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黑龙江省绥化市2013年中考数学试卷(word版,含答案)


黑龙江省绥化市 2013 年中考数学试卷
一、填空题(共 11 小题,每小题 3 分,满分 33 分) 1.按 如图所示的程序计算.若输入 x 的值为 3,则输出的值为 ﹣3 .

2.函数 y=

中自变量 x 的取值范围是 x>3 .

3.如图,A,B,C 三点在同一条直线上,∠ A=∠ C=90°,AB=CD,请添加一个适当的条件 AE=CB ,使得△ EAB≌ △ BCD.

4.在九张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3,4,从中任 意抽取一张卡片,则所抽卡片上数字的绝对值不大于 2 的概率是 .

5.计算:

=



6.由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示,则组成这个几何 体的小正方体的个数可能是 4 或 5 .

7.如图,在⊙ O 中,弦 AB 垂直平分半径 OC,垂足为 D,若⊙ O 的半径为 2,则弦 AB 的长 为 2 .

8.如图所示,以 O 为端点画六条射线后 OA,OB,OC,OD,OE,O 后 F,再从射线 OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线,若将各条射线所描的点依次记为 1,2, 3,4,5,6,7,8…后,那么所描的第 2013 个点在射线 OC 上.

9.某班组织 20 名同学去春游,同时租用两种型号的车辆,一种车每辆有 8 个座位,另一种 车每辆有 4 个座位.要求租用的车辆不留空座,也不能超载.有 2 种租车方案.
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

10.若关于 x 的方程

=

+1 无解,则 a 的值是 2 .

11.直角三角形两直角边长是 3cm 和 4cm,以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到 的几何体的表面积是 24π,36π, π cm . (结果保留 π)
2

二、选择题(共 9 小题,每小题 3 分,满分 27 分) 。 12.下列计算正确的是( D ) A.a3?a3=2a3 B.a2+a2=2a4 C.a8÷a4=a2

D.(﹣2a ) =﹣8a

2

3

6

13.下列几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( B ) A.等边三角形 B.矩形 C.平行四边形 D.等腰梯形 14.如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别是边 AD, AB 的中点,EF 交 AC 于点 H,则 的值为( C )

A.1

B.

C.

D.

15.对于反比例函数 y= ,下列说法正确的是( D ) A.图象经过点(1,﹣3) C. x>0 时,y 随 x 的增大而增大 B. 图象在第二、四象限 D.x<0 时,y 随 x 增大而减小

16.在一次献爱心的捐赠活动中,某班 45 名同学捐款金额统计如下: 30 35 50 100 金额(元) 20 10 5 15 10 学生数(人)5 在这次活动中,该班同学捐款金额的众数和中位数分别是( C ) A.30,35 B.50,35 C.50,50 D.15,50

[来源:学科网 ZXXK]

17.如图,在平面直角坐标系中,长、宽分别为 2 和 1 的矩形 ABCD 的边上有一动点 P, 沿 A→B→C→D→A 运动一周, 则点 P 的纵坐标 y 与 P 所走过的路程 S 之间的函数关系用图 象表示大致是( D )

A.

B.

C.

D.

18.如图,点 A,B,C,D 为⊙ O 上的四个点,AC 平分∠ BAD,AC 交 BD 于点 E,CE=4, CD=6,则 AE 的长为( B )

A.4

B.5

C.6

D.7

19.已知:如图在△ ABC,△ ADE 中,∠ BA C=∠ DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点 C,D,E 三点在同一条直线上,连接 BD,BE.以下四个结论: ① BD=CE;② BD⊥ CE;③ ∠ ACE+∠ DBC=45°;④ BE =2(AD +AB ) , 其中结论正确的个数是( C )
2 2 2

A.1

B.2

C.3

D.4

20.如图,在 Rt△ ABC 中 ,∠ C=90°,AC=

,BC=1,D 在 AC 上,将△ ADB 沿直线 BD 翻

折后, 点 A 落在点 E 处, 如果 AD⊥ ED, 那么△ ABE 的面积是 ( A ) A.1 B. C. D.

三、解答题(共 8 小题,满分 60 分) 21.如图,在△ ABC 中,AD⊥ BC 于点 D,AB=8,∠ ABD=30°,∠ CAD=45°,求 BC 的长.

解答: 解:∵ AD⊥ BC 于点 D, ∴ ∠ ADB=∠ ADC=90°. 在 Rt△ ABD 中,∵ AB=8,∠ ABD=30°, ∴ AD= AB=4,BD= AD=4 .

在 Rt△ ADC 中,∵ ∠ CAD=45°,∠ ADC=90°, ∴ DC=AD=4, ∴ BC=BD+DC=4 +4. 22.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点 叫格点,△ ABC 的顶点均在格点上,请按要求完成下列步骤: (1)画出将△ ABC 向右平移 3 个单位后得到的△ A1B1C1,再画出将△ A1B1C1 绕点 B1 按逆时 针方向旋转 90°后所得到的△ A2B1C2; (2)求线段 B1C1 旋转到 B1C2 的过程中,点 C1 所经过的路径长.

解答: 解: (1)如图所示: (2)点 C1 所经过的路径长为: =2π.

23.为了解今年全县 2000 名初四学生“创新能力大赛” 的笔试情况.随机抽取了部分参赛同 学的成绩,整理并制作如图所示的图表(部分未完成) .请你根据表中提供的信息,解答下 列问题: (1)此次调查的样本容量为 300 ; (2)在表中:m= 120 ;n= 0.3 ; (3)补全频数分布直方图; (4)如果比赛成绩 80 分以上(含 80 分)为优秀,那么你估计该县初四学生笔试成绩的优 秀人数大约是 1200 名. 分数段 频数 频率 30 0.1 60≤x<70 90 n 70≤x<80 m 0.4 80≤x<90 60 0.2 90≤x<100
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

解答: 解: (1)样本容量是:30÷0.1=300; (2)m=300×0.4=120,n= =0.3;

(3)画图如下:

(4)2000×(0.4+0.2)=1200(人) . 24.如图,已知抛物线 y= (x﹣2) (x+a) (a>0)与 x 轴交于点 B、C,与 y 轴交于点 E, 且点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线过点 M(﹣2,﹣2) ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,解答下列问题; ① 求出△ BCE 的面积; ② 在抛物线的对称轴上找一点 H,使 CH+EH 的值最小,直接写出点 H 的坐标.

解答: 解: (1)将 M(﹣2,﹣2)代入抛物线解析式得:﹣2= (﹣2﹣2) (﹣2+a) , 解得:a =4; (2)① 由(1)抛物线解析式 y= (x﹣2) (x+4) , 当 y=0 时,得:0= (x﹣2) (x+4) , 解得:x1=2,x2=﹣4, ∵ 点 B 在点 C 的左侧, ∴ B(﹣4,0) ,C(2,0) , 当 x=0 时,得:y=﹣2,即 E(0,﹣2) , ∴ S△BCE= ×6×2=6;

② 由抛物线解析式 y= (x﹣2) (x+4) ,得对称轴为直线 x=﹣1, 根据 C 与 B 关于抛物线对称轴直线 x=﹣1 对称,连接 BE,与对称轴交于点 H,即为 所求, 设直线 BE 解析式为 y=kx+b, 将 B(﹣4,0)与 E(0,﹣2)代入得: ,

解得:



∴ 直线 BE 解析式为 y=﹣ x﹣2, 将 x=﹣1 代入得:y= ﹣2=﹣ , 则 H(﹣1,﹣ ) .

25. 2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川汶川发生里氏 8.0 级强力地震.某市接到上级通知, 立即派出甲、 乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 千米的灾区. 乙组由于 要携带一些救灾物资,比甲组迟出发 1.25 小时(从甲组出发时开始计时) .图中的折线、线 段分别表示甲、乙两组的所走路程 y 甲(千米) 、y 乙(千米)与时间 x(小时)之间的函数 关系对应的图象.请根据图象所提供的信息,解决下列问题: (1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了 小时; (2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区.请问甲组的汽车在排除故障时,距出发 点的路程是多少千米? (3)为了保证及时联络,甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过 25 千米,请通过计算说明,按图象所表示的走法是否符合约定?

解答: 解: (1)1.9; (2 分) (2)设直线 EF 的解析式为 y 乙=kx+b ∵ 点 E(1.25,0) 、点 F(7.25,480)均在直线 EF 上 ∴ 解得 (3 分) ∴ 直线 EF 的解 析式是 y 乙=80x﹣100; (4 分)

∵ 点 C 在直线 EF 上,且点 C 的横坐标为 6, ∴ 点 C 的纵坐标为 80×6﹣100=380; ∴ 点 C 的坐标是(6,380) ; (5 分) 设直线 BD 的解析式为 y 甲=mx+n; ∵ 点 C(6,380) 、点 D(7,480)在直线 BD 上, ∴ 解得 ; (6 分) ;∴ BD 的解析式是 y 甲=100x﹣220; (7 分)

∵ B 点在直线 BD 上且点 B 的横坐标为 4.9,代入 y 甲得 B(4.9,270) , ∴ 甲组在排除故障时,距出发点的路程是 270 千米. (8 分) (3)符合约定; 由图象可知:甲、乙两组第一次相遇后在 B 和 D 相距最远. 在点 B 处有 y 乙﹣y 甲=80×4.9﹣100﹣(100×4.9﹣220)=22 千米<25 千米(10 分) 在点 D 有 y 甲﹣y 乙=100×7﹣220﹣(80×7﹣100)=20 千米<25 千米(11 分) ∴ 按图象所表示的走法符合约定. (12 分) 26.已知,在△ AB C 中,∠ BAC=90°,∠ ABC=45°,点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与点 B, C 重合) .以 AD 为边做正方形 ADEF,连接 CF (1)如图 1,当点 D 在线段 BC 上时.求证 CF+CD=BC;

(2)如图 2,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,其他条件不变,请直接写出 CF,BC,CD 三条线段之间的关系; (3)如图 3,当点 D 在线段 BC 的反向延长 线上时,且点 A,F 分别在直线 BC 的两侧, 其他条件不变; ① 请直接写出 CF,BC,CD 三条 线段之间的关系; ② 若正方形 ADEF 的边长为 2 ,对角线 AE,DF 相交于点 O,连接 OC.求 OC 的长度.

解答: 证明: (1)∵ ∠ BAC=90°,∠ ABC=45°, ∴ ∠ ACB=∠ ABC=45°, ∴ AB=AC, ∵ 四边形 ADEF 是正方形, ∴ AD=AF,∠ DAF=90°, ∵ ∠ BAD=90°﹣∠ DAC,∠ CAF=90°﹣∠ DAC, ∴ ∠ BAD=∠ CAF, 则在△ BAD 和△ CAF 中, , ∴ △ BAD≌ △ CAF(SAS) , ∴ BD=CF, ∵ BD+CD=BC, ∴ CF+CD=BC; (2)CF﹣CD=BC; (3)① CD﹣CF=BC ② ∵ ∠ BAC=90°,∠ ABC=45°, ∴ ∠ ACB=∠ ABC=45°, ∴ AB=AC, ∵ 四边形 ADEF 是正方形, ∴ AD=AF, ∠ DAF=90°, ∵ ∠ BAD=90°﹣∠ BAF,∠ CAF=90°﹣∠ BAF, ∴ ∠ BAD=∠ CAF, ∵ 在△ BAD 和△ CAF 中,

∴ △ BAD≌ △ CAF(SAS) , ∴ ∠ ACF=∠ ABD, ∵ ∠ ABC=45°, ∴ ∠ ABD=135°, ∴ ∠ ACF=∠ ABD=135°, ∴ ∠ FCD=90°, ∴ △ FCD 是直角三角形. ∵ 正方形 ADEF 的边长为 2 且对角线 AE、DF 相交于点 O. ∴ DF= AD=4,O 为 DF 中点.
[来源:Z&xx&k.Com]

∴ OC= DF=2.

27. 为了迎接“十?一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、 乙两种运动鞋. 其 中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表: 运动鞋 甲 乙 价格 m 进价(元/双) m﹣20 240 160 售价(元/双)
[来源:学科网 ZXXK]

已知:用 3000 元购进甲种运动鞋的数量与用 2400 元购进乙种运动鞋的数量相同. (1)求 m 的值; (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共 200 双的总利润(利润=售价﹣进价)不少于 21700 元,且不超过 22300 元,问该专卖店有几种进货方案? (3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每 双优惠 a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如 何进货? 解答: 解: (1)依题意得, = ,

整理得,3000(m﹣20)=2400m, 解得 m=100, 经检验,m=100 是原分式方程的解, 所以,m=100; (2)设购进甲种运动鞋 x 双,则乙种运动鞋(200﹣x)双, 根据题意得, 解不等式① 得,x≥95, 解不等式② 得,x≤105, 所以,不等式组的解集是 95≤x≤105, ∵ x 是正整数,105﹣95+1=11, ,

∴ 共有 11 种方案; (3) 设总利润为 W, 则 W= (140﹣a) x+80 (200﹣x) = (60﹣a) x+16000 (95≤x≤105) , ① 当 50<a<60 时,60﹣a>0,W 随 x 的增大而增大, 所以,当 x=105 时,W 有最大值, 即此时应购进甲种运动鞋 105 双,购进乙种运动鞋 95 双; ② 当 a=60 时,60﹣a=0,W=16000, (2)中所有方案获利都一样; ③ 当 60<a<70 时,60﹣a<0,W 随 x 的增大而减小, 所以,当 x=95 时,W 有最大值, 即此时应购进甲种运动鞋 95 双,购进乙种运动鞋 105 双. 28.如图,直线 MN 与 x 轴,y 轴分别相交于 A,C 两点,分别过 A,C 两点作 x 轴,y 轴 的垂线相交于 B 点,且 OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程 x ﹣14x+48=0 的两 个实数根. (1)求 C 点坐标; (2)求直线 MN 的解析式; (3)在直线 MN 上存在点 P,使以点 P,B,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接 写出 P 点的坐标.
2

解答: 解: (1)解方程 x ﹣14x+48=0 得 x1=6,x2=8. 2 ∵ OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次 方程 x ﹣14x+48=0 的两个实数根, ∴ OC=6,OA=8. ∴ C(0,6) ; (2)设直线 MN 的解析式是 y=kx+b(k≠0) . 由(1)知,OA=8,则 A(8,0) . ∵ 点 A、C 都在直线 MN 上, ∴ ,

2

解得,



∴ 直线 MN 的解析式为 y=﹣ x+6;

(3)∵ A(8,0) ,C(0,6) , ∴ 根据题意知 B(8,6) . ∵ 点 P 在直线 MNy=﹣ x+6 上, ∴ 设 P(a,﹣ a+6) 当以点 P,B,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时,需要分类讨论: ① 当 PC=PB 时,点 P 是线段 BC 的中垂线与直线 MN 的交点,则 P1(4,3) ; ② 当 PC=BC 时,a +(﹣ a+6﹣6) =64, 解得,a= ,则 P2(﹣
2 2 2



) ,P3(
2

, ) ;

③ 当 PB=BC 时, (a﹣8) +(﹣ a+6﹣6) =64, 解得,a= ,则﹣ a+6=﹣ ,∴ P4 ( ,﹣ ) . , )P3( , ) ,P4( ,

综上所述,符合条件的点 P 有:P1(4,3) ,P2(﹣ ﹣ ) .

黑龙江省绥化市 2013 年中考数学试卷
一、填空题(共 11 小题,每小题 3 分,满分 33 分) 1. (3 分) (2013?绥化) 按如图所示的程序计算. 若输入 x 的值为 3, 则输出的值为 ﹣3 .

考点: 代数式求值. 专题: 图表型. 分析: 根据 x 的值是奇数,代入下边的关系式进行计算即可得解. 解答: 解:x=3 时,输出的值为﹣x=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题考查了代数式求值,准确选择关系式是解题的关键. 2. (3 分) (2013?绥化)函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 x>3 .

考点: 函数自变量的取值范围;分式有意义的条件;二次根式有意义的条件. 专题: 计算题. 分析: 根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于 0,分母不等于 0,列不等式 即可求解. 解答: 解:依题意,得 x﹣3>0, 解得 x>3. 点评: 本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时, 考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数是非负数. 3. (3 分) (2013?绥化)如图,A,B,C 三点在同一条直线上,∠ A=∠ C=90°,AB=CD,请 添加一个适当的条件 AE=CB ,使得△ EAB≌ △ BCD.

考点: 全等三角形的判定. 专题: 开放型. 分析: 可以根据全等三角形的不同的判定方法添加不同的条件. 解答: 解:∵ ∠ A=∠ C=90°,AB=CD,

∴ 若利用“SAS”,可添加 AE=CB, 若利用“HL”,可添加 EB=BD, 若利用“ASA”或“AAB”,可添加∠ EBD=90°, 若添加∠ E=∠ DBC,看利用“AAS”证明. 综上所述,可添加的条件为 AE=CB(或 EB=BD 或∠ EBD=90°或∠ E=∠ DBC 等) . 故答案为:AE=CB. 点评: 本题主要考查了全等三角形的判定,开放型题目,根据不同的三角形全等的判定方法 可以选择添加的条件也不相同. 4. (3 分) (2013?绥化)在九张质地都相同的卡片上分别写有数字﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0, 1,2,3,4,从中任意抽取一张卡片,则所抽卡片上数字的绝对值不大于 2 的概率是 .

考点: 概率公式. 分析: 让绝对值不大于 2 的数的个数除以数的总数即为所抽卡片上数字的绝对值小于 2 的概 率. 解答: 解:∵ 数的总个数有 9 个,绝对值不大于 2 的数有﹣2,﹣1,0,1,2 共 5 个,
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∴ 任意抽取一张卡片,则所抽卡片上数字的绝对值不大于 2 的概率是 . 故答案为 . 点评: 本题考查概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.得到绝对 值不大于 2 的数的个数是解决本题的易错点.

5. (3 分) (2013?绥化)计算:

=



考点: 分式的加减法. 分析: 首先通分,然后根据同分母的分式加减运算法则求解即可求得答案.注意运算结果需 化为最简. 解答: 解:

= = =



=



故答案为:



点评: 此题考查了分式的加减运算法则.此题比较简单,注意运算要细心,注意运算结果需 化为最简. 6. (3 分) (2013?绥化)由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所 示,则组成这个几何体的小正方体的个数可能是 4 或 5 .

考点: 由三视图判断几何体. 分析: 易得这个几何体共有 2 层,由俯视图可得第一层立方体的个数,由主视图可得第二层 立方体的可能的个数,相加即可. 解答: 解:由俯视图易得最底层有 3 个立方体,由主视图可得第二层左边第一列有 1 个正方 体或 2 个正方体,那么共有 4 或 5 个正方体组成. 点评: 考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力, 同时也体现了对空间想象能力方面的考 查. 7. (3 分) (2013?绥化)如图,在⊙ O 中,弦 AB 垂直平分半径 OC,垂足为 D,若⊙ O 的半 径为 2,则弦 AB 的长为 2 .

考点: 垂径定理;勾股定理. 专题: 计算题. 分析: 连接 OA, 由 AB 垂直平分 OC, 求出 OD 的长, 再利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点, 在直角三角形 AOD 中,利用垂径定理求出 AD 的长,即可确定出 AB 的长. 解答: 解:连接 OA,由 AB 垂直平分 OC,得到 OD= OC=1, ∵ OC⊥ AB, ∴ D 为 AB 的中点, 则 AB=2AD=2 故答案为:2 . =2 =2 .

点评: 此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理是解本题的关键. 8. (3 分) (2013?绥化)如图所示,以 O 为端点画六条射线后 OA,OB,OC,OD,OE,O 后 F,再从射线 OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线,若将各条射线所描 的点依次记为 1,2,3,4,5,6,7,8…后,那么所描的第 2013 个点在射线 OC 上.

考点: 规律型:图形的变化类. 分析: 根据规律得出每 6 个数为一周期.用 2013 除以 3,根据余数来决定数 2013 在哪条射 线上. 解答: 解:∵ 1 在射线 OA 上, 2 在射线 OB 上, 3 在射线 OC 上, 4 在射线 OD 上, 5 在射线 OE 上, 6 在射线 OF 上, 7 在射线 OA 上, … 每六个一循环, 2013÷6=335…3, ∴ 所描的第 2013 个点在射线和 3 所在射线一样, ∴ 所描的第 2013 个点在射线 OC 上. 故答案为:OC. 点评: 此题主要考查了数字变化规律,根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键. 9. (3 分) (2013?绥化)某班组织 20 名同学去春游,同时租用两种型号的车辆,一种车每 辆有 8 个座位,另一种车每辆有 4 个座位.要求租用的车辆不留空座,也不能超载.有 2 种租车方案.

考点: 二元一次方程的应用. 分析: 设租用每辆 8 个座位的车 x 辆,每辆有 4 个座位的车 y 辆,根据车座位数等于学生的 人数列出二元一次方程,再根据 x、y 都是正整数求解即可. 解答: 解:设租用每辆 8 个座位的车 x 辆,每辆有 4 个座位的车 y 辆, 根据题意得,8x+4y=20, 整理得,2x+y=5, ∵ x、y 都是正整数, ∴ x=1 时,y=3, x=2 时,y=1, x=3 时,y=﹣1(不符合题意,舍去) , 所以,共有 2 种租车方案. 故答案为:2. 点评: 本题考查了二元一次方程的应用,解题的关键在于车辆数是正整数.
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10. (3 分) (2013?绥化)若关于 x 的方程

=

+1 无解,则 a 的值是 2 .

考点: 分式方程的解. 分析: 把方程去分母得到一个整式方程,把方程的增根 x=2 代入即可求得 a 的值. 解答: 解:x﹣2=0,解得:x=2. 方程去分母,得:ax=4+x﹣2, 把 x=2 代入方程得:2a=4+2﹣2, 解得:a=2. 故答案是:2. 点评: 首先根据题意写出 a 的新方程,然后解出 a 的值. 11. (3 分) (2013?绥化)直角三角形两直角边长是 3cm 和 4cm,以该三角形的边所在直线 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是 24π,36π, π cm . (结果保留 π)
2

考点: 圆锥的计算;点、线、面、体. 专题: 分类讨论. 分析: 先利用勾股定理进行出斜边=5(cm) ,然后分类讨论:当以 3cm 的边所在直线为轴旋 转一周时;当以 4cm 的边所在直线为轴旋转一周时;当以 5cm 的边所在直线为轴旋 转一周时,再利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算即可. 解答: 解:三角形斜边= =5(cm) , 当以 3cm 的边所在直线为轴旋转一周时,其所得到的几何体的表面积 =π?4 + ?5?2π?4=36π(cm ) ; 当以 4cm 的边所在直线为轴旋转一周时,其所得到的几何体的表面积 =π?3 + ?5?2π?3=24π(cm ) ; 当以 5cm 的边所在直线为轴旋转一周时,其所得到的几何体为共一个底面的两圆锥,
2 2 2 2

其底面圆的面积= (cm ) .
2

cm,所以此几何体的表面积= ?2π?

?3+ ?2π?

?4=

π

故答案为 24π,36π,

π.

点评: 本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为扇形,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周 长,扇形的半径等于圆锥的母线长. 二、选择题(共 9 小题,每小题 3 分,满分 27 分) 12. (3 分) (2013?绥化)下列计算正确的是( ) 3 3 3 2 2 4 8 4 2 A.a ?a =2a B.a +a =2a C.a ÷a =a

D.(﹣2a ) =﹣8a

2

3

6

考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方. 分析: 利用同底数的幂的乘法、除法以及合并同类项的法则即可求解. 3 3 6 解答: 解:A、a ?a =a ,选项错误;
2 2 2

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B、a +a =2a ,选项错误; 8 4 4 C、a ÷a =a ,选项错误; D、正确. 故选 D. 点评: 本题考查同底数幂的除法,合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方很容易混淆,一 定要记准法则才能做题. 13. (3 分) (2013?绥化)下列几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A.等边三角形 B.矩形 C.平行四边形 D.等腰梯形 )

考点: 中心对称图形;轴对称图形. 分析: 根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解. 解答: 解:A、此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; B、此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确; C、此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误; D、此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误. 故选 B. 点评: 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.判断轴对称图形的关键是寻找对称 轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;判断中心对称图形是要寻找对称中心,图形 旋转 180 度后与原图形重合.
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14. (3 分) (2013?绥化)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别是边 AD,AB 的中点,EF 交 AC 于点 H,则 的值为( )

A.1

B.

C.

D.

考点: 三角形中位线定理;平行四边形的性质. 分析: 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 H 是 AO 的中点, 再根 据平行四边形的对角线互相平分可得 AO=CO,然后求出 CH=3AH,再求解即可. 解答: 解:∵ 点 E,F 分别是边 AD,AB 的中点, ∴ AH=HO, ∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O, ∴ AO=CO, ∴ CH=3AH, ∴ = . 故选 C. 点评: 本题考查了平行四边形对角线互相平分的性质, 三角形的中位线平行于第三边并且等 于第三边的一半,熟记各性质是解题的关键.

15. (3 分) (2013?绥化)对于反比例函数 y= ,下列说法正确的是( A.图象经过点(1,﹣3) C. x>0 时,y 随 x 的增大而增大



B. 图象在第二、四象限 D.x<0 时,y 随 x 增大而减小

考点: 反比例函数的性质. 分析: 根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得 出即可. 解答: 解:A、∵ 反比例函数 y= ,∴ xy=3,故图象经过点(1,3) ,故此选项错误; B、∵ k>0,∴ 图象在第一、三象限,故此选项错误; C、∵ k>0,∴ x>0 时,y 随 x 的增大而减小,故此选项错误; D、∵ k>0,∴ x<0 时,y 随 x 增大而减小,故此选项正确. 故选:D. 点评: 此题主要考查了反比例函数的性质,根据解析式确定函数的性质是解题关键. 16. (3 分) (2013?绥化)在一次献爱心的捐赠活动中,某班 45 名同学捐款金额统计如下: 30 35 50 100 金额(元) 20 10 5 15 10 学生数(人)5 在这次活动中,该班同学捐款金额的众数和中位数分别是( ) A.30,35 B.50,35 C.50,50 D.15,50 考点: 众数;中位数. 分析: 根据众数、中位数的定义,结合表格数据进行判断即可. 解答: 解:捐款金额学生数最多的是 50 元, 故众数为 50; 共 45 名学生,中位数在第 23 名学生处,第 23 名学生捐款 50 元,

故中位数为 50; 故选 C. 点评: 本题考查了众数及中位数的知识,解答本题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义. 17. (3 分) (2013?绥化)如图,在平面直角坐标系中,长、宽分别为 2 和 1 的矩形 ABCD 的边上有一动点 P,沿 A→B→C→D→A 运动一周,则点 P 的纵坐标 y 与 P 所走过的路程 S 之间的函数关系用图象表示大致是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 动点问题的函数图象. 分析: 根据则点 P 的纵坐标 y 随点 P 走过的路程 s 之间的函数关系图象可以分为 4 部分, 当 P 点在 AB 上,当 P 点在 BC 上,当 P 点在 CD 上,点 P 在 AD 上即可得出图象. 解答: 解:∵ 长、宽分别为 2 和 1 的矩形 ABCD 的边上有一动点 P,沿 A→B→C→D→A 运动 一周, 则点 P 的纵坐标 y 随点 P 走过的路程 s 之间的函数关系图象可以分为 4 部分, ∴ P 点在 AB 上,此时纵坐标越来越小,最小值是 1, P 点在 BC 上,此时纵坐标为定值 1. 当 P 点在 CD 上,此时纵坐标越来越大,最大值是 2, P 点在 AD 上,此时纵坐标为定值 2. 故选 D. 点评: 此题主要考查了动点问题的函数图象问题, 解决问题的关键是分解函数得出不同位置 时的函数关系,进而得出图象. 18. (3 分) (2013?绥化)如图,点 A,B,C,D 为⊙ O 上的四个点,AC 平分∠ BAD,AC 交 BD 于点 E,CE=4,CD=6,则 AE 的长为( )

A.4

B.5

C.6

D.7

考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;相似三角形的判定与性质. 分析: 根据圆周角定理∠ CAD=∠ CDB,继而证明△ ACD∽ △ DCE,设 AE=x,则 AC=x+4,利用 对应边成比例,可求出 x 的值. 解答: 解:设 AE=x,则 AC=x+4,

∵ AC 平分∠ BAD, ∴ ∠ BAC=∠ CAD, ∵ ∠ CDB=∠ BAC(圆周角定理) , ∴ ∠ CAD=∠ CDB, ∴ △ ACD∽ △ DCE, ∴ = ,即 = ,

解得:x=5. 故选 B. 点评: 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是得出 ∠ CAD=∠ CDB,证明△ ACD∽ △ DCE. 19. (3 分) (2013?绥化) 已知: 如图在△ ABC, △ ADE 中, ∠ BAC=∠ DAE=90°, AB=AC, AD=AE, 点 C,D,E 三点在同一条直线上,连接 BD,BE.以下四个结论: ① BD=CE;② BD⊥ CE;③ ∠ ACE+∠ DBC=45°;④ BE =2(AD +AB ) , 其中结论正确的个数是( )
2 2 2

A.1

B.2

C.3

D.4

考点: 全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形. 专题: 计算题. 分析: ① 由 AB=AC,AD=AE,利用等式的性质得到夹角相等,利用 SAS 得出三角形 ABD 与三角形 AEC 全等,由全等三角形的对应边相等得到 BD=CE,本选项正确; ② 由三角形 ABD 与三角形 AEC 全等,得到一对角相等,再利用等腰直角三角形的性 质及等量代换得到 BD 垂直于 CE,本选项正确; ③ 由等腰直角三角形的性质得到∠ ABD+∠ DBC=45°,等量代换得到∠ ACE+∠ DBC=45°, 本选项正确; ④ 由 BD 垂直于 CE,在直角三角形 BDE 中,利用勾股定理列出关系式,等量代换即 可作出判断. 解答: 解:① ∵ ∠ BAC=∠ DAE=90°, ∴ ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD,即∠ BAD=∠ CAE, ∵ 在△ BAD 和△ CAE 中, , ∴ △ BAD≌ △ CAE(SAS) , ∴ BD=CE,本选项正确; ② ∵ △ BAD≌ △ CAE,

∴ ∠ ABD=∠ ACE, ∵ ∠ ABD+∠ DBC=45°, ∴ ∠ ACE+∠ DBC=45°, ∴ ∠ DBC+∠ DCB=∠ DBC+∠ ACE+∠ ACB=90°, 则 BD⊥ CE,本选项正确; ③ ∵ △ ABC 为等腰直角三角形, ∴ ∠ ABC=∠ ACB=45°, ∴ ∠ ABD+∠ DBC=45°, ∵ ∠ ABD=∠ ACE ∴ ∠ ACE+∠ DBC=45°,本选项正确; ④ ∵ BD⊥ CE, ∴ 在 Rt△ BDE 中,利用勾股定理得:BE =BD +DE , ∵ △ ADE 为等腰直角三角形, 2 2 ∴ DE= AD,即 DE =2AD , 2 2 2 2 2 ∴ BE =BD +DE =BD +2AD , 2 2 而 BD ≠2AB ,本选项错误, 综上,正确的个数为 3 个. 故选 C 点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,以及等腰直角三角形的性质,熟练 掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键. 20. (3 分) (2013?绥化)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,AC= ,BC=1,D 在 AC 上,将 △ ADB 沿直线 BD 翻折后,点 A 落在点 E 处,如果 AD⊥ ED,那么△ ABE 的面积是( )
2 2 2

A.1

B.

C.

D.

考点: 翻折变换(折叠问题) . 分析: 先根据勾股定理计算出 AB=2, 根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到∠ BAC=30°, 在根据折叠的性质得 BE=BA=2, ∠ BED=∠ BAD=30°, DA=DE, 由于 AD⊥ ED 得 BC∥ DE, 所以∠ CBF=∠ BED=30°,在 Rt△ BCF 中可计算出 CF= ,在 Rt△ DEF 中计算出 FD=1﹣ ,ED= ,BF=2CF= ,则 EF=2﹣

﹣1,然后利用

S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE 计算即可. 解答: 解:∵ ∠ C=90°,AC= ,BC=1,

∴ AB=

=2,

∴ ∠ BAC=30°, ∵ △ ADB 沿直线 BD 翻折后,点 A 落在点 E 处, ∴ BE=BA=2,∠ BED=∠ BAD=30°,DA=DE, ∵ AD⊥ ED, ∴ BC∥ DE, ∴ ∠ CBF=∠ BED=30°, 在 Rt△ BCF 中,CF= ∴ EF=2﹣ , ,ED= FD= ﹣1, = ,BF=2CF= ,

在 Rt△ DEF 中,FD= EF=1﹣ ∴ S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE =2S△ABD+S△ADE =2× BC?AD+ AD?ED =2× ×1×( ﹣1)+ ×(

﹣1) (

﹣1)

=1. 故选 A. 点评: 本题考查了折叠问题:折叠前后两图形全等,即对应线段相等;对应角相等.也考查 了勾股定理和含 30 度的直角三角形三边的关系. 三、解答题(共 8 小题,满分 60 分) 21. (5 分) (2013?绥化) 如图, 在△ ABC 中, AD⊥ BC 于点 D, AB=8, ∠ ABD=30°, ∠ CAD=45°, 求 BC 的长.

考点: 解直角三角形. 分析: 首先解 Rt△ ABD,求出 AD、BD 的长度,再解 Rt△ ADC,求出 DC 的长度,然后由 BC=BD+DC 即可求解. 解答: 解:∵ AD⊥ BC 于点 D, ∴ ∠ ADB=∠ ADC=90°. 在 Rt△ ABD 中,∵ AB=8,∠ ABD=30°, ∴ AD= AB=4,BD= AD=4 .

在 Rt△ ADC 中,∵ ∠ CAD=45°,∠ ADC=90°, ∴ DC=AD=4,

∴ BC=BD+DC=4 +4. 点评: 本题考查了解直角三角形的知识,属于基础题,解答本题的关键是在直角三角形中利 用解直角三角形的知识求出 BD、DC 的长度. 22. (6 分) (2013?绥化)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形, 每个小正方形的顶点叫格点,△ ABC 的顶点均在格点上,请按要求完成下列步骤: (1)画出将△ ABC 向右平移 3 个单位后得到的△ A1B1C1,再画出将△ A1B1C1 绕点 B1 按逆时 针方向旋转 90°后所得到的△ A2B1C2; (2)求线段 B1C1 旋转到 B1C2 的过程中,点 C1 所经过的路径长.

考点: 作图-旋转变换;作图-平移变换. 分析: (1)根据平移的性质得出对应点位置以及利用旋转的性质得出对应点位置画出图形 即可; (2)根据弧长计算公式求出即可. 解答: 解: (1)如图所示:
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(2)点 C1 所经过的路径长为:

=2π.

点评: 此题主要考查了图形的旋转与平移变换以及弧长公式应用等知识, 根据已知得出对应 点位置是解题关键. 23. (6 分) (2013?绥化)为了解今年全县 2000 名初四学生“创新能力大赛”的笔试情况.随 机抽取了部分参赛同学的成绩,整理并制作如图所示的图表(部分未完成) .请你根据表中 提供的信息,解答下列问题: (1)此次调查的样本容量为 300 ; (2)在表中:m= 120 ;n= 0.3 ; (3)补全频数分布直方图;

(4)如果比赛成绩 80 分以上(含 80 分)为优秀,那么你估计该县初四学生笔试成绩的优 秀人数大约是 1200 名. 分数段 频数 频率 30 0.1 60≤x<70 90 n 70≤x<80 m 0.4 80≤x<90 60 0.2 90≤x<100

考点: 频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表. 分析: (1)根据第一组的频数是 30,频率是 0.1,以及频率公式即可求解; (2)依据频率公式:频率= 即可求解;

(3)作出第三组对应的矩形即可; (4)利用总人数 2000 乘以笔试成绩的优秀的频率即可求解. 解答: 解: (1)样本容量是:30÷0.1=300; (2)m=300×0.4=120,n= =0.3;

(3)画图如下:

(4)2000×(0.4+0.2)=1200(人) . 点评: 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力. 利用统计图获取信 息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.

24. (7 分) (2013?绥化)如图,已知抛物线 y= (x﹣2) (x+a) (a>0)与 x 轴交于点 B、 C,与 y 轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧.

(1)若抛物线过点 M(﹣2,﹣2) ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,解答下列问题; ① 求出△ BCE 的面积; ② 在抛物线的对称轴上找一点 H,使 CH+EH 的值最小,直接写出点 H 的坐标.

考点: 二次函数综合题 专题: 综合题. 分析: (1)将 M 坐标代入抛物线解析式求出 a 的值即可; (2)① 求出的 a 代入确定出抛物线解析式,令 y=0 求出 x 的值,确定出 B 与 C 坐标, 令 x=0 求出 y 的值,确定出 E 坐标,进而得出 BC 与 OE 的长,即可求出三角形 BCE 的面积;② 根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线 x=﹣1,根据 C 与 B 关于对称轴 对称,连接 BE,与对称轴交于点 H,即为所求,设直线 BE 解析式为 y=kx+b,将 B 与 E 坐标代入求出 k 与 b 的值,确定出直线 BE 解析式,将 x=﹣1 代入直线 BE 解析 式求出 y 的值,即可确定出 H 的坐标. 解答: 解: (1)将 M(﹣2,﹣2)代入抛物线解析式得:﹣2= (﹣2﹣2) (﹣2+a) , 解得:a=4; (2)① 由(1)抛物线解析式 y= (x﹣2) (x+4) , 当 y=0 时,得:0= (x﹣2) (x+4) , 解得:x1=2,x2=﹣4, ∵ 点 B 在点 C 的左侧, ∴ B(﹣4,0) ,C(2,0) , 当 x=0 时,得:y=﹣2,即 E(0,﹣2) , ∴ S△BCE= ×6×2=6; ② 由抛物线解析式 y= (x﹣2) (x+4) ,得对称轴为直线 x=﹣1, 根据 C 与 B 关于抛物线对称轴直线 x=﹣1 对称,连接 BE,与对称轴交于点 H,即为 所求, 设直线 BE 解析式为 y=kx+b,

将 B(﹣4,0)与 E(0,﹣2)代入得:



解得:



∴ 直线 BE 解析式为 y=﹣ x﹣2, 将 x=﹣1 代入得:y= ﹣2=﹣ , 则 H(﹣1,﹣ ) .

点评: 此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,抛物线与坐 标轴的交点,对称的性质,坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 25. (8 分) (2013?绥化) 2008 年 5 月 12 日 14 时 28 分四川汶川发生里氏 8.0 级强力地震. 某 市接到上级通知, 立即派出甲、 乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点 480 千米 的灾区. 乙组由于要携带一些救灾物资, 比甲组迟出发 1.25 小时 (从甲组出发时开始计时) . 图 中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程 y 甲(千米) 、y 乙(千米)与时间 x(小时) 之间的函数关系对应的图象.请根据图象所提供的信息,解决下列问题: (1)由于汽车发生故障,甲组在途中停留了 小时; (2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区.请问甲组的汽车在排除故障时,距出发 点的路程是多少千米? (3)为了保证及时联络,甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过 25 千米,请通过计算说明,按图象所表示的走法是否符合约定?

考点: 一次函数的应用 专题: 阅读型;图表型. 分析: (1)由于线段 AB 与 x 轴平行,故自 3 时到 4.9 时这段时间内甲组停留在途中,所以 停留的时间为 1.9 时; (2)观察图象可知点 B 的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千 米数,所以求得点 B 的坐标是解答(2)题的关键,这就需要求得直线 EF 和直线 BD 的解析式,而 EF 过点(1.25,0) , (7.25,480) ,利用这两点的坐标即可求出该直线 的解析式,然后令 x=6,即可求出点 C 的纵坐标,又因点 D(7,480) ,这样就可求 出 CD 即 BD 的解析式,从而求出 B 点的坐标; (3) 由图象可知: 甲、 乙两组第一次相遇后在 B 和 D 相距最远, 在点 B 处时, x=4.9,
4

求出此时的 y 乙﹣y 甲,在点 D 有 x=7,也求出此时的 y 甲﹣y 乙,分别同 25 比较即可. 解答: 解: (1)1.9; (2 分) (2)设直线 EF 的解析式为 y 乙=kx+b ∵ 点 E(1.25,0) 、点 F(7.25,480)均在直线 EF 上 ∴ 解得 (3 分) ∴ 直线 EF 的解析式是 y 乙=80x﹣100; (4 分)

∵ 点 C 在直线 EF 上,且点 C 的横坐标为 6, ∴ 点 C 的纵坐标为 80×6﹣100=380; ∴ 点 C 的坐标是(6,380) ; (5 分) 设直线 BD 的解析式为 y 甲=mx+n; ∵ 点 C(6,380) 、点 D(7,480)在直线 BD 上, ∴ 解得 ; (6 分) ;∴ BD 的解析式是 y 甲=100x﹣220; (7 分)

∵ B 点在直线 BD 上且点 B 的横坐标为 4.9,代入 y 甲得 B(4.9,270) , ∴ 甲组在排除故障时,距出发点的路程是 270 千米. (8 分)

(3)符合约定; 由图象可知:甲、乙两组第一次相遇后在 B 和 D 相距最远. 在点 B 处有 y 乙﹣y 甲=80×4.9﹣100﹣(100×4.9﹣220)=22 千米<25 千米(10 分) 在点 D 有 y 甲﹣y 乙=100×7﹣220﹣(80×7﹣100)=20 千米<25 千米(11 分) ∴ 按图象所表示的走法符合约定. (12 分) 点评: 本题是依据函数图象提供的信息,解答相关的问题,充分体现了“数形结合”的数学思 想,是中考的常见题型,其关键是认真观察函数图象、结合已知条件,正确地提炼出 图象信息. 26. (8 分) (2013?绥化)已知,在△ ABC 中,∠ BAC=90°,∠ ABC=45°,点 D 为直线 BC 上一 动点(点 D 不与点 B,C 重合) .以 AD 为边做正方形 ADEF,连接 CF (1)如图 1,当点 D 在线段 BC 上时.求证 CF+CD=BC; (2)如图 2,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,其他条件不变,请直接写出 CF,BC,CD 三条线段之间的关系; (3)如图 3,当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时,且点 A,F 分别在直线 BC 的两侧,其 他条件不变; ① 请直接写出 CF,BC,CD 三条线段之间的关系; ② 若正方形 ADEF 的边长为 2 ,对角线 AE,DF 相交于点 O,连接 OC.求 OC 的长度.

考点: 四边形综合题. 分析: (1)三角形 ABC 是等腰直角三角形,利用 SAS 即可证明△ BAD≌ △ CAF,从而证得 CF=BD,据此即可证得; (2)同(1)相同,利用 SAS 即可证得△ BAD≌ △ CAF,从而证得 BD=CF,即可得到 CF﹣CD=BC; (3)首先证明△ BAD≌ △ CAF,△ FCD 是直角三角形,然后根据正方形的性质即可求得 DF 的长,则 OC 即可求得. 解答: 证明: (1)∵ ∠ BAC=90°,∠ ABC=45°, ∴ ∠ ACB=∠ ABC=45°, ∴ AB=AC, ∵ 四边形 ADEF 是正方形, ∴ AD=AF,∠ DAF=90°, ∵ ∠ BAD=90°﹣∠ DAC,∠ CAF=90°﹣∠ DAC, ∴ ∠ BAD=∠ CAF, 则在△ BAD 和△ CAF 中,

, ∴ △ BAD≌ △ CAF(SAS) , ∴ BD=CF, ∵ BD+CD=BC, ∴ CF+CD=BC; (2)CF﹣CD=BC; (3)① CD﹣CF=BC ② ∵ ∠ BAC=90°,∠ ABC=45°, ∴ ∠ ACB=∠ ABC=45°, ∴ AB=AC, ∵ 四边形 ADEF 是正方形, ∴ AD=AF,∠ DAF=90°, ∵ ∠ BAD=90°﹣∠ BAF,∠ CAF=90°﹣∠ BAF, ∴ ∠ BAD=∠ CAF, ∵ 在△ BAD 和△ CAF 中,

∴ △ BAD≌ △ CAF(SAS) , ∴ ∠ ACF=∠ ABD, ∵ ∠ ABC=45°, ∴ ∠ ABD=135°, ∴ ∠ ACF=∠ ABD=135°, ∴ ∠ FCD=90°, ∴ △ FCD 是直角三角形. ∵ 正方形 ADEF 的边长为 2 且对角线 AE、DF 相交于点 O. ∴ DF= AD=4,O 为 DF 中点. ∴ OC= DF=2. 点评: 本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用,证明三角形全等是关键. 27. (10 分) (2013?绥化)为了迎接“十?一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购 进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表: 运动鞋 甲 乙 价格 m 进价(元/双) m﹣20 240 160 售价(元/双) 已知:用 3000 元购进甲种运动鞋的数量与用 2400 元购进乙种运动鞋的数量相同. (1)求 m 的值;

(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共 200 双的总利润(利润=售价﹣进价)不少于 21700 元,且不超过 22300 元,问该专卖店有几种进货方案? (3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每 双优惠 a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如 何进货? 考点: 一次函数的应用;分式方程的应用;一元一次不等式组的应用. 分析: (1)用总价除以单价表示出购进鞋的数量,根据两种鞋的数量相等列出方程求解即 可; (2)设购进甲种运动鞋 x 双,表示出乙种运动鞋(200﹣x)双,然后根据总利润列 出一元一次不等式,求出不等式组的解集后,再根据鞋的双数是正整数解答; (3)设总利润为 W,根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理,然后根据一次函 数的增减性分情况讨论求解即可. 解答: 解: (1)依题意得, = ,
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整理得,3000(m﹣20)=2400m, 解得 m=100, 经检验,m=100 是原分式方程的解, 所以,m=100; (2)设购进甲种运动鞋 x 双,则乙种运动鞋(200﹣x)双, 根据题意得, 解不等式① 得,x≥95, 解不等式② 得,x≤105, 所以,不等式组的解集是 95≤x≤105, ∵ x 是正整数,105﹣95+1=11, ∴ 共有 11 种方案; (3) 设总利润为 W, 则 W= (140﹣a) x+80 (200﹣x) = (60﹣a) x+16000 (95≤x≤105) , ① 当 50<a<60 时,60﹣a>0,W 随 x 的增大而增大, 所以,当 x=105 时,W 有最大值, 即此时应购进甲种运动鞋 105 双,购进乙种运动鞋 95 双; ② 当 a=60 时,60﹣a=0,W=16000, (2)中所有方案获利都一样; ③ 当 60<a<70 时,60﹣a<0,W 随 x 的增大而减小, 所以,当 x=95 时,W 有最大值, 即此时应购进甲种运动鞋 95 双,购进乙种运动鞋 105 双. 点评: 本题考查了一次函数的应用,分式方程的应用,一元一次不等式组的应用,解决问题 的关键是读懂题意, 找到关键描述语, 进而找到所求的量的等量关系和不等关系, (3) 要根据一次项系数的情况分情况讨论. ,

28. (10 分) (2013?绥化)如图,直线 MN 与 x 轴,y 轴分别相交于 A,C 两点,分别过 A, C 两点作 x 轴,y 轴的垂线相交于 B 点,且 OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程 x ﹣14x+48=0 的两个实数根. (1)求 C 点坐标; (2)求直线 MN 的解析式; (3)在直线 MN 上存在点 P,使以点 P,B,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接 写出 P 点的坐标.
2

考点: 一次函数综合题 2 分析: (1)通过解方程 x ﹣14x+48=0 可以求得 OC=6,OA=8.则 C(0,6) ; (2)设直线 MN 的解析式是 y=kx+b(k≠0) .把点 A、C 的坐标分别代入解析式,列 出关于系数 k、b 的方程组,通过解方程组即可求得它们的值; (3)需要分类讨论:PB 为腰,PB 为底两种情况下的点 P 的坐标.根据等腰三角形 的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答. 2 解答: 解: (1)解方程 x ﹣14x+48=0 得 x1=6,x2=8. 2 ∵ OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程 x ﹣14x+48=0 的两个实数根, ∴ OC=6,OA=8. ∴ C(0,6) ; (2)设直线 MN 的解析式是 y=kx+b(k≠0) . 由(1)知,OA=8,则 A(8,0) . ∵ 点 A、C 都在直线 MN 上, ∴ ,

解得,



∴ 直线 MN 的解析式为 y=﹣ x+6;

(3)∵ A(8,0) ,C(0,6) , ∴ 根据题意知 B(8,6) . ∵ 点 P 在直线 MNy=﹣ x+6 上,

∴ 设 P(a,﹣ a+6) 当以点 P,B,C 三点为顶点的三角形是等腰三角形时,需要分类讨论: ① 当 PC=PB 时,点 P 是线段 BC 的中垂线与直线 MN 的交点,则 P1(4,3) ; ② 当 PC=BC 时,a +(﹣ a+6﹣6) =64, 解得,a= ,则 P2(﹣
2 2 2



) ,P3(
2

, ) ;

③ 当 PB=BC 时, (a﹣8) +(﹣ a+6﹣6) =64, 解得,a= ,则﹣ a+6=﹣ ,∴ P4 ( ,﹣ ) . , )P3( , ) ,P4( ,

综上所述,符合条件的点 P 有:P1(4,3) ,P2(﹣ ﹣ ) .

点评: 本题考查了一次函数综合题. 其中涉及到的知识点有: 待定系数法求一次函数解析式, 一次函数图象上点的坐标特征,等腰三角形的性质.解答(3)题时,要分类讨论, 防止漏解.另外,解答(3)题时,还利用了“数形结合”的数学思想.


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