | 2 x ? } ,则 M x?2 2 B. [?1,2) C. (?1,2)

N =(

) D. [?1,2] )

2.已知 ? , ? 角的终边均在第一象限,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ”的( A.充分不必要条件 要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必

3.函数周期为 ? ,其图像的一条对称轴是 x ?

?
3

,则此函数的解析式可以是(



?? ? A. y ? sin ? 2 x ? ? 6? ?

?? ? B. y ? sin ? 2 x ? ? 6? ?

C. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?x ?? ? D. y ? sin ? 2 ? 6 ? 3? ? ?


4.设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 A. a ? 2b 5.方程 ln ? x ? 1? ? A. ? 0,1? B. a / / b

a b ? ? 0 成立的是( |a| |b|
1 3
D. a ? b ) D. ? 3, 4 ? )

C. a ? ? b

2 ? 0, ? x ? 0 ? 的根存在的大致区间是( x
B. ?1, 2 ?
?

C. ? 2, e ?

6.已知向量 a, b 的夹角为 45 ,且 a ? 1 , 2a ? b ? 10 ,则 b ? ( A. 2 B. 2 C. 2 2

D. 3 2

7.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ?1, g ? x ? ? kx ,若方程 f ? x ? ? g ? x ? 有两个不相等的实根,则 实数 k 的取值范围是( A. ? 0, ? )

? ?

1? 2?

B. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

C. ?1, 2 ?

D. ? 2, ???

8 . 设 向 量

a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) , 定 义 一 种 向 量 积 :

1 ? a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) . 已 知 向 量 m ? ( ,4) , n ? ( ,0) , 点 P 在 2 6
y ? cos x 的图象上运动,点 Q 在 y ? f ( x) 的图象上运动,且满足 OQ ? m ? OP ? n (其中

1

O 为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 在区间 [ A.2 B. 2 2

? ? , ] 上的最大值是( 6 3
C. 2 3

) D. 4

第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分) 二、填空题:(本大题共7小题,作答6小题,每小题 5 分,共 30 分.) (一)必做题(9~13 题) 9.函数 f ( x) ?

1 的定义域为 log 2 x ? 1




10.图中阴影部分的面积等于

11.已知函数 f ? x ? ? ?

? ?? 3a ? 1? x ? 4a, x ? 1 在 R 是单调函数 ,则实数 a 的取值范围 ..... ? ?log a x, x ? 1

第 10 题图





12. 如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 2 , 点 F 在边 CD BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, 上,若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是
2



13.已知函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 1? ? x ,在区间 ? 0,1? 内任取两个实数 p, q ,且 p ? q , 若不等式

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ? 1恒成立,则实数 a 的取值范围为 p?q

。 第 12 题图

(二)选做题(14、15 题,只能从中选做一题,两题都选只计算 14 题得分) 14. (几何证明选讲选做题)如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点,

PA ? 3, PB ? 1 ,则 ?PAB =



15. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为 极点、 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的极坐标为

? ?? ? x ? 1 ? 2 cos ? ? , 曲线 C 的参数方程为 ( ? 为参数), 则点 4 2 , ? ? ? 4? ? y ? 2 sin ? ? ?
M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为 。

第 14 题图

2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ? 列表并填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周期内的图象时,
7 3

x
?x ? ?
A sin(?x ? ? )

x1
0 0

1 3

x2
?
0

x3
2?

?
2

3? 2

3

? 3

0

(1)请写出上表的 x1 、 x2 、 x3 ,并直接写出函数的解析式; ( 2 )将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 3

g ( x) 的图象, P 、 Q 分别为函数 g ( x) 图象的最高点和最低
点(如图) ,求 ?OQP 的大小.

17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

第 16 题图

4? ) ? 2 cos 2 x. 3 3 , b ? c ? 2 ,求 a 的最 2

(1)求 f ( x) 的最大值,并写出使 f ( x) 取最大值时 x 的集合; (2)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f ( B ? C ) ? 小值。

18. (本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的

切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 ,并且 l1 与 l2 平行。 (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t ?

1 ,求 u ? x ln x, x ??1, e? 的取值范围及函数 y ? f ? u ? t ? 的最值。 2

19. (本小题满分 14 分)

3

2 ? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? n ? 4n ? 4, n ? N 。

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

?

?

?1, n ? 1 ? (2)数列 ?bn ? 中,令 bn ? ? a ? 5 , Tn ? b1 21 ? b2 22 ? b3 23 ???? ? bn 2n ,求 Tn ; n ,n ? 2 ? ? 2 (3)设各项均不为零的数列 ?cn ? 中,所有满足 ci ? ci ?1 ? 0 的正整数 i 的个数称为这个数列 ,求数列 ?cn ? 的变号数. ?cn ?的变号数。令 cn ? 1 ? a ( n 为正整数) an

20. (本小题满分 14 分)
2

如图,已知抛物线 C : y ? 2 px ? p ? 0? 的准线为 l ,焦点为 F ,圆 M 的圆心在 x 轴的正半 轴上,圆 M 与 y 轴相切,过原点 O 作倾斜角为 不同的两点 O, B ,且 AO ? BO ? 2 。 (1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ? PF 的最小值; (3)过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点分别为 S , T ,求证: 直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标. 第 20 题图

? 的直线 n ,交直线 l 于点 A ,交圆 M 于 3

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数. (1)求函数 y ? f ( x) 的图象在点 1 , f ?1? 处的切线方程; (2)若函数 y ? f ( x) 图象上的点都在第一象限,试求常数 a 的取值范围; (3)证明: ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f ' (? ) ?

?

?

f (e) ? f (1) . e ?1

4

汕头市金山中学 2014-2015 学年度第一学期高三期中考试

理科数学
一、选择题(40 分) 题号 答案 1 2 3 4

参考答案
5 6 7 8

C

D

A

C

B

D

B

D

二、填空题(30 分) (一)必做题(9~13 题) 9. ? 2, ??? ; 10.1 ; 11.[ , ) ;

1 1 7 3

12. 2 ;

13.?15, ???

(二)选做题(14、15 题,只能从中选做一题,两题都选只计算 14 题得分) 14. 30 ; 三、解答题(80 分) 16. (本小题满分 12 分) 15. 5 ? 2

x1 ? ? 解: (1)


2 4 10 x 2 ? ,x3 ? , ……………………………………………………………3 3 3 3

所以f ( x) ? 3sin( x ? ) ……………………………………………………………………… 2 3
…6 分 ( 2 ) 将

?

?

f ( x) 的 图 像 沿 x 轴 向 右 平 移

g ( x) ? 3 sin
因 为

?
2

2 个 单 位 得 到 函 数 3

x ……………………7 分
分 别 为 该 图 像 的 最 高 点 和 最 低 点 , 所 以

P

、 Q

P(1, 3), Q(3, ? 3) …………………………8 分 所 以 O ?2 ? P9 , ………………………………………………………………………………… 分 OQ ? 12, ………………………………………………………………………………………… …10 分 OQ 2 ? PQ 2 ? OP 2 3 ……………………………………………………………… ? cos? ? ? 2OQ ? QP 2 …11 分 所 以

??


?
6

……………………………………………………………………………………………12

5

法 2: 可以得?POx ? 60o , ?P ? 60o , ?QOx ? 30o 所以? =30o 法 3:利用数量积公式 cos ? ?

QP ? QO QP ? QO

?

(?2, 2 3) ? (?3, 3) 4 ? 12 ? 9 ? 3

?

3 , 所以? =30o 。 2

17. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? cos( 2 x ?

4? 4? 4? ) ? 2 cos 2 x ? (cos 2 x cos ? sin 2 x sin ) ? (1 ? cos 2 x) 3 3 3

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? cos(2 x ? ) ? 1 ………………………………………………… 2 2 3

…3 分

f ( x)











2 …………………………………………………………………………………4 分
要使 f ( x) 取最大值, cos( 2 x ? 故

?
3

) ? 1,2 x ?


?
3

? 2k? (k ? Z )
集 合 为

x

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? ……………………………………………………………6 分 6 ? ?
注:未写“ k ? Z ”扣 1 分;结果未写成集合形式扣 1 分.如果两者都不符合也扣 1 分. (2)由题意, f ( B ? C ) ? cos[ 2( B ? C ) ? 化简得

?
3

] ?1 ?

3 ? 1 ,即 cos( 2? ? 2 A ? ) ? . 2 3 2

1 ……………………………………………………………………………8 分 3 2 ? ? ? 5? ? ? ? 2 A ? ? (? , ) , 只有 2 A ? ? ,A ? . ………………………9 Q A ? ? 0,? ? , 3 3 3 3 3 3 cos( 2 A ? )?
分 在 ?ABC 中,由余弦定理,

?

3 b?c 2 ) ? 1 ,即 由 b ? c ? 2 知 bc ? ( 2 a 2 ? 1 ,……………………………………………………11 分 当 b ? c ? 1 时, a 取最小值 1 . ………………………………………………………………………12 分
注:不讨论角的范围扣 1 分.

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?

? (b ? c) 2 ? 3bc ………………………10 分

18. (本小题满分 14 分)
6

解: (1) y ? f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a,0) ,f '( x) ? 2 x ? a ……………………1 分 图 象 与 轴 的 交 点 y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) N( 2 , , x

0

)

g '( x ? 1) ?


1 x ?1

………………………3 分 意 可 得



kl1 ? kl2





2a ? a ?
?a ?1
…5 分 ∴

1 ? 1 ………………………………………………………4 分 2 ?1
, ………………………………………………………………………………………

f ( x) ? x2 ? x,
2



…………………………………………………………6 分 f (2) ? 2 ? 2 ? 2 u ? x ln x , u ' ? ln x ? 1 ? 0 , ……………………………………………7 (2) 当 x ??1, e? 时, 分 ∴

u ? x ln x



?1, e?











0 ? u ? e,

………………………………………………………8 分

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图 象 的 对 称 轴 u ?
上 …………………………10 分 由 增

1 ? 2t 2


, 抛 物 线 开 口 向

t?

1 2



u?

1 ? 2t ?0 2









?0, e?









………………………………………11 分 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………

ymin ? y |u?0 ? t 2 ? t
…12 分 …13 分 综 上

ymax ? e2 ? ? 2t ?1? e ? t 2 ? t
: 当

t?

ym ax ? e2 ? ? 2t ?1? e ? t 2 ? t …………………………14 分

1 2





ym ?

2

i

? t

n



t

19. (本小题满分 14 分) 解: (1) Sn ? n2 ? 4n ? 4 , ∴S1 ? 1 ………………………………………………………………1 分 又当 n ? 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 5 ………………………………………………………………3 分
所以

? ?1, n ? 1 an ? Sn ? Sn ?1 ? ? ……………………………………………………………………4 ? ?2n ? 5, n ? 2


?1, n ? 1 ? (2) ∵bn ? ? a ? 5 , ∴ bn ? n , ………………………………………………………5 n ,n ? 2 ? ? 2
7



Tn ? 1? 2+2 ? 22 +3? 23 +
…6 分

+n ? 2n …………………………………………………………… +(n-1) ? 2n +n ? 2n?1 ,∴

2Tn ? 1? 22 +2 ? 23 +3? 24 +
(3)解法一:由题设

Tn ? (n ?1)2n?1 ? 2 …………………9 分
?? 3, n ? 1 ? ……………………………………………………10 分 cn ? ? 4 1 ? , n ? 2 ? ? 2n ? 5 4 4 8 ∵n ? 3 时, c n ?1 ? c n ? ? ? ? 0, 2n ? 5 2n ? 3 ?2n ? 5??2n ? 3? ∴n ? 3 时,数列 ?cn ? 递
增…………………………………………………………………………12 分 ∵a 4 ? ?

1 4 ? 0 ,由 1 ? ? 0 ? n ? 5 ,可知 a4 ? a5 ? 0 ,即 n ? 3 时,有且只有1 个 3 2n ? 5

变号数; 又∵c1 ? ?3, c2 ? 5, c3 ? ?3 , 即 c1 ? c2 ? 0, c2 ? c3 ? 0 , ∴ 此处变号数有 2 个. ……………13 分 综上, 数列 ?cn ? 共有 3 个变号数, 即变号数为 3 。 …………………………………………14

分 解法二:由题设

?? 3, n ? 1 ? ……………………………………………………………10 分 cn ? ? 4 1? ,n ? 2 ? ? 2n ? 5 n ? 2 时,令 2n ? 9 2n ? 7 3 5 7 9 c n ? c n ?1 ? 0 ? ? ? 0 ? ? n ? 或 ? n ? ? n ? 2或n ? 4 ;又 2n ? 5 2n ? 3 2 2 2 2 ∵c1 ? ?3, c2 ? 5 , ∴n ? 1 时也有 c1 ? c2 ? 0 . …………………………………………………13
分 分 综上得: 数列 ?cn ? 共有 3 个变号数, 即变号数为 3 。 …………………………………14

20. (本小题满分 14 分)

8

21. (本小题满分 14 分) 解 :



1



1 f / ( x) ? 2 x ? a(1 ? ) ……………………………………………………………………1 分 x f (1) ? 1 ? a ,

f / (1) ? 2 ? 2a ……………………………………………………………………2 分 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 (1 , f (1)) 处 的 切 线 为 y ? (1 ? a) ? (2 ? 2a)(x ? 1) , 即 y ? (1 ? a)(2 x ? 1) …………………………………………………………………………………
…4 分 ( 2 ) ① a ? 0 时 , f ( x) ? x 2 , 因 为 x ? 0 , 所 以 点 ( x , x 2 ) 在 第 一 象 限 , 依 题 意 ,

f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) ? 0 ………………………………………………………………………
…5 分 ②a ? 0 时,由对数函数性质知, x ? (0 , 1) 时, ln x ? (?? , 0) , a ln x ? (?? , 0) ,从而 “

?x ? 0



f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) ? 0 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) ? 0 得







立 ………………………………………………………………6 分 ③ a?0 时 , 由

1 1 1 ? ?( ? 2 ln x) a x x

, 设

1 1 x ?1 2 g ( x) ? ?( ? 2 ln x) , g / ( x) ? 3 ? 3 ln x x x x x

x

(0 , 1)
9

1

(1 , ? ?)

g / ( x)
g ( x) g ( x) ? g (1) ? ?1

- ↘

0

?

1 1 1 ? ?( ? 2 ln x) ? ?1 a x x
值 算 范

极小值









? 1 ? a ? 0 ……………………………8 分
所 述 , 常 数 的 取 a ? 1 ? a ? 0 …………………………………………………………9 分 ( 3 ) 直 接 计 综 上 围 知

f (e) ? f (1) a ? e ?1? a ? …………………………………………………10 分 e ?1 e ?1
设 函 数

g ( x) ? f / ( x) ?

f (e) ? f (1) a a ? 2 x ? (e ? 1) ? ? …………………………………11 分 e ?1 x e ?1

g (1) ? 1 ? e ? a ?
2

a a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 a a e(e ? 1) 2 ? a , g (e) ? e ? 1 ? ? ? ? e ?1 e ?1 e e ?1 e(e ? 1)

当 a ? e(e ? 1) 或 a ?

(e ? 1) 2 [a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ][a ? e(e ? 1) 2 ] ? 0, 时, g (1) g (e) ? ? e?2 e(e ? 1) 2

因为 y ? g ( x) 的图象是一条连续不断的曲线,所以存在 ? ? (1 , e) ,使 g (? ) ? 0 ,即

? ? (1 , e)
f / (? ) ?
分 当



使

f (e) ? f (1) ;…………………………………………………………………………12 e ?1

(e ? 1) 2 ? a ? e(e ? 1) 2 时, g (1) 、 g (e) ? 0 ,而且 g (1) 、 g (e) 之中至少一个为正,由 e?2
a ? e2 ?1 ,等号当且仅当 x ? e ?1

均值不等式知, g ( x) ? 2 2a ?

a ? (1 , e) 时成立,所以 2

g ( x) 有最小值 m ? 2 2a ?

a ? e 2 ? 1 ? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ,且 ? e ?1 e ?1

m?

? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ? [ a ? 2 (e ? 1)]2 ? (e ? 1)(e ? 3) ? ?0, e ?1 e ?1
此时存在 ? ? (1 , e) ( ? ? (1 ,

a a , 使 g (? ) ? 0 。…………………13 ) 或? ? ( , e) ) 2 2

10



?a ? R , 综上所述, 存在 ? ? (1 , e) , 使 f / (? ) ?


f (e) ? f (1) …………………………14 e ?1

11


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