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江苏省南京市2013-2014学年度第二学期期末学情调研测试高一数学试卷


南京市 2013-2014 学年度第二学期期末考试
高一数学试题
2014.06

注意事项:
1. 本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分. 本试卷满 分 160 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上的指定的位置. 3. 答题时,必须用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上指定的位置,在其他位置作答一律 无效. 4. 本卷考试结束后,上交答题卡.

参考公式:
圆柱的体积公式 : V圆柱 ? πr h, 其中 r 是圆柱的底面半径 , h 是圆柱的高.
2

球的体积公式 : V球 ?

4 3 πr , 其中 r 是球的半径. 3 π )? 4


一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡 相应位置 上. ... .... 1. 已知 tanα ? 2, 则 tan( α ? 2. 不等式 ▲ . .

D1 A1
D A B

C1 B1

x ?1 ? 0 的解集是 x

3. 如图, 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 二面角 D1 ? AB ? D 的 大小是 ▲ . ▲ .

C

4. 函数 y ? sin x ? cos x 的最大值是

(第 3 题图)

5. 如图,球 O 内切于圆柱 O1O2 . 记球 O 的体积为 V1 , 圆柱 O1O2 的 体积为V2 , 则

O1
O

V1 的值是 V2



.

6. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 若 b cos A ? a cos B ? 2c · cos B, 则角 B 的大小是 ▲ .

O2
(第 5 题图)

2π 7. 圆锥的侧面展开图是半径为 3, 圆心角为 的扇形, 则这个圆锥的高是 3

2

. ▲ .

8. 若不等式 x ? ax ? 4 ? 0 对任意的 x ? (0,3) 都成立, 则实数 a 的取值范围是
2 ?

{an} 9. 记等差数列 的前 n 项和为 Sn . 若 am?1 ? am?1 ? am ? 0(m ? 2, m ? N ), 且 S 2 m?1 ? 58,
则m? ▲ .

10. 关于直线 m, n 与平面 α, β, 有以下四个命题: ① 若 m ? α, n ? β , 则 m, n 是异面直线; ③ 若 m // α, n ? β , α // β , 则 m // n ; 其中正确的命题的序号是 11. 若 cos( α ? ▲ ② 若 m ? α, α // β, 则 m // β ; ④ 若 α ? β,α ? β ? m, n ? m, 则 n ? β . .(写出所有正确命题的序号) ▲ . 1 2 4 3 5 6

π 4 π ) ? , 则 sin( 2α ? ) 的值是 6 5 6

12. 将全体正整数排成如图所示的一个三角形数阵. 记第 i 行第 j 列( i , j 为 正整数)位置上的数为 aij , 如 a35 ? 5, a41 ? 7, 那么 a95 ? 13. 若满足 ?ABC ? 值范围是 ▲ ▲ .

7 π , AC ? 1, BC ? t 的△ ABC 恰有一个, 则实数 t 的取 4 .

8 9 10 …… (第 12 题图)

14. 已知 a ? 0, b ? 0,

1 1 ? ? 1, 则 a ? b 的最小值是 2a ? b b ? 1



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、证明 ........ 过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知 cos θ ? sin θ ?
2 2

1 π , θ ? (0, ) . 2 2

(1)求 θ 的值; (2)若 sin x ?

3 π , x ? ( , π ), 求 cos(x ? θ ) 的值. 5 2

16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中 , AB // DC, DC ? 2 AB, E 为 PC 的中点. (1)求证: BE // 平面 PAD ; (2)若 AB ? 平面 PAD, AD ? PB, 求证:平面 PAB ? 平面 ABCD .

P

E

D A B
(第 16 题图)

C

17.(本小题满分 14 分) 已知等差数列 中, a3 ? 2,3a2 ? 2a7 ? 0, 其前 n 项和为 Sn . {an} (1)求等差数列 的通项公式; {an} (2)令 bn ?|

Sn 的前 n 项和 Tn . | , 求数列 {bn} n

18.(本小题满分 16 分) 某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产一种产品(生产条件要求 1 ? x ? 5 ), 每小时可获得的利润 是100 (8 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品每小时获得的利润不低于 1600 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 1000 千克该产品获得的利润最大,问该厂应怎样选取生产速度?并求此最大利 润.

2 x

19.(本小题满分 16 分) 如图,在△ ABC 中, AB ? 4, AC ? 1, ∠ BAC ? 60? . (1)求 BC 的长和△ ABC 的面积; (2)延长 AB 到 M , AC 到 N , 连结 MN . 若四边形 BMNC 的面积为 3 3 , 求 BM · CN 的最大值.

N

C

A

(第 19 题图)

B

M

20.(本小题满分 16 分) 在数列 中, Sn 为其前 n 项和. 已知 4an ? 1 ? 2Sn (n ? N? ). {an} (1)求数列 的通项公式; {an}

a4 · a7 ·… · a3n?2 ? a78 恒成立?若存在,求出 (2)是否存在正整数 M , 使得当 n ? M 时, a1 ·
M 的最小值;若不存在, 请说明理由;

{bn} an ? b2 · an?1 ? b3 · an?2 ? … (3)是否存在等差数列 , 使得对任意的 n ? N? , 都有 b1 ·
? bn ?1 · a2 ? bn · a1 ? 2 n ? n ? 1 ?若存在, 试求出 {bn} 的通项公式;若不存在, 请说明理由. 2

参考答案
1. ? 3 2. (0,1) 3. π 4 4. 2 5. 2 3 6. π 4 7. 2 2 14. 3 2

8. a ? 4 9. 15 15.(1) 16.略 π ; 6 ( 2) ?

10. 2 4 3 ?3 . 10

11. ?

7 12. 41 13. (0,1] ? { 2} 25

? 1 2 13 ? n ? n, n ? 7, n ? N ? ? ? 2 2 17.(1) an ? 8 ? 2n; (2) Tn ? ? . ? 1 n 2 ? 13 n ? 42, n ? 7, n ? N ? ? 2 ?2 18.(1) [2,5]; (2) x ? 4, 利润为 812500 元. 19.(1) BC ? 13; S△ ABC ? 3; 20.(1) an ? 2 n ? 2 ; (2) 8; ( 2) 2 (3) 存在.bn ? n.


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