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【2013备考各地试题解析分类汇编(二)理科数学:7立体几何3 ]


各地解析分类汇编(二)系列: 立体几何 3
1.【山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理】(本小题满分 12 分) 如图所示,在棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , 底面 ABCD 为直角梯形, PA ? AD ? DC ? 2, AB ? 4 且

AB // CD , ?BAD ? 90 ,
?

(Ⅰ)求证: BC ? PC (Ⅱ)求 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.

【答案】 (Ⅰ)在直角梯形 ABCD 中,AC= 2 2 , 取 AB 中点E,连接CE, 则四边形AECD为正方形, …………………………2分

? AE=CE=2,又BE=
则 ?ABC 为等腰直角三角形,

1 AB ? 2 , 2

? AC ? BC ,


……………………………………………………4分

PA ? 平面ABCD, BC ? 平面 ABCD ,

? PA ? BC ,由 AC ? PA ? A 得 BC ? 平面PAC,
PC ? 平面PAC,所以 BC ? PC .
……………………………………6分

(Ⅱ)以 A 为坐标原点,AD,AB,AP 分别为 x, y , z 轴, 建立如图所示的坐标系.则 P(0,0,2) ,B(0,4,0) , C(2,2,0) ,

BP ? (0,?4,2), BC ? (2,?2,0)

……9 分

由(Ⅰ)知 BC 即为平面 PAC 的一个法向量,

cos ? BC , BP ??

BC ? BP | BC || BP |

?

10 ,……11 分 5

即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为

10 . ……………………………12分 5

2.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 ABCD-PGFE 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱垂直于底面,AB//DC,∠ABC =45 ,DC=1,AB=2,PA=1. (Ⅰ)求 PD 与 BC 所成角的大小; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PAC; (Ⅲ)求二面角 A-PC-D 的大小.
o

【答案】 (Ⅰ)取的 AB 中点 H,连接 DH,易证 BH//CD,且 BD=CD …………………1 分 所以四边形 BHDC 为平行四边形,所以 BC//DH 所以∠PDH 为 PD 与 BC 所成角………………………………………………2 分 因为四边形,ABCD 为直角梯形,且∠ABC=45 , 所以⊥DA⊥AB 又因为 AB=2DC=2,所以 AD=1, 因为 Rt△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH 都为等腰直角三 角形,所以 PD=DH=PH= 2 ,故∠PDH=60 ……………4 分 (Ⅰ)连接 CH,则四边形 ADCH 为矩形, ∴AH=DC
o o o

又 AB=2,∴BH=1 ∴AD=CH=1,AC= 2

在 Rt△BHC 中,∠ABC=45 , ∴CH=BH=1,CB= 2 ∴AC +BC =AB
2 2 2

∴BC⊥AC……6 分 又 PA 平面 ABCD∴PA⊥BC ……7 分

∵PA∩AC=A∴BC⊥平面 PAC ………………………………………8 分 (Ⅲ)如图,分别以 AD、AB、AP 为 x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系,则由题设可知:

A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),
∴ AP =(0,0,1), PC =(1,1,-1) ………………………………………… 9 分 设 m=(a,b,c)为平面 PAC 的一个法向量,

? ?c ? 0 ? m AP ? 0 则? ,即 ? ?a ? b ? c ? 0 ? ? m PC ? 0

设 a ? 1 ,则 b ? ?1 ,∴m=(1,-1,0) ………………………………………10 分 同理设 n=(x,y,z) 为平面 PCD 的一个法向量,求得 n=(1,1,1) ………11 分

∴ cos m, n ?

m n 1?1 ? 1? 0 ? 0 ?1 1 ? ? m n 2 2? 2
o

所以二面角 A-PC-D 为 60 ………………………………………………… 12 分 3.【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理】(本题满分 12 分) 已知球的直径为 10cm ,求它的内接圆锥体积的最大值,并求出此时圆锥的底面半径和高.

2 2 2 2 【答案】设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,则 ? h ? 5 ? ? r ? 5 ? r ? 10h ? h ----2 分 2

1 ? ? V锥 = ? r 2 h ? h ?10h ? h 2 ? ? ?10h 2 ? h3 ? 3 3 3

--------------------5



V '?h? ?
h?

?

? 20h ? 3h ? ? h ? 20 ? 3h ? , 令V ' ? h ? ? 0 , ? 3 3
2

20 ,------------7 分 3

? 20 ? ? 20 ? h ? ? 0, ? ,V ' ? h ? ? 0; h ? ? ,10 ? , V ' ? h ? ? 0 ? 3 ? ? 3 ? 20 ? 20 ? ? 20 ? V ? h ? 在 ? 0, ? ? ,在 ? , 10 ? ? ;当h ? 时,V ? h ? 最大 3 ? 3 ? ? 3 ?
---9 分

Vmax ?

4000? ,----------------------11 分 81

此时 h ?

20 10 2 --------------------------12 分 ,r ? 3 3

4. 【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理】 (本题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 底面是平行四边形,面 PAB ? 面 ABCD ,

PA ? PB ? AB ?

1 AD , ?BAD ? 600 , E , F 分别为 AD, PC 的中点. 2

(1)求证: EF / /面PAB (2)求证: EF ? 面PBD (3)求二面角 D ? PA ? B 的余弦值
P F B

C

A

E

D

【答案】 (1) 取PB的中点,连FG,由题设FG / / BC , FG ?

1 BC -----1 分 2

AE / / BC , AE ?
P

1 BC ? FG / / AE 2

F

G
B C

A

E

D

AEFG是平行四边形 ,所以 EF / / AG ---2 分

AE ? 面PAB, EF ? 面PAB ? EF / /面PAB
------------------------4 分

(2)

?PAB是等边三角形,AG ? PB ----------------①

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 900
所以 BD ? AB -------6 分

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB
DB ? AG
----------------------②

--------------------------------------------------7 分 由 ①②可知, AG ? PB, AG ? BD ? AG ? 面PBD

又EF / / AG,? EF ? 面PBD -----------------------------------------------9 分
P F

N

B

C

A

E

D

(3)取 PA 的中点 N , 连BN , DN

?PAB是等边三角形? BN ? PA

Rt?PBD~Rt?ABD ? PD ? AD
? AN ? PB ?ANB ? ? 是二面角 D ? PA ? B
的平面角 ----------------------------11 分 由 (2)知 BD ? 面PAB, BD ? BN

在Rt?DBN中,BD ? 3AB ? 2BN
tan ? ? BD 5 5 即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 ---------------12 分 ? 2, cos ? ? BN 5 5

解法二 (1)

?ABD中,AD ? 2 AB, ?BAD ? 600 ,由余弦定理 BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos 600 ? AD 2 ? AB 2 ??ABD ? 90
0

所以 BD ? AB

z
P F B

C

x

A

E

D

y

面PAB ? 面ABCD, BD ? AB ? DB ? 面PAB
建系 {BA, BD, z} 令 AB ? 2

A ? 2, 0, 0 ? , D 0, 2 3, 0 , P 1, 0, 3 , C ?2, 2 3, 0

?

? ?

? ?

?

EF ?

1 1 3 AP ? DC ? ?3, 0, 3 ? ? 3, 0,1 2 2 2

?

? ?

?

?

?

因为平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ?

EF ? n2 ? 0? EF / /面PAB
(2) BD ? 0, 2 3, 0 , BP ? 1, 0, 3

?

?

?

?
AP ? ?1, 0, 3 , AD ? ?2, 2 3, 0

EF ? BD ? 0, EF ? BP ? 0

EF ? BD, EF ? BP ? EF ? 面PBD

(3) 设平面 PAD 的法向量为 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ?

?

?

?

?

? ? n1 ? AP ? ? x ? 3z ? 0 ? ? ?n1 ? AD ? ?2 x ? 2 3 y ? 0

令 x ? 3 所以 n1 ?

?

3,1,1

?

平面 PAB 的法向量 n2 ? ? 0,1,0 ?

cos ? n1 , n2 ??

1 5 ,即二面角 D ? PA ? B 的余弦值为 5 5
如图 1,在 Rt ?ABC

5.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题共 14 分)

?C ? 90? ,BC ? 3,AC ? 6 . 中, D、 E 分别是 AC、AB 上的点, 且 DE / / BC , 将 ?ADE
沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1D ? CD ,如图 2. (Ⅰ)求证: BC ? 平面 A1DC ; (Ⅱ)若 CD ? 2 ,求 BE 与平面 A 1BC 所成角的正弦值; (Ⅲ) 当 D 点在何处时, A1B 的长度最小,并求出最小值. A1

A

D

C D C

E B 图1

E B 图2

【答案】 (Ⅰ)证明: 在△ ABC 中, ?C ? 90?, DE // BC ,? AD ? DE

? A1D ? DE .又 A1D ? CD, CD ? DE ? D,? A1D ? 面BCDE .
A1 由 BC ? 面BCDE,? A 1D ? BC.

z

BC ? CD, CD ? BC ? C,? BC ? 面A1DC .

…………………………4 分

(Ⅱ)如图,以 C 为原点,建立空间直角坐标系. ……………………5 分

x
E

D

C

D(2,0,0), E(2,2,0), B(0,3,0), A1(2,0,4) .
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A 1BC 的一个法向量, 因为 CB ? (0,3,0), CA 1 ? (2,0,4) 所以 ?

y

B

?3 y ? 0 , ?2 x ? 4 z ? 0

令 x ? 2 ,得 y =0, z = ? 1 .

所以 n ? (2,0, ? 1) 为平面 A 1BC 的一个法向量.

……………………7 分

? 设 BE 与平面 A 1BC 所成角为 .
则 sin ? = cos ? BE ? n ? ?

4 4 ? . 5? 5 5
4 . 5
…………………9 分

所以 BE 与平面 A 1BC 所成角的正弦值为 (Ⅲ)设 D( x,0,0) ,则 A1 ( x,0,6 ? x),

A1B ? ( x -0) 2 ? (0-3) 2 ? (6-x-0) 2

? 2 x2 -12 x ? 45
当 x =3 时, A 1B 的最小值是 3 3 . 即 D 为 AC 中点时, A 1B 的长度最小,最小值为 3 3 .

…………………12 分

…………………14 分

6.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是棱 CC1
C1 A1 M B1

C N

B A

上一点.

(Ⅰ)求证:BC⊥AM; (Ⅱ)若 N 是 AB 上一点,且

AN CM ,求证: ? AB CC1

CN //平面 AB1M;
(Ⅲ)若 CM ?

5 ,求二面角 A-MB1-C 的大小. 2

【答案】 (Ⅰ)因为 三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥平面 ABC, 所以

CC1⊥BC.

…………1 分

因为 AC=BC=2, AB ? 2 2 , 所以 由勾股定理的逆定理知 BC⊥AC. ………………2 分

又因为 AC∩CC1=C, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. 因为 AM ? 平面 ACC1A1, 所以 BC⊥AM. (Ⅱ)过 N 作 NP∥BB1 交 AB1 于 P,连结 MP ,则 ……………………4 分
C1 M A1 P B1

……………………3 分

NP∥CC1,且 ?ANP ∽ ?ABB1 . ……………5 分
于是有

NP BB1

?

AN AB


C B N A

由已知

AN CM NP CM ,有 . ? ? BB1 CC1 AB CC1

因为 BB1=CC1. 所以 NP=CM. 所以 四边形 MCNP 是平行四边形. 所以 CN//MP. ……………6 分 ………………7 分

因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, ……………8 分 所以 CN //平面 AB1 M. (Ⅲ)因为 BC⊥AC,且 CC1⊥平面 ABC, 所以 以 C 为原点,CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z
M

……………9 分
z C1 A1 B1

轴建立空间直角坐标系 C-xyz.…………………10 分 因为

CM ?

5 2

,所以 C(0,0,0),A(2,0,0),

y C N A x B

B1(0,2,4), M (0, 0, ) , AM ? ( ?2, 0, ) , 2 2 3 B1M ? (0, ?2, ? ) . 2

5

5

……………………11 分

设平面 AMB1 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AM ? 0 , n ? B1M ? 0 .

5 ? (?2, 0, ) ? ( x, y, z )=0, ? ? 2 即? ?(0, ?2, ? 3 ) ? ( x, y, z )=0. ? ? 2
令 x ? 5 ,则 y ? ?3, z ? 4 ,即 n ? (5, ?3, 4) . ……………………12 分

又平面 MB1C 的一个法向量是 CA=(2,0,0) , 所以

cos ? n, CA>=

n ? CA 2 . ? | n || CA | 2

……………………13 分

由图可知二面角 A-MB1-C 为锐角, 所以 二面角 A-MB1-C 的大小为

? . 4

……………………14 分

7.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】 (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? PD , PA ? 平面 PDC ,

E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: PB // 平面 EAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的余弦值. 【答案】 (Ⅰ)证明:连接 BD 与 AC 相交于点 O ,连结 EO . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 O 为 BD 中点. 因为 E 为棱 PD 中点. 所以 PB // EO . ………………3 分
x A z P E D O B y C

因为 PB ? 平面 EAC , EO ? 平面 EAC , 所以直线 PB //平面 EAC . ………………4 分 (Ⅱ)证明:因为 PA ? 平面 PDC ,所以 PA ? CD . 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD , 所以 CD ? 平面 PAD . 所以平面 PAD ? 平面 ABCD .

………………5 分

………………7 分 ……… ………8 分

(Ⅲ)解法一:在平面 PAD 内过 D 作直线 Dz ? AD . 因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 Dz ? 平面 ABCD . 由 Dz, DA, DC 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . …………9 分 设 AB ? 4 ,则 D(0,0,0), A(4,0,0), B(4, 4,0), C(0, 4,0), P(2,0, 2), E (1,0,1) .

所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) . 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ?

? ?n ? EA ? 0, ? ?n ? AC ? 0.
…………11 分

所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0, 0,1) . 所以 | cos 〈n, v〉 |?

? 3x ? z ? 0,

……………12 分

| n ? v | 3 11 . ? | n || v | 11

………………13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角, 所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

……………14 分

解法二:取 AD 中点 M , BC 中点 N ,连结 PM , MN . 因为 ABCD 为正方形,所以 MN // CD . 由(Ⅱ)可得 MN ? 平面 PAD . 因为 PA ? PD ,所以 PM ? AD . 由 MP, MA, MN 两两垂直,建立如图所示 的空间直角坐标系 M ? xyz .
x A P E
M

z

D O B
N

C y

………………9 分

设 AB ? 4 ,则 A(2,0,0), B(2, 4,0), C(?2, 4,0), D(?2,0,0), P(0,0, 2), E (?1,0,1) . 所以 EA ? (3,0,?1) , AC ? (?4,4,0) . 设平面 EAC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ?

? ?n ? EA ? 0, ? ?n ? AC ? 0.
……………11 分

所以 ? 取 x ? 1 ,得 n ? (1,1,3) . ?? 4 x ? 4 y ? 0. 易知平面 ABCD 的法向量为 v ? (0,0,1) . 所以 | cos 〈n, v〉 |?

? 3x ? z ? 0,

…………12 分

| n ? v | 3 11 . ? | n || v | 11

……………13 分

由图可知二面角 E ? AC ? B 的平面角是钝角,

所以二面角 E ? AC ? B 的余弦值为 ?

3 11 . 11

…………14 分

8.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】 (本小题满分 12 分)如图 5 ,已知在四棱锥

P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD ,PA ? AD ? 1 ,AB ? 2 ,F 是 PD
的中点, E 是线段 AB 上的点. (I)当 E 是 AB 的中点时,求证: AF // 平面 PEC ; (II)要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,试确定 E 点的位置.

P F D C

A

E
图5

B

【答案】解: 【法一】 (I)证明:如图,取 PC 的中点 O ,连接 OF , OE . 由已知得 OF / / DC 且 OF ? 又

1 DC , 2

E 是 AB 的中点,则 OF / / AE 且 OF ? AE ,
·················· 4?

? AEOF 是平行四边形,
∴ AF / / OE 又

OE ? 平面 PEC , AF ? 平面 PEC

? AF / / 平面 PEC ···························· 6 ?
(II)如图,作 AM ? CE 交 CE 的延长线于 M . 连接 PM ,由三垂线定理得 PM ? CE ,

? ?PMA 是二面角 P ? EC ? D 的平面角.即? ?PMA ? 45o ··········· 9 ?

PA ? 1 ? AM ? 1 ,设 AE ? x ,
由 ?AME ? ?CBE 可得 x ?

(2 ? x) 2 ? 1 ? x ?

5 4

故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需 AE ?
o

5 ············ 12 ? 4

【法二】 (I)由已知, AB, AD, AP 两两垂直,分别以它们所在直线为 x, y, z 轴建立空间 直角坐标系 A ? xyz . 则 A(0, 0, 0) , F (0,
z

1 1 1 1 P 2? , ) ,则 AF ? (0, , ) ·················· 2 2 2 2 E (1, 0, 0) , C (2,1, 0) , P(0, 0,1) , F
D A E y C B x

设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z)

? ?m EC ? 0 ? x ? y ? 0 则? , ?? ? ?m EP ? 0 ?? x ? z ? 0
令 x ? 1 得 m ? (1, ?1,1) ……………………………………… 4? 由 AF m ? (0, , ) (1, ?1,1) ? 0 ,得 AF ? m

1 1 2 2

又 AF ? 平面 PEC ,故 AF / / 平面 PEC ···················· (II)由已知可得平面 DEC 的一个法向量为 AP ? (0,0,1) , 设 E ? (t ,0,0) ,设平面 PEC 的法向量为 m ? ( x, y, z) 则?

6?

?m EC ? 0 ?

?(2 ? t ) x ? y ? 0 ?? ,令 x ? 1 得 m ? (1, t ? 2, t ) ··········· 10? ? tx ? z ? 0 m EP ? 0 ? ? ?
由 cos 45o ?|

AP n 5 |? t ? , 4 | AP | ? | n |
o

故,要使要使二面角 P ? EC ? D 的大小为 45 ,只需 AE ?

5 4

12 ?

9. 【贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理】 (满分 12 分) 如右图, 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=AB,D 是 AC 的中点. (Ⅰ)求证:B1C//平面 A1BD; (Ⅰ)求二面角 A—A1B—D 的余弦值.

【答案】解:(1)证明:连 AB1 交 A1B 于点 E ,连 DE . 则 E 是 AB1 的中点, ∵ D 是 AC 的中点,∴ DE // B1C ∵ DE ? 平面 A1BD , B1C ? 平面 A1BD ,∴ B1C ∥平面 A1BD .…………………6 分 (2)法一:设 AA1 ? 2a ,∵ AA 1 ,且 AE ? 1 ? AB ,∴ AE ? BA 作 AF ? A1D ,连 EF ∵平面 A1BD ⊥平面 ACC1 A 1 BD ,∴ EF ? BA 1 ,∴ AF ? 平面 A 1 ∴ ? AEF 就是二面角 A ? A1B ? D 的平面角, 在 ?A1 AD 中, AF ?

2a ,

2 a, 5

在 ?AEF 中, EF ?

4 6 AE 2 ? AF 2 ? 2a 2 ? a 2 ? a 5 5
6 a 5 ? 15 ,即二面角 A ? A B ? D 的余弦值是 15 .…………12 1 5 5 2a

cos?AEF ?


EF ? AE

解法二:如图,建立空间直角坐标系. 则 D(0,0,0) , B(0, 3a,0) , A(?a, 0, 0) , A1 (?a,0, 2a)

∴ AA 1 ? (0,0,2a) , AB ? (a, 3a,0) , DA 1 ? (?a,0,2a) , DB ? (0, 3a,0) 设平面 A1BD 的法向量是 m ? ( x, y, z) ,则 由?

? ?m ? DA 1 ? ?x ? 2z ? 0 ? ?m ? DB ? 3 y ? 0

,取 m ? (2,0,1)

设平面 AA 1 B 的法向量是 n ? ( x, y, z) ,则 由?

? ?n ? AB ? x ? 3 y ? 0 ? 1 ? 2z ? 0 ?n ? AA

,取 n ? ( 3,?1,0)

记二面角 A ? A1B ? D 的大小是 ? ,则 cos ? ?

m?n 2 3 15 ? ? , 5 | m || n | 2 5

即二面角 A ? A1B ? D 的余弦值是

15 .…………………………12 分 5

10.【天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理】 (本小题满分 15 分) 如图,在四 棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形 ,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,

PD ? DC , E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F
(1)证明: PA // 平面 EDB . (2)证明: PB ? 平面 EFD . (3)求二面角 C ? PB ? D 的大小.

【答案】(1)证明:连接 AC 与 BD 交于 M ,

ABCD 为正方形,? M 为 AC 中点.

E 为 PC 中点,? EM / / PA
又 EM ? 平面 EDB , PA ? 平面 EDB

? PA //平面 EDB

(2)

PD ? DC, E 为 PC 中点,

? DE ? PC ABCD 为正方形,? BC ? CD


PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD

? BC ? PD 又 PD、CD 是平面 PCD 内的两条相交直线,
即 BC ? 平面 PCD ,又 DE ? 平面 PCD ,所以 DE ? BC

11.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理】(本小题满分 12 分) 如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, AB ? 2 AD ? 2 ,点 E 为

AB 的中点.
(1)求证: BD1 // 平面A1 DE ; (2)求证: D1 E ? A1 D ; (3)在线段 AB 上是否存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 的长;若不存在,请说明理由.

? ?若存在,求出 AM 6

【答案】解: (Ⅰ) 四边形ADD O是AD1的中点 , 点 E 为 AB 的中点,连接 1A 1为正方形,

OE

? EO为?ABD 1 的中位线 ? EO // BD 1 ……2 分
又? BD1 ? 平面A1 DE, OE ? 平面A1 DE (II)正方形 ADD1 A1 中, A1 D ? AD1 ,

? BD1 // 平面A1 DE ………4 分

由已知可得: AB ? 平面ADD1 A1 ,

A1 D ? 平面ADD1 A1

? AB ? A1D , AB ? AD1 ? A ? A1 D ? D1 E
…………8 分

? A1 D ? 平面A1DE,D1E ? 平面AD1E

故当 AM ? 2 ?

? 3 时,二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 6 3

……………12 分

(注:其它方法同样得分)

12.【云南省玉溪一中 2013 届高三第五次月考理】本小题满分 12 分)在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8.现沿对角线 BD 把△ABD 折起, 折起后使∠ADC 的余弦值为 9 . 25

(1)求证:平面 ABD⊥平面 CBD; (2)若 M 是 AB 的中点,求折起后 AC 与平面 MCD 所成角的正弦值。

【答案】(1)证明 在菱形 ABCD 中,记 AC,BD 的交点为 O,AD=5, ∴OA=4,OD=3,翻折后变成三棱锥 A-BCD,在△ACD 中,

AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos ∠ADC
9 =25+25-2×5×5× =32, 25 在△AOC 中,OA +OC =32=AC , ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC, 又 AO⊥BD,OC∩BD=O, ∴AO⊥平面 BCD, 又 AO?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 CBD. (2)由(1)知 OA,OC,OD 两两互相垂直,分别以 OC,OD,OA 所在直线为 x,y,z 轴建立 3 ? ? 空间直角坐标系,则 A(0,0,4) , B(0 ,- 3,0) , C(4,0,0) , D(0,3,0) , M ?0,- ,2? ,= 2 ? ?
2 2 2

?4,3,-2?,=(4,-3,0),=(4,0,-4), ? 2 ? ? ?
3 ? ?4x+ y-2z=0 2 设平面 MCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则由,得? ? ?4x-3y=0 ,令 y=4,有

n=(3,4,9),
设 AC 与平面 MCD 所成的角为θ ,sin θ =|cos 〈,n〉|=?

? 12-36 ? 3 53, ?= ? 106· 32? 53

3 ∴AC 与平面 MCD 所成角的正弦值为 53. 53 13.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理】 (本小题满分 12 分)如图 4,正 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 是 AC 中点. (1)求证:平面 BEC1 ⊥平面 ACC1 A1 ;

(2)若
B

A1 A 2 ,求二面角 E ? BC1 ? C 的大小. ? AB 2
B1 A1

A E C

C1

【答案】 (Ⅰ)证明:如图 3,∵ ABC ? A1B1C1 是正三棱柱,

∴ AA1 ? 平面ABC, ∴ BE ? AA1 . ∵△ABC 是正三角形,E 是 AC 中点, ∴ BE ? AC , ∴ BE ? 平面ACC1 A1 . 又∵ BE ? 平面BEC1 , ∴平面 BEC1 ? 平面ACC1 A1 . ………………………………………(6 分)
图3

(Ⅱ) 解:如图 4,作 CF ? EC1于F , FG ? BC1 于 G,连 CG. ∵平面 BEC1 ? 平面ACC1 A1 , ∴ CF ? 平面BEC1 , ∴FG 是 CG 在平面 BEC1 上的射影.

∴根据三垂线定理得, CG ? BC1 , ∴∠CGF 是二面角 E ? BC1 ? C 的平面角, 设 AB ? a ,∵
A1 A 2 2 ? a. ,则 A1 A ? AB 2 2

图4

在 Rt△ECC1 中, CF ?

EC ? CC1 6 ? a. EC1 6 BC ? CC1 3 ? a, BC1 3
CF 2 ? , CG 2

在 Rt△BCC1 中, CG ?

在 Rt△ CFG 中,∵ sin ?CGF ? ∴ ?CGF ? 45? .

∴二面角 E ? BC1 ? C 的大小是 45°. ………………………………(12 分)



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