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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学(文)模拟试题(5)


华中师范大学

史为林(①⑧⑨⑧⑥②③⑤⑨②⑤)整理

年高三年级数学模拟试题( 湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(5)
蕲春三中特级教师命制 蕲春三中特级教师命制
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.卷面共 150 分,考试时间 120 分

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题 项是符合题目要求的. 1.设 f :x → x 是集合 A 到集合 B 的映射.若 A = { ? 3,0,3 } ,则 A I B = ( 设 的映射.
A.{0, 3} 2.函数 B.{0} )
y
1



C.{3}

D.{ ?3 ,0}

f ( x ) = 2|log 2 x | 的图像大致是(
y
1 1

y
1 x ?1

y
1 x ?1

?1

O
A

O
B

O
C

1 x ?1

O
D

1 x

3.“a = 3”是“直线 ax ? 2 y ? 1 = 0 与直线 6 x ? 4 y + c = 0 平行”的( A.充分而不必要 B.必要而不充分 频率 组距

)条件

C.充要 D.既不充分也不必要 4.某校为了了解高三学生的身体状况,抽取了 100 名女 生的体重.将所得的数据整理后,画出了如图的频率分 布直方图,则所抽取的女生中体重在 45~50kg 的人数 是( A.10 ) B.30 C.50 D.60

0.10 0.08 0.06 0.04 0.02
体重

5. 若 | a |= 1,| b |= 2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的 夹 角 (4 题图) A.30° 为 B.60° ( C.150° )

r

r

r

r r

r

r

r

r

40 45 50 55 60

(kg)

D.120°

6. 给出四个函数,则同时具有以下两个性质:①最小正周期是 π ; ②图象关于点( 对称 的函数是( )

π
6

,0)

A. B. C. D. 7.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有一名 女生,则选派方案共有( )种 A. 108 B. 186 C. 216 D. 270 8.已知球面的三个大圆所在平面两两垂直,则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与 球体积之比是( )

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A. 1∶π 9.已知⊙ 点,则 A. 分 ,⊙ 的比为( B.

B. 1∶2π

C. 2∶π

D. 4∶3π

,两圆的内公切线交于 点,外公切线交于 ) C. D.

? b1 ? ? ? 10.若 max{ s1 , s2 ,L , sn } 表示实数 s1 , s2 , L , sn 中的最大者.设 A = ( a1 , a 2 , a3 ) , B = ? b2 ? , ?b ? ? 3?
? 1 ? ? ? 记 A ? B = max{a1b1 , a 2b2 , a3 b3 }. 设 A = ( x ? 1, x + 1,1) , B = ? x ? 2 ? , 若 ? | x ? 1 |? ? ?
A ? B = x ? 1 ,则 x 的取值范围为(
A. [1 ? ) B. [1,1 + C. [1 ? D. [1,1 +

3 ,1]

2]

2 ,1]

3]

第 II 卷 (共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分. 填空题 11. 在 展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的项有__________项.

πx ? ?sin( ) (?1 ≤ x < 0) 3 12. 函数 f ( x ) = ? ,则 f (1) = ________________. ? f ( x ? 1) ( x ≥ 0) ?
13. 甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为:3局2胜,即以先赢2局者为胜.根据经验,每局 比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率为 。

?y ≥ 2 ? 14. x、y 满足约束条件: ? 2 x + y ? 5 ≥ 0 ,则 z = x + y ? 5 的最小值是______________. ?x + y ? 4 ≤ 0 ?

15. 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规律排列: , , , , , .
1 3
2 3 1 4 2 4 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , ,…, , ,…, ,…有如下运算和结论: 4 5 5 5 5 n n n

1 2

① a23 =

3 8 ;

② S11 =

11 ; 6

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③数列 a1 , a2

+ a3 , a4 + a5 + a6 , a7 + a8 + a9 + a10 ,…是等比数列
+ a3 , a4 + a5 + a6 , a7 + a8 + a9 + a10

④数列 a1 , a2

T = ,…的前 n 项和为 n

n2 + n 4



⑤若存在正整数 k ,使 S k

5 < 10 , S k + 1 > 10 ,则 ak = . 7

在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号______________. 解答题:本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题 16.(本小题满分 12 分) 已知 a = (cos x + sin x, sin x), b = (cos x ? sin x,2 cos x), 设f ( x) = a ? b. (1)求函数 f (x ) 的最小正周期; (2)当 x ∈ [ 0,

π
2

]时,求函数 f ( x ) 的最大值及最小值。

17.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD ,

P

ABCD 是直角梯形, AD // BC , ∠BAD = 90?, BC = 2 AD .
(1)求证: AB ⊥ PD ; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E ,使 AE //平面 PCD , 若存在,指出点 E 的位置并加以证明;若不存在,请说明理由

C
D A

B

18. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 是 首 项 为 a1 =
1 1 , 公 比 q= 的 等 比 数 列 , 设 4 4 bn + 2 = 3 log 1 a n (n ∈ N *) , cn = anbn ( n ∈ N * )
4

(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn.

19. (本小题满分 13 分)某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表
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?1 (1 ≤ x ≤ 20, x ∈ N* ) ? 明,该企业在经销这个产品期间第 x 个月的利润 f (x) = ? 1 (单位:万 * ? x (21 ≤ x ≤ 60, x ∈ N ) ?10
元) ,为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第 x 个月的当月 利润率 g ( x ) =

f (3) 第 x个月的利润 ,例如: g (3) = . 81 + f (1) + f (2) 第 x个月前的资金总和

(1)求 g (10) ; (2)求第 x 个月的当月利润率 g ( x ) ; (3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.

20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 ? ax 2 + bx + c 的图象为曲线 C。 (1)若曲线 C 上存在点 P,使曲线 C 在 P 点处的切线与 x 轴平行,求 a, b 的关系; .. (2)若函数 f ( x)可以在x = ?1和x = 3 时取得极值,求此时 a, b 的值; (3)在满足(2)的条件下, f ( x) < 2c在x ∈ [ ?2,6]恒成立, 求c 的取值范围。

21(14 分)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是椭圆

ur ? x y ? y2 x2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 的两点, m = ? 1 , 1 ? , 2 a b ?b a?

r ?x y ? ur r 3 ,短轴长为 2,O 为坐标原点。 n = ? 2 , 2 ? ,且 m ? n = 0 ,椭圆离心率 e = 2 ?b a ?
(1)求椭圆方程; (2)若存在斜率为 k 的直线 AB 过椭圆的焦点 F ( 0, c ) ( c 为半焦距) ,求 k 的值; (3)试问 ?AOB 的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由。

高 三 数 学 模 拟 试 题 答 案 (文)
一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分. 选择题 1.A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B 8.A 9.C 10.B

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二、填空题:本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分. 填空题
3 13. 2 解答题:本题共 6 小题,共 75 分. 三、解答题

11.17

12. ?

0.648

14. ?

3 2

15.②④⑤

16.解: (1)Q f ( x) = a ? b = (cos x + sin x) ? (cos x ? sin x) + sin x ? 2 cos x

= cos 2 x ? sin 2 x + 2 sin x cos x LLLL 2分 = cos 2 x + sin 2 x = 2 ( = 2 (sin 2 2 cos 2 x + sin 2 x) LLLL 3分 2 2 sin 2 x) = 2 sin(2 x +

π

4 4 ∴ f ( x)的最小正周期T = π . LLLL 6分
(2)Q 0 ≤ x ≤

cos 2 x + cos

π

π

4

) LLLL 5分

π
2

,∴

π
4

≤ 2x +

π
4



∴当2 x + 当2 x +

π
4 =

=

π
2

, 即x =

π
8

5π . …………8 分 4

时, f ( x)有最大值 2 . LLLL10分

π
4

5π π ,即x = 时, f ( x)有最小值 ? 1.LLLL12分 4 2

17.证明: (1)∵ PA ⊥平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AB . ………… 2 分 ∵ AB ⊥ AD , PA I AD = A , ∴ AB ⊥平面 PAD ,………… 5 分 ∵ PD ? 平面 PAD , ∴ AB ⊥ PD . ………… 6 分 (2)[法 1]: 取线段 PB 的中点 E , PC 的中点 F ,连结 AE , EF , DF , 则 EF 是△ PBC 中位线.

P F E C D A B

1 ∴ EF ∥ BC , EF = BC , 2 1 ∵ AD // BC , AD = BC , 2 ∴ AD // EF , AD = EF . ∴ 四边形 EFDA 是平行四边形, ………… 8 分 ∴ AE // DF . ∵ AE ? 平面 PCD , DF ? 平面 PCD ,………… 10 分 ∴ AE ∥平面 PCD . …………11 分 ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点. ………… 12 分 [法 2]: 取线段 PB 的中点 E , BC 的中点 F ,连结 AE , EF , AF , 则 EF 是△ PBC 的中位线. 1 ∴ EF ∥ PC , CF = BC , 2 ∵ EF ? 平面 PCD , PC ? 平面 PCD , ∴ EF // 平面 PCD .

P

E C D A B F

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∵ AD // BC , AD =

∴ AD // CF , AD = CF .

1 BC , 2

∴ 四边形 DAFC 是平行四边形, ………… 8 分 ∴ AF // CD . ∵ AF ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , ∴ AF ∥平面 PDC . ∵ AF I EF = F , ∴平面 AEF // 平面 PCD . ………… 10 分 ∵ AE ? 平面 AEF , ∴ AE ∥平面 PCD . ………… 11 分 ∴ 线段 PB 的中点 E 是符合题意要求的点.………… 12 分 18.解:(1)由题意知, a n = ( ) ( n ∈ N *) ,……………2 分

1 n 4 又 bn = 3log 1 an ? 2 ,
4

故 bn = 3n ? 2( n ∈ N *) ……………4 分 (2)由(1)知, a n = ( ) , bn = 3n ? 2( n ∈ N *)
n

1 4

1 ∴ c n = (3n ? 2) × ( ) n , (n ∈ N *) ……………6 分 4 1 1 1 1 1 ∴ S n = 1 × + 4 × ( ) 2 + 7 × ( ) 3 + L + (3n ? 5) × ( ) n ?1 + (3n ? 2) × ( ) n , ……7 分 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ∴ S n = 1 × ( ) 2 + 4 × ( ) 3 + 7 × ( ) 4 + L + (3n ? 5) × ( ) n + (3n ? 2) × ( ) n +1 …9 分 4 4 4 4 4 4
两式相减,得

3 1 1 1 1 1 1 1 S n = + 3[( ) 2 + ( ) 3 + L + ( ) n ] ? (3n ? 2) × ( ) n +1 = ? (3n + 2) × ( ) n+1 . …12 分 4 4 4 4 4 4 2 4 2 3n + 2 1 n ∴ Sn = ? × ( ) (n ∈ N *) ……………12 分 3 3 4

19.解:(1)由题意得 f (1) = f (2) = f (3) = LL = f (9) = f (10) = 1 ∴ g (10) =

f (10) 1 = . 81 + f (1) + LL + f (9) 90

…………………………2 分

(2)当 1 ≤ x ≤ 20 时, f (1) = f (2) = LL = f ( x ? 1) = f ( x) = 1 ∴ g ( x) =

f ( x) 1 1 = = .----------4 分 81 + f (1) + LL + f ( x ? 1) 81 + x ? 1 x + 80

当 21 ≤ x ≤ 60 时,
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f ( x) 81 + f (1) + LL + f (20) + f (21) + LL + f ( x ? 1) 1 x 10 = 81 + 20 + f (21) + LL + f ( x ? 1) 1 x 2x 10 = = 2 ( x ? 21)( x + 20) x ? x + 1600 101 + 20 g ( x) =
∴当第 x 个月的当月利润率为

1 ? (1 ≤ x ≤ 20, x ∈ N * ) ? x + 80 ? g ( x) = ? ……………………8 分 2x * ? (21 ≤ x ≤ 60, x ∈ N ) ? x 2 ? x + 1600 ?
(4)当 1 ≤ x ≤ 20 时, g ( x ) =

1 是减函数, x + 80 1 此时 g ( x ) 的最大值为 g (1) = ---10 分 81 2x 2 2 2 当 21 ≤ x ≤ 60 时, g ( x ) = 2 = ≤ = x ? x + 1600 x + 1600 ? 1 2 1600 ? 1 79 x 1600 2 2 1 当且仅当 x = 时,即 x = 40 时, g ( x ) max = ,又Q > , x 79 79 81 2 ∴当 x = 40 时, g ( x ) max = ………………………………………………12 分 79 2 答:该企业经销此产品期间,第 40 个月的当月利润率最大,最大值为 …13 分 79
2

20. (1) f ′( x ) = 2 x ? 2ax + b, 设切点为P ( x 0 , y 0 ) ,…………1 分
2 则曲线y = f ( x)在点P的切线的斜率k = f ′( x0 ) = 3 x0 ? 2ax0 + b

由题意知f ′( x0 ) = 3 x 2 ?2ax0 + b = 0有解,LLL1分 0 ∴? = 4a 2 ? 12b ≥ 0, 即a 2 ≥ 3b LLL 3分
(2)若函数 f ( x)可以在x = ?1和x = 3 处取得极值,

则f ′( x) = 3 x 2 ? 2ax + b有两个解x = ?1和x = 3, 且满足a 2 ≥ 3b, 易得a = 3, b = ?9LLL 7分
(3)由(2)得 f ( x ) = x 3 ? 3 x 2 ? 9 x + c 根据题意,

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c > x 3 ? 3 x 2 ? 9 x( x ∈ [?2, 6])恒成立LLL 8分 Q函数g ( x) = x3 ? 3 x 2 ? 9 x( x ∈ [?2, 6])在x = ?1时有极大值5(用求导的方法), 且g (6) = 54, g (?2) = ?2LLL11分 ∴函数g ( x) = x3 ? 3 x 2 ? 9 x( x ∈ [?2, 6])的最大值为54, 所以c > 54.LL12分

? 3 c ?e = = 21.解(1)由 ? 2 , 解得 a = 2, b = 1. a ?b = 1 ?

∴ 所求椭圆方程为 y

2

4

+ x 2 = 1. ……3分

? y = kx + 3 ? (2)设 AB 方程为 y=kx+ 3. 由 ? y 2 ? ( k2 + 4 ) x 2 + 2 3kx ? 1 = 0 2 ? + x =1 ?4
x1 + x2 = ?2 3k ?1 , x1 ? x2 = 2 . 2 k +4 k +4
ur r
……………………………………………………5 分

由已知: 0 = m n =

x1 x2 y1 y2 1 + 2 = x1 x2 + kx1 + 3 kx2 + 3 2 4 b a

(

)(

)

=

k2 + 4 ? 1 ? 3 ?2 3k 3 ??? 2 k? 2 + . ?+ 4 k +4 4 ? k + 4? 4
……………………………………………………8分

解得 k = ± 2.

(3)当 A 为顶点时,B 必为顶点,则 S?AOB = 1 ,当 A,B 不为顶点时,设 AB 方程为 y=kx+m.



? y = kx + m ? 2 ?y 2 ? + x =1 ?4

?

(k

2

+ 4 ) x 2 + 2kmx + m 2 ? 4 = 0



x1 + x2 =

?2mk m2 ? 4 , x1 ? x2 = 2 . k2 + 4 k +4 1 ( kx1 + m )( kx2 + m ) = 0 ,知 2m2 ? k 2 = 4 , 4
……………11 分

又 m n = 0 ,即 x1 x2 +

ur r

S?AOB

1 1 = m ? x1 ? x2 = m ? 2 2

( x1 + x2 )

2

? 4 x1 x2 =

m ? 4k 2 ? 4m 2 + 16 k2 + 4

=

4m 2 =1 2m

∴ 三角形的面积为定值 1.

…………………………………………………14 分

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