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2016年高考数学二轮复习 第一部分专题二 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质课件 理


专题二

三角函数与平面向量

第1讲 三角函数的图象与性质

专题二

三角函数与平面向量

2016考向导航 高考对三角函数的图象的考查有:利用“五点法”作出图 象、图象变换、由三角函数的图象(部分)确定三角函数的解

析式.三角函数的性质是高考的一个重点,它既有直接考查
的客观题,也有综合考查的主观题,常通过三角变换将其转 化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再研究其性质(定义域、值域、

单调性、奇偶性、周期性).

1.必记概念与性质 (1)三角函数的定义 设 α 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点 P(x, y), 则 sin y α =y, cos α = x, tan α = .各象限角的三角函数值的符号: x 一全正,二正弦,三正切,四余弦.

(2)三角函数的图象及常用性质
函数 y= sin x y= cos x y= tan x

图 象

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

π ? 在 - + 2kπ , ? 2 在 [ - π + 2k π ? + 2kπ (k∈ Z) 上 π , 2kπ ](k∈ Z) 2 ?



单 调 性

?-π + kπ , ? 2 在 单 调 递 增 ; 在 上单调递增; π ? + k π [2 k π , π + 2 k 2 ? ?π + 2kπ ,3π π ](k∈ Z) 上 单 2 ?2 (k∈ Z) 上 单 调
+ 2kπ 调递减

]

调递减

(k∈ Z) 上 单

递增

函数

y=sin x

y=cos x
对称中心:

y=tan x

对 称 性

对称中心: (kπ ,0)(k∈ Z); 对称轴: π x= + kπ (k∈ Z) 2

?π + kπ ,0 ? ?2 ?
x=kπ (k∈ Z)

对称中心:

?kπ , 0 ?(k∈ Z) ? (k∈ Z); 对称轴: ? 2

2.活用公式与结论 (1)三角函数的诱导公式 诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中, “奇、 π 偶”是指“ k· ± α (k∈ Z)”中 k 的奇偶性; “符号”是把任 2 意角 α 看作锐角时,原函数值的符号. (2)三角函数图象的两种常见变换 ① y= sin x
向左( φ>0)或向右( φ<0) 平移|φ|个单位长度

― ― →

1 横坐标变为原来的 倍 ω y= sin(x+ φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 纵坐标不变

y= sin(ωx+ φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 横坐标不变 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω >0). ② y= sin y= sin
1 横坐标变为原来的 倍 ω― x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 纵坐标不变

纵坐标变为原来的A倍

向左( φ>0)或向右( φ<0) φ― ω x― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 平移 个单位长度 ω

||

y= sin(ωx+ φ)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 横坐标不变 y= Asin(ωx+ φ)(A>0, ω >0).

纵坐标变为原来的A倍

3.辨明易错易混点 (1)三角函数值是比值, 是一个实数, 这个实数的大小和点 P(x, y)在终边上的位置无关,只由角 α 的终边位置决定. (2)求 y= Asin(ωx+ φ)的单调区间时, 要注意 ω, A 的符号. ω<0 时,应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解;在 书写单调区间时,不能弧度和角度混用,需加 2kπ 时,不要 忘掉 k∈ Z,所求区间一般为闭区间. (3)在平移变换中易忽视平移前后两个函数的名称变化,若不 一致,应先利用诱导公式化为同名函数.

考点一

三角函数的定义、诱导公式及基本关系

[命题角度] 1.三角函数的定义. 2.利用诱导公式及同角三角函数的关系进行化简、求值.

(1)(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)若 tan α >0,则 ( C ) A. sin α >0 C. sin 2α >0 B. cos α >0 D. cos 2α >0

(2)(2015· 高考四川卷)已知 sin α + 2cos α =0, 则 2sin α cos -1 α -cos2α 的值是________ .

[思路点拨] 入求解.

(1)利用 tan α >0,求出角 α 的象限,再判断.

(2)先求出 tan α ,再将所求式子化为含有 tan α 的形式后代

π? ? [解析 ] (1)因为 tan α >0,所以 α∈ kπ , kπ + (k∈ Z) 2? ? 是第一、三象限角. 所以 sin α , cos α 都可正、可负,排除 A, B. 而 2α∈(2kπ , 2kπ +π )(k∈ Z), 结合正弦函数图象可知, C 正确. π 取 α= ,则 tan α =1>0,而 cos 2α =0,故 D 不正确. 4 (2)由 sin α + 2cos α = 0,得 tan α =-2.
2 2sin α cos α - cos α 2 所以 2sin α cos α - cos α = = 2 2 sin α + cos α

2tan α - 1 - 4- 1 = =-1. 2 tan α +1 4 +1

方法归纳 应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况 解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误. (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时,一定注意三角函数 的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则, 如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

1 1.若 sin(π + α)=- ,则 cos α 等于 ( C ) 2 1 A.± 2 3 C.± 2 1 B. 2

3 D. 2 1 1 解析:由 sin(π +α )=- ,得- sin α =- , 2 2

1 即 sin α = , 2 3 所以 cos α = ± 1- sin α =± . 2
2

3π 3π ? ? 2.已知点 P sin 落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0, ,cos 4 4 ? ? 2π ),则 θ 的值为( D ) π A. 4 5π C. 4
π 3 cos π - cos 4 4 解析: tan θ = = =- 1, 3 π sin π sin 4 4 3π 3π 又 sin > 0, cos < 0, 4 4 7π 所以 θ 为第四象限角且 θ ∈ [0, 2π ),所以 θ= . 4

3π B. 4 7π D. 4

3.(2015· 济南模拟)已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴 的正半轴重合,终边上一点 P(-4,3),则 π ? 3 cos +α ?sin(-π - α) - ?2 ? 4 的值为________ . 11π 9π ? ? ? cos -α sin +α ? ? 2 ? ?2 ?
-sin α · sin α 解析: 原式= = tan α .根据三角函数的定义, -sin α · cos α y 3 3 得 tan α = =- ,所以原式=- . 4 4 x

考点二

三角函数的图象与解析式

[命题角度]
1.由函数的图象特征求三角函数的解析式. 2.三角函数图象的变换及对称. 3.五点法作三角函数的图象.

(2015· 高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数 f(x)= π? ? Asin(ωx+ φ) ω >0, |φ |< 在某一个周期内的图象时,列表 2? ? 并填入了部分数据,如下表: π 2 π 3 0 5 3π 2 5π 6 -5 0

ωx+ φ x Asin(ωx+ φ)

0

π



(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y= f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度, 得到 y= g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为

?5π , 0?,求 θ 的最小值. ? 12 ?
[思路点拨] (1)由表中数据先写出 A、 ω、φ 的值,再由 ωx + φ=0, π ,2π ,求出其余值. (2)写出 y=g(x)的函数解析式,类比 y=sin x 图象的对称中心 为 (kπ , 0), k∈ Z, 利用整体思想建立关于 θ 的方程, 根据 k∈ Z 及 θ> 0,求出 θ 的最小值.

π [解 ] (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω = 2,φ =- ,数据补 6 全如下表: ωx+ φ x Asin(ωx+ φ) 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13 π 12 0

π? ? 且函数解析式为 f(x)= 5sin 2x- . 6? ?

π? ? (2)由 (1)知 f(x)= 5sin 2x- , 6? ? π? ? 则 g(x)= 5sin 2x+ 2θ- . 6? ? 因为函数 y= sin x 图象的对称中心为(kπ ,0), k∈ Z, π kπ π 令 2x+ 2θ- = kπ ,解得 x= + - θ, k∈ Z. 6 2 12 5π ? 由于函数 y=g(x)的图象关于点 , 0?成中心对称, ? 12 ? kπ π 5π kπ π 所以令 + - θ= ,解得 θ= - ,k∈ Z. 2 12 12 2 3 π 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 6

π? ? 1.试求 f(x)=5sin 2x- 的对称轴方程. 6? ?

π 解:因为 y= sin x 的对称轴方程为 x=kπ + , k∈ Z, 2 π? ? 由 f(x)=5sin 2x- 知 6? ? π π π k 2x- = kπ + , k∈ Z,所以 x= π + , k∈ Z, 6 2 2 3 π k 所以其对称轴方程为 x= π + , k∈ Z. 2 3

π? ? 2.若将本例中 f(x)=5sin 2x- 图象上所有点向左平行移 6? ? π 动 个单位长度, 得到 y=g(x)的图象, 求 y=g(x)的图象离原 6 点 O 最近的对称中心.
π? ? 解:因 f(x)= 5sin 2x- , 6? ? π? π? π? ? ? ? 因此 g(x)=5sin 2 x+ - = 5sin 2x+ . 6? ? ? 6? 6? ?

因为 y= sin x 的对称中心为(kπ , 0), k∈ Z. π kπ π 令 2x+ = kπ , k∈ Z,解得 x= - , k ∈Z . 6 2 12 kπ π ? 即 y=g(x)图象的对称中心为 - , 0?,k∈ Z,其中离原 ? 2 12 ? π ? 点 O 最近的对称中心为 - , 0 ?. ? 12 ?

3. (2015· 山东省第一次统一检测 )已知平面向量 a= (2cos2x, sin2x), b= (cos2x, - 2sin2x), f(x)=a· b, 要得到 y= sin 2x+ 3 cos 2x 的图象,只需要将 f(x)的图象( D ) π A.向左平行移动 个单位长度 6 π B.向右平行移动 个单位长度 6 π C.向左平行移动 个单位长度 12 π D.向右平行移动 个单位长度 12

解析:由题意得:f(x)= a· b=2cos4x- 2sin4x=2(cos2x+ π? ? sin x)(cos x- sin x)=2cos 2x= 2sin 2x+ ,而 y= sin 2x+ 2? ?
2 2 2

π? π? π? ? ? ? 3cos 2x=2sin 2x+ = 2sin 2 x- + , 故只需将 f(x) 2 3? ? ? ? 12? ? π 的图象向右平移 个单位长度即可. 12

4. (2015· 郑州市第一次质量预测, T8)如 图,函数 f(x)= Asin(ωx+ π? ? φ) 其中 A> 0,ω >0, |φ |≤ 与坐标 2? ? 轴的三个交点 P、Q、R 满足 P(1,0),∠ π PQR= ,M(2,- 2)为线段 QR 的中点, 4 则 A 的值为 ( C ) A. 2 3 8 3 C. 3 7 3 B. 3 D. 4 3

解析:依题意得,点 Q 的横坐标是 4, R 的纵坐标是- 4, T 2π π 1 +4 ? ? = = 2|PQ|= 6,ω = , Asin φ =- 4.f = 3 2 ω ? ? π π π 5 5π ? ? ? ? Asin × + φ = A> 0,即 sin + φ = 1.又 |φ|≤ 2 , 3 ≤ 3 2 6 ? ? ? ? 5π 4π 5π π π π? ? + φ≤ ,因此 + φ= ,φ =- ,Asin - =- 6 3 6 2 3 ? 3? 8 3 4, A= ,选 C. 3

方法归纳 (1)已知函数 y= Asin(ωx+ φ)(A>0,ω >0)的图象求解析式时, 常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求 A; 由函数的周期确定 ω;确定 φ 常根据“五点法”中的五个点 求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升 降找准第一个零点的位置. (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变 换.变换只是相对于其中的自变量 x 而言的,如果 x 的系数 不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方 向.

考点三

三角函数的性质

[命题角度]
1.研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性. 2.求三角函数的单调区间及最值. 3.利用函数的图象和性质研究方程根及参数的范围(值).

π ? 已知函数 f(x)=sin - x ?sin x- 3cos2x. ?2 ? (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; π 2π ? ? (2)讨论 f(x)在 , 上的单调性. 6 3 ? ?

[思路点拨] 求解.

(1)先将已知解析式化简,然后求解.

(2)根据 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω >0)与 y=sin x 的关系

π ? [解 ] (1)f(x)= sin - x?sin x- 3cos2x ?2 ? = cos xsin x- 3 (1+ cos 2x) 2

π? 1 3 3 3 ? = sin 2x- cos 2x- = sin 2x- - , 2 2 2 3? 2 ? 2- 3 因此 f(x)的最小正周期为π ,最大值为 . 2 π π 2π ? ? (2)当 x∈ , 时, 0≤2x- ≤ π ,从而 3 3 ? ?6

π π π 5π 当 0≤ 2x- ≤ ,即 ≤ x≤ 时, f(x)单调递增, 3 2 6 12 π π 5π 2π 当 ≤ 2x- ≤ π ,即 ≤ x≤ 时,f(x)单调递减. 2 3 12 3 π 5π ? 5π 2π ? ? ? 综上可知, f(x)在 , 上单调递增; 在 上单调 , 3 ? ? 6 12 ? ? 12 递减.

方法归纳 三角函数的单调性、周期性及最值的求法 (1)三角函数单调性的求法: 求形如 y= Asin(ωx+ φ)(或 y= Acos(ωx+ φ))(A、 ω、 φ 为常数, A≠ 0,ω >0)的单调区间的一般思路是令 ωx+ φ= z,则 y= Asin z(或 y= Acos z),然后由复合函数的单调性求得. (2)三角函数周期性的求法: 函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y= Acos(ωx+ φ))的最小正周期 T= 2π π .应特别注意 y= |Asin(ωx+ φ)|的周期为 T= . |ω | |ω |

(3)三角函数最值(或值域 )的求法: 在求最值 (或值域)时, 一般要先确定函数的定义域, 然后结合 三角函数性质可得函数 f(x)的最值.

1.(2015· 高考浙江卷)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正 3 7 ? ? kπ + π ,kπ + π (k∈Z) π ,单调递减区间是__________________________. 周期是____ 8 8 ? ?
1- cos 2x 1 解析: 因为 f(x)= sin x+ sin xcos x+ 1= + sin 2x+ 1 2 2
2

π 1 1 3 2 3 = sin 2x- cos 2x+ = sin(2x- )+ , 所以函数 f(x)的最 2 2 2 2 4 2 π π 3π 小正周期 T=π .令 + 2kπ ≤ 2x- ≤ + 2kπ ,k∈ Z,解 2 4 2 3 7 ? ? 之可得函数 f(x)的单调递减区间为 kπ +8π ,kπ +8π ? ? (k∈ Z).

π? ? 2.已知函数 f(x)=2sin xsin x+ . 6? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; π? ? (2)当 x∈ 0, 时,求函数 f(x)的值域. ? 2? 3 1 ? ? 解:(1)f(x)=2sin x sin x+ cos x ?2 2 ?

1- cos 2x 1 = 3× + sin 2x 2 2 π? 3 ? = sin 2x- + . 3? 2 ? 函数 f(x)的最小正周期为 T=π .

π π π 由- +2kπ ≤2x- ≤ + 2kπ , k∈ Z, 2 3 2 π 5π 解得- + kπ ≤ x≤ + kπ ,k∈ Z, 12 12 π 5π ? 所以函数 f(x)的单调递增区间是 - + kπ , + kπ ?, 12 ? 12 ? k∈ Z. π ? π 2π ? π? ? (2)当 x∈ 0, 时, 2x- ∈ - , , 3 2 3 3 ? ? ? ? π? ? 3 ? sin 2x- ∈ - , 1?, 3? ? 2 ? ? 3 可得函数 f(x)的值域为?0,1+ ?. ? 2 ?


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