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高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题


高中数学必修四 知识点归纳 第一:任意角的三角函数

第一章

一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角,与角 相同的角的集合

?? | ? ? 2k? ? ?, k ? z ?
1 2 1 2

终边



弧度制,弧度与角度的换算,

弧长 l

? ? r 、扇形面积 s ? lr ? ? r 2 ,
x2 ? y 2

二: 任意角的三角函数定义: 任意角 ? 的终边上任意取一点 p 的坐标是 (x, y) , 它与原点的距离是 r ? (r>0),那么角 ? 的正弦 sin a ? 数值的函数。 三:同角三角函数的关系式与诱导公式:

y x y 、余弦 cos a ? 、正切 tan a ? ,它们都是以角为自变量,以比值为函 r r x

1.平方关系:

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
sin ? ? tan ? cos ?

2. 商数关系:

3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。

正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

解析式 定义域

y=sinx

y=cosx

y ? tan x

y?
当x? 值域和最值 ,

y?
当x? ,

y取最小值- 1
当x? , y取最大值1

y取最小值- 1
当x? ,

y?
无最值

y取最大值1
T ? 2?
偶函数

周期性 奇偶性

T ? 2?
奇函数 在

T ??
奇函数

?2k? ? ?2 , ? 2k? ? ? 2
k ?Z
单调性 上是增函数 在

2k? ? k ? Z 上是增 在 ?2k? ? ?,
函数 在 ? k? ?

?2k? ? 2 , 2k? ? ?
?
3? 2

2k? ? ? ? k ? Z 上是减 在 ?2k?,
函数

? ?

?
2

, k? ?

??

? k ?Z 2?

上为增函数

k ?Z
上是减函数 对称中心 对称中心 (k?

(k? ,0)
对称性

k ?Z

?? 2 ,0) k ? Z

对称中心 (k? ,0) 或者 对称中心 (k?

k ?Z

对称轴方程 x ? k? , k ? Z

对称轴方程

x ? k? ? ? 2 ,
k ?Z

?? 2 ,0) k ? Z

2、熟练求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五点法作

y ? A sin(? x ? ? ) 简图:五点分别为:
、 、 、 、 。

3、图象的基本变换:相位变换: y ? sin x ? y ? sin( x ? ? )

周期变换: y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin(? x ? ? ) 振幅变换: y ? sin(? x ? ? ) ? y ? A sin(? x ? ? ) 4、求函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的解析式:即求 A 由最值确定,ω 有周期确定,φ 有特殊点确定。
基础练习: 1、 tan(?600? ) ? .
sin 225 ? ?


2

2、已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该圆心角是 1 弧度,则扇形的面积= cm . 3、设 a<0,角α 的终边经过点 P(-3a,4a),那么 sinα +2cosα 的值等于 4、函数

y ? 2cos x ?1 的定义域是_____
2

__ 。

5、 .化简 1 ? sin 150? 的结果是

? ) 的图象-------( ) 3 ? ? ? ? (A)向左平移个 单位 (B)向右平移个 单位(C)向左平移个 单位 (D)向右平移个 单位 6 6 3 3
6、函数 y ? 3 sin 2 x 的图象可以看成是将函数 y ? 3 sin( 2 x ? 7、已知 sin ? ? 0, tan? ? 0 ,那么 ? 是 。

8.已知点 P(tanα ,cosα )在第三象限,则角α 的终边在 9、下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin(2 x ? )

10、下列函数中,周期为 ? 的偶函数是( A. y ? cos x B. y ? sin 2 x

? 3

B. y ? sin(2 x ? )

? 6

? 对称的是( ) 3 ? x ? C. y ? sin(2 x ? ) D. y ? sin( ? ) 6 2 3
) C. y ? tan x D. y ? sin(2 x ?

?
2

)

解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 第一类型:1、已知角 ? 终边上一点 P(-4,3) ,求 的值 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

2.已知 ? 是第二象限角, f (? ) ?

sin(? ? ? ) tan(?? ? ? ) . sin(? ? ? )cos(2? ? ? ) tan(?? )

(1)化简 f (? ) ; (2)若 sin(? ?

3? 1 ) ? ? ,求 f (? ) 的值. 2 3

3.已知 tan ? ? 3 ,求下列各式的值: (1)

4sin ? ? cos? 1 ; (2) . 3sin ? ? 5cos? 2sin ? cos? ? cos2 ?

第二类型: 1.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象 如右图所示,如果 A ? 0, ? ? 0,| ? |? (1)求此函数的周期及最大值和最小值 (2)求这个函数函数解析式

?
2



第三类型:1.已知函数 y ?

1 ? 5 sin( 2 x ? ) ? 2 6 4

(1)求函数的单调递增区间; (2)求出函数的对称中心和对称轴方程. (3) 写出 y=sinx 图象如何变换到 y ?

1 ? 5 sin(2 x ? ) ? 的图象 2 6 4



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