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立体几何证明题知识归纳与例题


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立体几何1
一、知识梳理: 1、 直线与平面平行 (1)判定定理: 的一条直线和 的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (2)性质定理:一条直线与平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的 与该直线 2、平面与平面平行 (1)判定定理:一个平面内的两条 都与另一个平面平行,则这两个平面平行。 (2)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线 。 3、直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线与平面内的 直线都垂直,就说该直线与该平面垂直。 (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的 直线垂直。 (3)判定定理:如果一条直线与平面内的 垂直,则这条直线与这个平面垂直。 (4)性质定理:如果两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 4、平面与平面垂直: (1)判定定理:一个平面过另一个平面的 ,则这两个平面互相垂直。 (2)性质定理:两个平面互相垂直,则一个平面内 的直线垂直于另一个平面。 高考体验:



E 、 F 分别 1、如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

D 在 B1C1 上, A1D ? B1C 是A 1B 、 AC 1 的中点,点
求证: (1)EF∥平面 ABC;



? 平面 BB1C1C . (2)平面 A 1FD

1

2.如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、 E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点.
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

D1 A1

C1 B1

(1) 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C.

E1 E A

D F

C B

3 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平 面 PAD ? 平 面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是 等 边 三 角 形 , 已 知 P BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. A M D C B

2

4 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面 ABCD , PD // MA , E 、 G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点,且 AD ? PD ? 2MA . (I)求证:平面 EFG ? 平面 PDC ; (II)求三棱锥 P ? MAB 与四棱锥 P ? ABCD 的体积之比.

5、如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平 面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED,FB= 5a (1)证明:EB ? FD. (2)已知点 Q, R 为线段 FE, FB 上的点, FQ ?

2 FE , 3

FR ?

2 FB ,求平面 BED 与平面 RQD 所成的两面角的正弦值. 3

3

6 、 如 图 , 正 方 形 ABCD 所 在 平 面 与 平 面 四 边 形 ABEF 所 在 平 面 互 相 垂 直 , △ ABE 是 等 腰 直 角 三 角 形 ,

AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45?
(I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P 、 M ,求证: PM ∥ 平面BCE

7、如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC , 求三棱锥 P ? ABC 体积。

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4


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