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浙江省嘉兴市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


浙江省嘉兴市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分)如果 M={1,2,3},N={3,5},则 M∩N=() A.{1,2,3,5} B.{1,2,3} C.{3,5} 2. (4 分)2lg2+lg25=() A.1 B. 2
2

D.{3}

C.10

D.100

3. (4 分)不等式 x +5x﹣6<0 的解集为() A.(﹣6,1) B.(﹣∞,6)∪(1,+∞) (﹣∞,3)∪(2,+∞)

C. (﹣3,﹣2) D.

4. (4 分)平面向量 与 的夹角为 60°且 A. B.12

=2, C.

=1,则向量 +2 的模为() D.10

5. (4 分)已知函数 f(x)=x+ ,则下列说法正确的是() A.f(x)是增函数 B.f(x)是减函数 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数

6. (4 分)如图,已知△ ABC 中,点 D 在边 BC 上,且|BD|=2|DC|,点 E 在线段 AD 上,且 |AE|=2|ED|,设 = , = ,若 =m +n ,则 m+n=()

A.﹣

B.

C.﹣3

D.3

7. (4 分)函数 f(x)=logax+x﹣b(2<a<3<b<4)的零点所在的一个区间是() A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 8. (4 分)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生 函数”,那么函数解析式为 f(x)=|log2x|,值域为{1,2}的“孪生函数”共有() A.10 个 B. 9 个 C. 8 个 D.7 个

9. (4 分)如图,已知△ ABC 中,A=90°,B=30°,点 P 在 BC 上运动且满足 取到最小值时,λ 的值为()

=

,当

A.

B.

C.

D.

10. (4 分)已知 f(x)=log2 b>1) ,则下列判断正确的是() A.f(g(a﹣1) )>f(g(a) ) B. f(g( ) )>f(g( ) )

(其中 x>1) ,g(x)=x ﹣2ax+a +b(其中 x∈R,a>0,

2

2

C. g(f(

) )>g(f(3) ) (其中 a≠0 且 a



D.g(f(

) )>g(f(3) ) (其中 a≠0,且 a≠1)

二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分) 11. (3 分)已知 2∈,则 m=. 12. (3 分)函数 f(x)=log2(2x+3)的定义域为. 13. (3 分)已知幂函数 f(x)=x ,且 f(4)=2,则 f(6)=. 14. (3 分)若 , 是两个不共线的向量,已知 =2 +k , = +3 , =2 ﹣
a

,若 A,B,D 三点共线,则 k=.

15. (3 分)已知奇函数 y=f(x)满足当 x<0 时,f(x)=x ,则

2

=.

16. (3 分)已知定义在上的奇函数 f(x)=a ﹣a (其中 0<a<1) ,若 m 满足 f(m ﹣4m) ≥0,则 m 的取值范围为.

x

﹣x

2

17. (3 分)已知△ ABC 是边长为 2 的正三角形,以 AC 为直径作半圆 O(如图) ,P 为半圆 上任一点,则 的最大值为.

18. (3 分)已知函数 f(x)=

,若 f(f(a) )≤0,则实数 a 的取值范围是.

三、解答题(共 4 小题,满分 36 分) 19. (8 分)已知全集为 U=R,集合 A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|x(3﹣x)>0},M={x|2x﹣ a<0}. (1)求 A∩(?UB) ; (2)若(A∪B)?M,求实数 a 的取值范围.
2

20. (8 分) 已知在 Rt△ ABC 中, 其中∠A 为直角, 向量 +(m﹣3) ,其中 , 是互相垂直的两 个单位向量.

= + ,

=2 +3 ,

= (2m+1)

(1)求实数 m 的值; (2)过 A 作 AE⊥BC 于 E,延长 AE 至 D,使四边形 ABDC 为直角梯形(其中 AC、BD 为底边) ,用 , 表示 .

21. (10 分)已知函数 f(x)=a﹣

,x∈R.

(1)若函数 f(x)为奇函数,求 a 的值; (2)令 g(x)= 数 a 的取值范围. 22. (10 分)已知二次函数 f(x)=ax ﹣(3a﹣b)x+c,其中 a>0,f(1)=﹣a,若函数 y=f (x)与 x 轴有两个交点 A(x1,0) 、B(x2,0) ,其中 x1∈(﹣1, ) ,x2?(﹣1, ) ; (1)求证:﹣ < < ;
2

,若函数 y=g(x)的图象始终在直线 y=1 的上方,求实

(2)若函数 y=f(x)的顶点为 C,当|AB|取得最小值时,△ ABC 为等腰直角三角形,求此 时的二次函数 y=f(x)的解析式. (3)当 x∈时,函数 y=f(x)的最小值为﹣ b,求 的值.

浙江省嘉兴市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分)如果 M={1,2,3},N={3,5},则 M∩N=() A.{1,2,3,5} B.{1,2,3} C.{3,5} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据交集的定义进行求解. 解答: 解:∵M={1,2,3},N={3,5}, ∴M∩N={3}, 故选:D 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (4 分)2lg2+lg25=() A.1 B. 2

D.{3}

C.10

D.100

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用对数的运算法则求解即可. 解答: 解:2lg2+lg25=2lg2+2lg5=2. 故选:B. 点评: 本题考查对数的运算法则的应用,考查计算能力. 3. (4 分)不等式 x +5x﹣6<0 的解集为() A.(﹣6,1) B.(﹣∞,6 )∪(1,+∞) (﹣∞,3)∪(2,+∞) 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用二次不等式的求法,求解即可. 2 解答: 解:不等式 x +5x﹣6<0,化为: (x﹣1) (x+6)<0. 不等式的解集为:x∈(﹣6,1) . 故选:A. 点评: 本题考查二次不等式的解法,考查计算能力.
2

C. (﹣3,﹣2) D.

4. (4 分)平面向量 与 的夹角为 60°且 A. B.12

=2, C.

=1,则向量 +2 的模为() D.10

考点: 平面向量数量积的性质及其运算律;向量的模. 专题: 计算题. 分析: 由 与 的夹角为 60°且 +2 |= = =2, =1,知 ,由此能求出结果. =2, =1,

解答: 解:∵ 与 的夹角为 60°且 ∴ = +2 |=

= =2 . 故选 A. 点评: 本题考查平面向量的数量积及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答, 注意合理地进行等价转化.

5. (4 分)已知函数 f(x)=x+ ,则下列说法正确的是() A.f(x)是增函数 考点: 专题: 分析: 解答: B.f(x)是减函数 C.f(x)是奇函数 D.f(x)是偶函数

函数奇偶性的判断. 函数的性质及应用. 根据函数的性质进行判断即可. 解:函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,

则 f(﹣x)=﹣x﹣ =﹣(x+ )=﹣f(x) , 即函数 f(x)为奇函数, 故选:C 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,根据定义是解决本题的关键. 6. (4 分)如图,已知△ ABC 中,点 D 在边 BC 上,且|BD|=2|DC|,点 E 在线段 AD 上,且 |AE|=2|ED|,设 = , = ,若 =m +n ,则 m+n=()

A.﹣

B.

C.﹣3

D.3

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的减法,共线向量基本定理,向量的加法便容易得到 ,所以根据平面向量基本定理可得到 解答: 解:根据已知条件, = ; ∴ 又 ; . ; = .

∴根据平面向量基本定理得:m+n=

故选 A. 点评: 考查向量减法、加法的几何意义,共线向量基本定理,以及平面向量基本定理. 7. (4 分)函数 f(x)=logax+x﹣b(2<a<3<b<4)的零点所在的一个区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由 2<a<3<b<4 可判断 f(2)=loga2+2﹣b<0,f(3)=loga3+3﹣b>0;从而可 得 f(2)f(3)<0;从而判断零点的区间. 解答: 解:函数 f(x)=logax+x﹣b 在定义域上连续, 又∵2<a<3<b<4, ∴0<loga2<1,1<loga3, ﹣2<2﹣b<﹣1,﹣1<3﹣b<0; ∴f(2)=loga2+2﹣b<0, f(3)=loga3+3﹣b>0; 故 f(2)f(3)<0; 故选 C. 点评: 本题考查了函数的零点的判断与应用,属于基础题.

8. (4 分)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生 函数”,那么函数 解析式为 f(x)=|log2x|,值域为{1,2}的“孪生函数”共有() A.10 个 B. 9 个 C. 8 个 D.7 个 考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由|log2x|=1,|log2x|=2 分别求出 x 的值,然后写出所有解析式为 f(x)=|log2x|,值 域为{1,2}的定义域得答案. 解答: 解:由|log2x|=1,得 log2x=±1, 当 log2x=1 时,x=2,当 log2x=﹣1 时,x= ; 由|log2x|=2,得 log2x=±2, 当 log2x=2 时,x=4,当 log2x=﹣2 时,x= . ∴满足解析式为 f(x)=|log2x|,值域为{1,2}的“孪生函数”的定义域有: {2,4}、{2, }、{ ,4}、{ , }、{2, ,4}、{2, , }、{2,4, }、{ ,4, }、 {2, ,4, }共 9 个. 故选:B. 点评: 本题是新定义题,考查了函数的定义域及其值域的求法,是基础题.

9. (4 分)如图,已知△ ABC 中,A=90°,B=30°,点 P 在 BC 上运动且满足 取到最小值时,λ 的值为()

=

,当

A.

B.

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示, 建立直角坐标系. 不妨设 BC=4, P (x, 0) , 则A 得 用 = = ,即可解出. . 利用二次函数的单调性可得当 x= 时, . (0≤x≤4) . 可 取到最小值. 利

解答: 解:如图所示,建立直角坐标系. 不妨设 BC=4,P(x,0) ,则 A . (0≤x≤4) .



=

?(4﹣x,0)

=(3﹣x) (4﹣x) 2 =x ﹣7x+12 = 当 x= 时, ∴ ∴ ∴ 解得 λ= . 故选:D. = , =λ(﹣4,0) , , . 取到最小值 .

点评: 本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 10. (4 分)已知 f(x)=log2 b>1) ,则下列判断正确的是() A.f(g(a﹣1) )>f(g(a) ) B. f(g( ) )>f(g( ) ) (其中 x>1) ,g(x)=x ﹣2ax+a +b(其中 x∈R,a>0,
2 2

C. g(f(

) )>g(f(3) ) (其中 a≠0 且 a



D.g(f(

) )>g(f(3) ) (其中 a≠0,且 a≠1)

考点: 命题的真假判断与应用;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 根据复合函数的单调性,先求出函数 f(x)与 g(x)的单调区间,再分别利用函 数的单调性进行判断即可.

解答: 解:∵f(x)=log2 设 t=1+ ,

=log2(1+

) ,

则 t 在(1,+∞)上单调递减, ∴y=f(x)在(1,+∞)上单调递减, ∵g(x)=x ﹣2ax+a +b=(x﹣a) +b, 2 ∴g(x)=(x﹣a) +b,在(﹣∞,a)上单调递减, (a,+∞)上单调递增, 对于 A,∵g(a﹣1)﹣g(a)=1>0,且 g(a)>1,∴g(a﹣1)>g(a)>1, ∵y=f(x)在(1,+∞)单调递减, ∴f(g(a﹣1) )<f(g(a) ,故 A 不正确 对于 B.∵g( ∴f(g( )<g( ) ,且 g( ) ) ,故 B 正确 )>1,
2 2 2

) )>f(g(

对于 C,

=1+

,则 1<

≤2,

∴f(

)>f(3) ,

∵f(3)=1,f(

)>1,

∴无法比较 g(f(

) )与 g(f(3) )的大小,

对于 D,

=1+

,则 1<

≤3,

∴f(

)≥(f(3) ) ,

∵f(3)=1,f(

)≥1

∴无法比较 g(f(

) )>g(f(3) ) (其中 a≠0,且 a≠1)的大小,

故选:B. 点评: 本题考查了利用函数的单调性比较大小,关键是求出函数 f(x)与 g(x)的单调 区间,属于中档题. 二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分)

11. (3 分)已知 2∈,则 m= .

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题;集合. 分析: 利用 2∈{2m﹣1,﹣2},可得 2m﹣1=2,即可求出 m 的值. 解答: 解:∵2∈{2m﹣1,﹣2}, ∴2m﹣1=2, ∴m= , 故答案为: . 点评: 本题考查元素与集合关系,考查学生的计算能力,比较基础.

12. (3 分 )函数 f(x)=log2(2x+3)的定义域为(﹣ ,+∞) .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 解:要使函数有意义,则 2x+3>0,

即 x>﹣ , 故函数的定义域为(﹣ ,+∞) , 故答案为: (﹣ ,+∞) 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 13. (3 分)已知幂函数 f(x)=x ,且 f(4)=2,则 f(6)= 考点: 专题: 分析: 解答:
a a



幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 函数的性质及应用. 利用 f(4)=2 列出方程求出 a 的值,即可求出函数的解析式,再求出 f(6)的值. a 解:因为幂函数 f(x)=x ,且 f(4)=2, = ,

所以 4 =2,解得 a= ,则

所以 f(6)= , 故答案为: . 点评: 本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、函数值,属于基础题.

14. (3 分)若



是两个不共线的向量,已知

=2

+k



=

+3



=2



,若 A,B,D 三点共线,则 k=﹣8.

考点: 向量的共线定理. 专题: 计算题. 分析: 先求出 解答: 解: 因为 A,B,D 三点共线, 所以 = = ﹣4 ,已知 =2 +k , ,利用 A,B,D 三点共线, =(2 ﹣ )﹣( = +3 ,求出 k 即可. )= ﹣4

所以 k=﹣8, 故答案为:﹣8. 点评: 本题考查向量的共线定理,考查运算能力,是基础题. 15. (3 分)已知奇函数 y=f(x)满足当 x<0 时,f(x)=x ,则 ﹣1. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.
2

=

分析: 由已知得

,由此能求出
2

=﹣1.

解答: 解:∵奇函 数 y=f(x)满足当 x<0 时,f(x)=x ,





∴f(1)=﹣1,f(f(1) )=f(﹣1)=1,f(f(f(1) ) )=﹣1,…其规律是法则为奇数层时 为﹣1,为偶数层时函数值为 1 ∴ =﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查函数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意函数性质的合理运用. 16. (3 分)已知定义在上的奇函数 f(x)=a ﹣a (其中 0<a<1) ,若 m 满足 f(m ﹣4m) ≥0,则 m 的取值范围为∪.
x
﹣x

2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数是奇函数,定义域关于原点对称求出 t 的值,然后研究函数 f(x)的单调 性,则即可列出关于 m 的不等式组解之即可. 解答: 解:因为原函数为奇函数,所以 t﹣4+3t=0,解得 t=1,所以定义域为,且 f(0) =0 又 ,因为 0<a<1,所以 lna<0,所以 f′(x)<0,所以函数

在上递减, 2 2 2 则由 f(m ﹣4m)≥0 得 f(m ﹣4m)≥f(0) ,即﹣3≤m ﹣4m≤0, 解得∪. 故答案为∪. 点评: 本题考查了利用函数的奇偶性、 单调性解不等式的问题, 要注意在列不等式组时不 可忽视了定义域. 17. (3 分)已知△ ABC 是边长为 2 的正三角形,以 AC 为直径作半圆 O(如图) ,P 为半圆 上任一点,则 的最大值为 5.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示, 建立直角坐标系 . 取 BC 的中点 D (1, 0) , A (1, 作⊙O 的垂直于 x 轴的切线 MN,切点为 M 得 =2x.即可得出. ) , O , .可

.设 P(x,y) ,则

解答: 解:如图所示, 建立直角坐标系. 取 BC 的中点 D(1,0) ,A(1, 切点为 M 设 P(x,y) ,则 . . ) ,O ,作⊙O 的垂直于 x 轴的切线 MN,



=(2,0)?(x,y)=2x

=5.

故答案为:5.

点评: 本题考查了向量的数量积运算性质、直角三角形的边角关系、圆的性质,考查了变 形能力与计算能力,属于中档题.

18. (3 分)已知函数 f(x)=

,若 f(f(a) )≤0,则实数 a 的取值范围是.

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 令 t=f(a) ,则 f(t)≤0,讨论 t≤1,t>1,解不等式可得﹣1≤f(a)≤1,再由 a≤1, a>1,结合二次不等式的解法和对数不等式的解法,求并集即可得到. 解答: 解:令 t=f(a) , 则 f(t)≤0, 2 当 t≤1 时,有 2t ﹣2≤0, 解得﹣1≤t≤1; 当 t>1 时,lgt≤0, 解得 0<t≤1,不成立. 即有﹣1≤f(a)≤1, 2 当 a≤1 时,﹣1≤2a ﹣2≤1, 解得 则有 ≤a≤ 或﹣ ≤a≤﹣ ≤a≤﹣ , ;

≤a≤1 或﹣

当 a>1 时,有﹣1≤lga≤1, 解得 ≤a≤10,

则有 1<a≤1 0. 综上可得 a 的取值范围是. 故答案为: . 点评: 本题考查分段函数的运用,考查不等式的解法,考查对数函数的单调性的运用,考 查换元法及运算能力,属于中档题和易错题.

三、解答题(共 4 小题,满分 36 分) 19. (8 分)已知全集为 U=R,集合 A={x|x ﹣x﹣2<0},B={x|x(3﹣x)>0},M={x|2x﹣ a<0}. (1)求 A∩(?UB) ; (2)若(A∪B)?M,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)求出集合 A,B,根据集合的基本运算即可求 A∩(?UB) ; (2)根据(A∪B)?M,建立条件关系即可求实数 a 的取值范围 解答: 解: (1)A={x|x ﹣x﹣2<0}={x|﹣1<x<2},B={x|x(3﹣x)>0}={x|0<x<3}, ?UB={x|x≥3 或 x≤0}, 则 A∩(?UB)={x|﹣1<x≤0}; (2)A∪B={x|﹣1<x<3},M={x|2x﹣a<0}={x|x< } 若(A∪B)?M, 则 ,解得 a≥6,
2 2

则实数 a 的取值范围 分析: (1)奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0,即可得到 a; (2)判断 g(x)为偶函数,则有 g(x)>1 等价为 f(x)>1 在时,函数 y=f(x)的最小 值为﹣ b,求 的值.

考点: 二次函数在闭区间上的最值; 函数解析式的求解及常用方法; 函数的最值及其几何 意义;二次函数的性质. 专题: 函数的性 质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)代入 x=1,求得 c=a﹣b,再由 f(﹣1)>0,f( )<0,解不等式即可得证; (2)运用韦达定理和弦长公式,配方求得最小值 2,进而得到 a=b,c=0,再由△ ABC 为等 腰直角三角形,求得 C(1,﹣1) ,即可得到 f(x)的解析式; (3)由于 f(x)的图象的开口向上,则 f(x)在的最小值,可能为顶点或两端点.分别求 f(0)=﹣ b,或 f(1)=﹣ b,或 f( )=﹣ b,再检验对称轴和区间的关系,即可

判断. 解答: (1)证明:f(1)=﹣a,可得 a﹣(3a﹣b)+c=﹣a, 化简得 c=a﹣b,由 x1∈(﹣1, ) ,可得 f(﹣1)>0,f( )<0, 即有 a+(3a﹣b)+c>0 且 a﹣ (3a﹣b)+c<0, 即 5a﹣2b>0,且﹣a﹣2b<0, 解得﹣ < < ;

(2)解:由 f(x)=0 的两根为 x1、x2, 则 x1+x2= 则|AB|=|x1﹣ x2|= = = , ,x1x2= ,

当 =1∈时,|AB|取得最小值,且为 2, 即有 f(x)=ax ﹣2ax+c=ax(x﹣2) ,即有 A(0,0) ,B(2,0) , 则 C 的横坐标为 1,由△ ABC 为等腰直角三角形,则 C(1,﹣1) , 则有﹣1=a?(1﹣2) ,解得 a=1, 故 f(x)=x ﹣2x; (3)解:由于 f(x)的图象的开口向上,则 f(x)在的最小值,可能为顶点处或两端点处. 若 f(x)的最小值为 f(0)=﹣ b,即为 c=﹣ b=a﹣b, 解得 = ,则 f(x)的对称轴为 x= 则区间不为增区间,舍去; 若 f(x)的最小值为 f(1)=﹣ b,即为 a﹣3a+b+c=﹣ b,代入 c=a﹣b, 解得 = ,则 f(x)的对称轴为 x= 则区间不为减区间,舍去; 若 f(x)的最小值为 f( )=﹣ b,即为 = ∈,或 ∈, =﹣ b,代入 c=a﹣b, = ∈, = ∈,
2 2

解得 =2 或 ,则 f(x)的对称轴为 x= 故成立. 综上可得 =2 或 .

点评: 本题考查二次函数的解析式的求法和最值的求法, 主要考查二次方程的韦达定理和 单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键,注意求最值时,讨论最值取得的可 能之处,是简化解题的策略.



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