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2014年高考数学理科(高考真题+模拟新题)分类汇编:B单元 函数与导数(学生版)



B 单元 函数与导数



B1 函数及其表示 6.[2014· 安徽卷] 设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,f(x)=0, 则 f? 23π ? ? 6 ?=( 1 A. 2 B. 3 2 )

1 C.0 D.- 2 2. 、[2014· 北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 B.y=(x-1) - C.y=2 x D.y=log0.5(x+1) 2.[2014· 江西卷] 函数 f(x)=ln(x2-x)的定义域为( ) A.(0,1] B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 1 3. ,[2014· 山东卷] 函数 f(x)= 的定义域为( (log2x)2-1 1? A.? ?0,2? B.(2,+∞)
2

)

)

1 1 0, ?∪(2,+∞) D. ?0, ?∪[2,+∞) C. ? ? 2? ? 2? B2 反函数 12.[2014· 全国卷] 函数 y=f(x)的图像与函数 y=g(x)的图像关于直线 x+y=0 对称,则 y=f(x)的反函数是( ) A.y=g(x) B.y=g(-x) C.y=-g(x) D.y=-g(-x) B3 函数的单调性与最值 2. 、[2014· 北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y= x+1 B.y=(x-1)2 - C.y=2 x D.y=log0.5(x+1)
?x2+1,x>0, ? 7. 、 、[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=? 则下列结论正确的是( ?cos x, x≤0, ?

)

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞) 21. 、[2014· 广东卷] 设函数 f(x)= 1 ,其中 k<-2. (x +2x+k) +2(x2+2x+k)-3
2 2

(1)求函数 f(x)的定义域 D(用区间表示);
1

(2)讨论函数 f(x)在 D 上的单调性; (3)若 k<-6,求 D 上满足条件 f(x)>f(1)的 x 的集合(用区间表示). 12.[2014· 四川卷] 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)=
?-4x2+2,-1≤x<0, ? 3? ? 则 f? 2?=________. ? ?x, 0≤x<1, ?

15. ,[2014· 四川卷] 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函 数 φ(x)组成的集合: 对于函数 φ(x), 存在一个正数 M, 使得函数 φ(x)的值域包含于区间[-M, 3 M].例如,当 φ1(x)=x ,φ2(x)=sin x 时,φ 1(x)∈A,φ 2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D, 则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R, ?a∈D, f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x +1 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 21. ,[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自 然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围.

B4

函数的奇偶性与周期性 )

?x2+1,x>0, ? 7. 、 、[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=? 则下列结论正确的是( ?cos x, x≤0, ?

A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞) 3.[2014· 湖南卷] 已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)= 2 x +x +1,则 f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3
3

3.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 15.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若 f(x-1) >0,则 x 的取值范围是________.

2

B5

二次函数

π π 16. 、[2014· 全国卷] 若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? , ?是减函数,则 a 的取值 ?6 2? 范围是________. B6 指数与指数函数 4. 、 、[2014· 福建卷] 若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 11 所示,则下列函数 图像正确的是( )

图 11

A

B

C 图 12

D

3.[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若 f[g(1)]=1,则 a=( A.1 B.2 C.3 D.-1 1 1 3. 、[2014· 辽宁卷] 已知 a=2- ,b=log2 , 3 3 11 c=log ,则( ) 23 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 2. ,[2014· 山东卷] 设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]}, 则 A∩B=( A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) 5. , , [2014· 山东卷] 已知实数 x, y 满足 ax<ay(0<a<1), 则下列关系式恒成立的是( A. 1 1 > 2 B. ln(x2+1)>ln(y2+1) x +1 y +1
2

)

)

)

C. sin x>sin y D. x3>y3
3

7.[2014· 陕西卷] 下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)· f(y)”的单调递增函数是( 1 A.f(x)=x 2 1?x C.f(x)=? ?2? B.f(x)=x3 D.f(x)=3x

)

11.[2014· 陕西卷] 已知 4a=2,lg x=a,则 x=________.

B7 对数与对数函数 5. , , [2014· 山东卷] 已知实数 x, y 满足 ax<ay(0<a<1), 则下列关系式恒成立的是( A. 1 1 > 2 B. ln(x2+1)>ln(y2+1) x +1 y +1
2

)

C. sin x>sin y D. x3>y3 3. ,[2014· 山东卷] 函数 f(x)= 1? A.? ?0,2? B.(2,+∞) 1 的定义域为( (log2x)2-1 )

1? ? 1? C. ? ?0,2?∪(2,+∞) D. ?0,2?∪[2,+∞)

4. 、 、[2014· 福建卷] 若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图 11 所示,则下列函数 图像正确的是( )

图 11

A

B

C
4

D

图 12

13. 、[2014· 广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 ln a1 +ln a2+?+ln a20=________. 1 1 3. 、[2014· 辽宁卷] 已知 a=2- ,b=log2 , 3 3 11 c=log ,则( ) 23 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 1 4.[2014· 天津卷] 函数 f(x)=log (x2-4)的单调递增区间为( 2 A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 7. 、[2014· 浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能是 )

)

(

A

B

C

D 图 12 图 12

12.[2014· 重庆卷] 函数 f(x)=log2 x·log B8 幂函数与函数的图像

2(2x)的最小值为________.

1 10.[2014· 湖北卷] 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x-a2| 2 +|x-2a2|-3a2).若?x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值范围为( ) 1 1 6 6 - , ? B.?- , ? A.? ? 6 6? ? 6 6? 1 1? 3 3? ? C.? ?-3,3? D.?- 3 , 3 ?

5

8.[2014· 山东卷] 已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有两个不相等 的实根,则实数 k 的取值范围是( ) 1? A. ? ?0,2? 1 ? B. ? ?2,1? C. (1,2) D. (2,+∞)

(

7. 、[2014· 浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能是 )

A

B

C

D 图 12 图 12

B9

函数与方程

1 10. 、 [2014· 湖南卷] 已知函数 f(x)=x2+ex- (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关 2 于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( ) 1 A.(-∞, ) B.(-∞, e) e 1 1 C.?- , e? D.?- e, ? e e? ? ? ? 14.[2014· 天津卷] 已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异 的实数根,则实数 a 的取值范围为________.

(

6.[2014· 浙江卷] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则 ) A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9

B10 函数模型及其应用 8.[2014· 湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p,第二年的增 长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

6

p+q (p+1)(q+1)-1 A. B. 2 2 C. pq D. (p+1)(q+1)-1 10.[2014· 陕西卷] 如图 12,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平 距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析 式为 ( )

图 12 1 3 2 4 A.y= x3- x B.y= x3- x 125 5 125 5 3 3 1 C.y= x3-x D.y=- x3+ x 125 125 5

B11 导数及其运算 18. 、[2014· 安徽卷] 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时 ,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.

21. 、 、[2014· 安徽卷] 设实数 c>0,整数 p>1,n∈N*. (1)证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px; p-1 1 c - 1 (2)数列{an}满足 a1>c ,an+1= a + a1 p,证明:an>an+1>c . p p n p n p

20. 、 [2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A, 曲线 y=f(x) 在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

7

10. 、[2014· 广东卷] 曲线 y=e

-5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________.

13.[2014· 江西卷] 若曲线 y=e x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的 坐标是________.


18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(x2+bx+b) 1-2x(b∈R). (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; 1? (2)若 f(x)在区间? ?0,3?上单调递增,求 b 的取值范围.

7.[2014· 全国卷] 曲线 y=xex A.2e B.e C.2 D.1

-1

在点(1,1)处切线的斜率等于(

)

8.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 21. [2014· 陕西卷] 设函数 f(x)=ln(1+x), g(x)=xf′(x), x≥0, 其中 f′(x)是 f(x)的导函数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求 gn(x)的表达式; (2)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+?+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明.

19. ,[2014· 四川卷] 设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图像上 (n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图像上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1, 函数 f(x)的图像在点(a2, b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- 的前 n 项和 Tn. 1 ?an? , 求数列?b ? ln 2 ? n?

8

B12 导数的应用 21. ,[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自 然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围.

18. 、[2014· 安徽卷] 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时 ,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.

π 18.[2014· 北京卷] 已知函数 f(x)=xcos x-sin x,x∈?0, ?. 2? ? (1)求证:f(x)≤0; π sin x (2)若 a< <b 对 x∈?0, ?恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x 2? ?

20. 、 [2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A, 曲线 y=f(x) 在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

22.[2014· 湖北卷] π 为圆周率,e=2.718 28?为自然对数的底数. ln x (1)求函数 f(x)= 的单调区间; x π π (2)求 e3,3e,e ,π e, ,3 ,π 3 这 6 个数中的最大数与最小数; π π 3 e e (3)将 e ,3 ,e ,π ,3 ,π 3 这 6 个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.

9

22. 、[2014· 湖南卷] 已知常数 a>0,函数 2x f(x)=ln(1+ax)- . x +2 (1)讨论 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,且 f(x1)+f(x2)>0,求 a 的取值范围.

18. 、[2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=(x2+bx+b) 1-2x(b∈R). (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; 1? (2)若 f(x)在区间? ?0,3?上单调递增,求 b 的取值范围.

11.[2014· 辽宁卷] 当 x∈[-2,1]时,不等式 ax3-x2+4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的 取值范围是( ) 9? A.[-5,-3] B.? ?-6,-8? C.[-6,-2] D.[-4,-3]

ax 22. 、[2014· 全国卷] 函数 f(x)=ln(x+1)- (a>1). x+a (1)讨论 f(x)的单调性; 2 3 (2)设 a1=1,an+1=ln(an+1),证明: < an ≤ . n+2 n+2

10

bex 1 21. 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设函数 f(x)=ae ln x+ ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 x


x

的切线方程为 y=e(x-1)+2. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)>1.

21. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=ex-e x-2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (3)已知 1.414 2< 2<1.414 3,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001).


21. , , ,[2014· 陕西卷] 设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导 函数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求 gn(x)的表达式; (2)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+?+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明.

B13 定积分与微积分基本定理 14. 、[2014· 福建卷] 如图 14,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒 黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.

图 14

11

6.[2014· 湖北卷] 若函数 f(x),g(x)满足?1 f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,

? -1

1]上的一组正交函数,给出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin x,g(x)=cos x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2. 2 2 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

9.[2014· 湖南卷] 已知函数 f(x)=sin(x-φ),且 2π ∫ 0f(x)dx=0,则函数 f(x)的图像的一条对称轴是( 3 5π 7π A.x= B.x= 6 12 π π C.x= D.x= 3 6

)

6. [2014· 山东卷] 直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( A. 2 2 B. 4 2 C. 2 D. 4 )

)

3.[2014· 陕西卷] 定积分?1(2x+ex)dx 的值为(

?0

A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1

B14 单元综合 9.[2014· 四川卷] 已知 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题: 2x ①f(-x)=-f(x);②f?1+x2?=2f(x);

?

?

③|f(x)|≥2|x|. 其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②

1 10. 、 [2014· 湖南卷] 已知函数 f(x)=x2+ex- (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图像上存在关 2 于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( ) 1 A.(-∞, ) B.(-∞, e) e 1 1 C.?- , e? D.?- e, ? e e? ? ? ?

12

14. 、[2014· 湖北卷] 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f(x)>0,对任意 a>0,b>0, 若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与 x 轴的交点为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x) a+b 的平均数,记为 Mf(a,b),例如,当 f(x)=1(x>0)时,可得 Mf(a,b)=c= ,即 Mf(a,b) 2 为 a,b 的算术平均数. (1)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数; 2ab (2)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的调和平均数 . a+b (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 12. 、[2014· 辽宁卷] 已知定义在[0,1]上的函数 f(x)满足: ①f(0)=f(1)=0; 1 ②对所有 x,y∈[0,1],且 x≠y,有|f(x)-f(y)|< |x-y|. 2 若对所有 x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k 恒成立,则 k 的最小值为( 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 8 2π

)

13


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