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2018届高考数学二轮复习求数列通项公式必备的方法和技巧学案含答案(全国通用)


专题 33 求数列通项公式必备的方法和技巧 考纲要求: 1.了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前 n 项和) 2.了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法); 3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,了解数列的分类(按项数分、按项间的大小 等). 基础知识回顾: 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.排在第一位 的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫作首项). 2.数列与函数的关系 (1)从函数观点看, 数列可以看成是以正整数集 (或它的有限子集) 为定义域的函数 an ? f (n) , 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. (2)数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种 表示方法. 3.数列的通项公式: 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示, 那么 这个公式叫做这个数列的通项公式 (提示:不是所有的数列都有通项公式,若有,也不一定 唯一) . 4.数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:数列的前 n 项和通常用 Sn 表示,记作 Sn=a1+a2+… ? ?S1,n=1, ?Sn-Sn-1,n≥2 ? +an,则通项 an=? (提示:若当 n≥2 时求出的 an 也适合 n=1 时的情形,则 用一个式子表示 an,否则分段表示). 5.递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项 an 与它的前一项 an-1(或 前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 应用举例: 类型一:由数列的前几项求数列的通项公式 【例 1】 【2017 贵州省贵阳市一中高三月考】数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公 式是 an 等于( ?-1? +1 A. 2 【答案】D 【解析】令 n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得 D 正确. 【例 2】根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; (3)a,b,a,b,a,b,…(其中 a,b 为实数); 【答案】见解析 1 1 1 1 (2)- , ,- , ,…; 1×2 2×3 3×4 4×5 (4)9,99,999,9 999,…. n ) nπ B.cos 2 n+1 C.cos π 2 n+2 D.cos π 2 类型二、已知递推关系式求通项公式 (1)形如 an+1=anf(n),求 an 【例 3】 【2017 浙江省温州市高三月考试题】在数列{an}中,a1=1,an= 列{an}的通项公式是__________. n-1 an-1(n≥2),则数 n 1 【答案】an= . n 【解析】∵an= n-1 n-2 1 an-1(n≥2),∴an-1= an-2,…,a2= a1.以上(n-1)个式子相乘得 an n n-1 2 1 2 n-1 a1 1 1 =a1· · ·…· = = .当 n=1 时,a1=1,上式也成立.∴an= . 2 3 n n n n (2)形如 an+1=an+f(n),求 an 【例 4】 【2017 河北省定州中学高三月考】在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ 列{an}的通项公式是__________. 【答案】an= 3 ? 1 ,则数 n?n+1? 1 n 【例 5】 【2017 河南郑州一中高三月考】若数列{an}满足:a1=1,an+1=an+2 ,则数列{an}的通 项公


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