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概率与统计、排列组合、平面向量、数列、函数、三角函数专题大合辑


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广东省揭东县登岗中学 2009 届高考数学二轮专题突破训练
2009 届高考数学二轮专题突破训练——概率与统计
一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩, 统计如表, 则这 100 人成绩的标准差为 ( ) 分 数 人数 A. 3 B. 5 20 C.3 4 10 D. 3 30 2 30 1 10

2 10 5

8 . 5

2 从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同 学又有女同学的概率为( ) A.

9 29

B.

10 29

C.

19 29

D.

20 29

3、已知随机变量 ? 服从正态分布 N(3,a2),则 P(? ? 3) ? A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

4、某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 是 A.

4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率 5 192 625

16 625

B.

96 625

C.

D.

256 625

5、某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女 生,那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28 D.48

6、某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级 抽取的学生人数为( C ) A.24 B.18 C.16 D.12
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7、4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡 片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和 为奇数的概率为( ) A.

一年级 女生 男生 D. 373 377

二年级

三年级

x
370

y z

1 3

B.

1 2

C.

2 3

3 4

8、明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己, 假设甲闹钟准时响的概率是 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90,则两个闹钟至少有一准时 响的概率是( ) A.0.9 B.0.95 C.0.98 D.0.97 9、电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任 一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为 A.

1 180

B.

1 288

C.

1 360

D.

1 480

10、两位大学毕业生一起去一家单位应聘,面试前单位负责人对他们说: “我们要从面试的 人中招聘 3 人,你们俩同时被招聘进来的概率是 1 ” ,根据这位负责人的话可以推断出参

70

加面试的人数为( ) A.21 B.35 C.42 D.706 11、一组数据的平均数是 2.8 ,方差是 3.6 ,若将这组数据中的每一个数据都加上 60 ,得 到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A. 57.2 3 . 6 B. 57.2 5 6 . 4 C. 62.8 6 3 . 6 D. 62.8 3 . 6 12、已知 k ? Z , AB ? (k ,1), AC ? (2, 4) ,若 概率是( A. ) B.

??? ?

????

AB ? 10 ,则△ABC 是直角三角形的
3 7 4 7
六 个 点 :

???? ?

1 7

2 7

C.

D.

二.填空题:本大题共 6 个小题。把答案填在题中横线上。 13 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,



A(

0、 , B0 、)

、 C(

2 、D 0 ,

) 、

E ( 中任取三个, ) 1 , F1 这三点能构成三角形的 2 ( 0 ,

)

概率是_________________(结果 用分数表示) 14、 为了调查某厂工人生产某种产 品的能力,随机抽查了 20 位工人 某天生产该产品的数量, 产品数量 的分组区间为 [45,55) ,[55, 65) ,

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[65, 75) , [75,85) , [85,95) ,由此得到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天生
产该产品数量在 [55, 75) 的人数是 。

15、已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总 体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别是__________________ 16、某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多) ,要在如题(16)图所示的 6 个点 A、 B、C、A1、B1、C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯 泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共 有 种(用数字作答). 17、 一个单位共有职工 200 人, 其中不超过 45 岁的有 120 人, 超过 45 岁的有 80 人. 为了调查职工的健康状况, 用分层抽样 的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本,应抽取超过 45 岁的职工 人. 18、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 由以上数据设计了如下茎叶图: 甲 7 8 7 8 5 5 3 9 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 乙

5 6 3 2 3

7 5 2 6

5 4 7

6 7

8 9

8

根据以上茎叶图,对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ①__________________________________________________________________________ ②__________________________________________________________________________ 三.解答题:本大题共 9 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 19、现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语, B1,B2,B3 通晓俄语,

C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小组.
(Ⅰ)求 A1 被选中的概率;
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(Ⅱ)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

20、为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植 了 n 株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学 期望 E? ? 3 ,标准差 ?? 为

6 。 2

(Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率

21、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位 , 至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列.

22、随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等 品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ;
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(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提高为 70% .如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少? 23、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面 试合格就签约。乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人 面试合格的概率都是

1 ,且面试是否合格互不影响。求: 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)签约人数 ? 的分布列和数学期望.

24、某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中目标得

2, 1 ~ i (i ? 1,3) 分,3 次均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目标的概率为 0.8,其
各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望.

25、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率位 0.5,购买乙种商品的概率为 0.6, 且购买甲种商品与乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品是相互独立的. (Ⅰ)求进入该商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率 (Ⅱ)求进入该商场的 3 位顾客中,至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概 率

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26、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为

1 与 p ,且乙投球 2

1 . 16 (Ⅰ)求乙投球的命中率 p ;
2 次均未命中的概率为 (Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率.

27、一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球,已知袋中共有 10 个球,从中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是

2 7 ;从中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 .求: 5 9

(Ⅰ)从中任意摸出 2 个球,得到的都是黑球的概率; (Ⅱ)袋中白球的个数。

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答案: 一、选择题 1、B 2、D 3、D 4、B 5、A 6、C 7、C 8、C 9、C 10、A 11、D 12、C 二、填空题 3 13、4 14、13 15、10.5 和 10.5 16、216 17、10

18、 .乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的 (1) 纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . (2) .甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长 度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉 花的纤维长度的分散程度更大) . (3) .甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. (4) .乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种 棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 三、解答题 19 解: (Ⅰ)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组成的基本 事件空间

(A (A (A ? ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ) , ( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), 2,B1,C2 ), 2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , (A (A ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), 3,B1,C2 ), 3,B2,C1 ) , (A (A ( A3,B2,C2 ), 3,B3,C1 ), 3,B3,C2 ) } (A (A
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生 是等可能的. 用 M 表示“ A1 恰被选中”这一事件,则

(A (A M ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ), 1,B3,C2 ) } (A (A
事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P( M ) ?

6 1 ? . 18 3
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(Ⅱ)用 N 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“ B1,C1 全被选 中”这一事件,

(A (A 由于 N ? { ( A1,B1,C1 ), 2,B1,C1 ), 3,B1,C1 ) },事件 N 有 3 个基本事件组成,

3 1 1 5 ? ,由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? . 18 6 6 6 1 3 1 20(1)由 E? ? np ? 3, (?? )2 ? np(1 ? p) ? , 得 1 ? p ? ,从而 n ? 6, p ? 2 2 2
所以 P( N ) ?

? 的分布列为
?
P
0 1 2 3 4 5 6

1 64

6 64

15 64

20 64


15 64

6 64

1 64

(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,

则 P( A) ? P(? ? 3),

P( A) ?

1 ? 6 ? 15 ? 20 21 15 ? 6 ? 1 21 ? , 或 P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ? ? 64 32 64 32
3 A3 1 ? , 2 4 C5 A4 40

21 解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 E A ,那么 P ( E A ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是

1 . 40
4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10

(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P ( E ) ? 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E ) ? 1 ? P( E ) ?

9 . 10

(Ⅲ)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务,
3 C52 A3 1 则 P (? ? 2) ? 3 4 ? . C5 A4 4

所以 P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 2) ?

3 , ? 的分布列是 4

?

1
8

3

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1 4 126 50 22 解:1) 的所有可能取值有 6, 1, P(? ? 6) ? ( ? 2, -2; ? 0.63 , (? ? 2) ? P ? 0.25 200 200 20 4 P(? ? 1) ? ? 0.1, P(? ? ?2) ? ? 0.02 200 200

P

3 4

故 ? 的分布列为:

?
P

6 0.63

2 0.25

1 0.1

-2 0.02

(2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为

E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)
依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3% 23 解 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知 A,B,C 相互独立,且 P(A)=P(B)=P(C)=

1 . 2

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是

1 7 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( )3 ? . 2 8
(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )
= P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) =( ) ?( ) ?( ) ? .
3 2 3

1 2

1 2

1 2

3 8

P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )
= P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C )

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= ( )3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? .

1 2

1 2

1 2

3 8

1 P(? ? 2 ) ?P (A B C )? P( A) P( B) P( ? ) C 8 1 P(? ? 3 ) ?P (A B C )? P( A) P( B) P( ? ) C 8
所以, ? 的分布列是

.

.

?
P

0

1

2

3

3 3 1 8 8 8 3 3 1 1 ? 的期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8

1 8

, 3) 24(Ⅰ)设该射手第 i 次击中目标的事件为 Ai (i ? 1 2, ,则 P( Ai ) ? 0.8,P( Ai ) ? 0.2 ,
P( Ai Ai ) ? P( Ai ) P( Ai ) ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16 .
(Ⅱ) ? 可能取的值为 0,1,2,3.

? 的分布列为 ?
P
0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8

E? ? 0 ? 0.008 ? 1? 0.032 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.8 ? 2.752 .
25 解: (Ⅰ)记 A 表示事件:进入该商场的 1 位顾客选购甲种商品; B 表示事件:进入该商场的 1 位顾客选购乙种商品; C 表示事件:进入该商场 1 位顾选购甲、乙两种商品中的一种。 则 C=(A·B )+( A · B) P(C)=P(A·B + A · B) =P(A·B )+P( A · B) =P(A)· B )+P( A )· P( P(B) =0.5×0.4+0.5×0.6 =0.5 (Ⅱ)记 A2 表示事件:进入该商场的 3 位顾客中恰有 2 位顾客既未选购甲种商品,也未选 购乙种商品; A3 表示事件:进入该商场的 3 位顾客中都未选购甲种商品,也未选购乙种商品; D 表示事件:进入该商场的 1 位顾客未选购甲种商品,也未选购乙种商品;
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E 表示事件:进入该商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未选购甲种商品,也未选购乙种商 品。 则 D= A ·B P(D)=P( A ·B )=P( A )· B )=0.5×0.4=0.2 P( 2 2 P(A2)= C 3 ×0.2 ×0.8=0.096 P(A3)=0.23=0.008 P(E)=P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=0.096+0.008=0.104 26(Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件 A , “乙投球一次命中”为事件 B ,由题意 得 (1 ? P( B)) 2 ? (1 ? p) 2 ? 解得 p ?

1 , 16

3 5 3 或 p ? (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 4 4 解法二:设“甲投球一次命中”为事件 A , “乙投球一次命中”为事件 B ,由题意得 1 1 1 3 ,故 p ? 1 ? P( B) ? . P( B) P( B) ? ,于是 P( B) ? 或 P( B) ? ? (舍去) 16 4 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 1 1 (Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知, P( A) ? , P( A) ? . 2 2 3 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 ? P( A?A) ? . 4 1 1 解法二:由题设和(Ⅰ)知, P( A) ? , P( A) ? . 2 2 3 1 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 C2 P( A) P( A) ? P( A) P( A) ? . 4 1 1 3 1 (Ⅲ)解:由题设和(Ⅰ)知, P( A) ? , P( A) ? , P( B) ? , P( B ) ? . 2 2 4 4
甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中 2 次,乙 2 次均不中;甲 2 次均不中,乙中 2 次.概率分别为

C1 P( A) P( A)C1 P( B) P( B ) ? 2 2 P( A?A) P( B ?B ) ?

3 , 16

1 9 , P( A?A) P( B?B) ? . 64 64 3 1 9 11 . ? ? ? 16 64 64 32

所以甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次的概率为 27(Ⅰ)解:由题意知,袋中黑球的个数为 10 ?

2 ? 4. 5

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2 C4 2 . 记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件 A,则 P ( A) ? 2 ? C10 15

(Ⅱ)解:记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 B。 设袋中白球的个数为 x,则

P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?
得到

2 C n ?1 7 ? , 2 9 Cn

x=5

2009 届高考数学二轮专题突破训练——排列组合
一、选择题:本大题共 16 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、某高校外语系有 8 名奥运会志愿者,其中有 5 名男生,3 名女生,现从中选 3 人参加某 项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这 3 人中既有男生,又有女生,则不同的 选法共有( A.45 种
n

). B.56 种 C.90 种 D.120 种 )

2 ? ? 2、若二项式 ? 3 x 2 ? 3 ? (n ? N * ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小取值是 ( x? ?
A 5
10

B

6

C7

D8

1 ? ? ? 展开式中,含 x 的负整数指数幂的项共有( 3、在 ? x ? 2x ? ?
A.8 项 B.6 项 C.4 项

) D.2 项

4、某电视台连续播放 5 个不同的广告,其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传
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广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能连续播放,则 不同的播放方式有 ( A.120 种 ) C.36 种 D.18 种

B.48 种

5、从 5 名奥运志愿者中选出 3 名,分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作,每人承担 一项,其中甲不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有 A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.60 种 ( )

6、有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个 座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么不同的坐法种数是( ) A.234 B.346 C.350 D.363

7、五个工程队承建某项工程的 5 个不同的子项目,每个工程队承建 1 项,其中甲工程队不 能承建 1 号子项目,则不同的承建方案共有
1 4 A. C4C4 种 1 4 B. C4 A4 种 4 C. C4 种 4 D. A4 种

8、有两排座位,前排 4 个座位,后排 5 个座位,现安排 2 人就坐,并且这 2 人不相邻(一 前一后也视为不相邻) ,那么不同坐法的种数是 A.18 B.26 C.29 D.58

9、某次文艺汇演,要将 A、B、C、D、E、F 这六个不同节目编排成节目单,如下表: 序号 节目 如果 A、 两个节目要相邻, B 且都不排在第 3 号位置, 那么节目单上不同的排序方式有( A
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1

2

3

4

5

6



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192 种
10

B

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96 种 ( )

D

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72 种

1 ? ? 4 10、在 ? x ? ? 的展开式中, x 的系数为 2x ? ?
A ? 120
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B 120
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C ? 15
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D 15
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11、若 ( x ? 1)5 ? a0 ? a1( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ...? a5 ( x ? 1)5 ,则 a0 = ( A.32 B.1 C.-1
13



D.-32

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( 12、设 5x ?

n x)的展开式的各项系数之和为 M, 二项式系数之和为 N,若 M-N=240, 则展

开式中 x3 的系数为 A.-150 C.-500 B.150 D.500

13、2007 年 12 月中旬,我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾,电煤库存吃紧.为了支援 南方地区抗灾救灾,国家统一部署,加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对 6 列电煤 货运列车进行编组调度,决定将这 6 列列车编成两组,每组 3 列,且甲与乙两列列车不在 同一小组.如果甲所在小组 3 列列车先开出,那么这 6 列列车先后不同的发车顺序共有() A.36 种 B.108 种 C.216 种 D.432 种

14、现有甲、已、丙三个盒子,其中每个盒子中都装有标号分别为 1、2、3、4、5、6 的六 张卡片,现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列 的取法数为 ( A.14 B.16
8

) C.18 D.20 ) C. ?28 D. 28

15、若 ? x ? 1?? x ? 1? 的展开式中 x 5 的系数是( A. ?14 B. 14

16、甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3 项,乙公司承包 1 项,丙、丁 两公司各承包 2 项,共有承包方式 A.3360 种 B.2240 种 ( ) D.1120 种

C.1680 种

二.填空题:本大题共 15 个小题。把答案填在题中横线上。 17、从 10 名男同学,6 名女同学中选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学 又有女同学的不同选法共有
3 4

种(用数字作答)

18、 ?1 ? 2 x ? ?1 ? x ? 展开式中 x 的系数为_______________。 19、从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加, 则不同的挑选方法共有________________种。

14

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2? ? 3 20、 ? x ? ? 的二项展开式中 x 的系数为 x? ?

5

(用数字作答) .

21、 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色 卡片,从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,则不同的排法共有 种(用数字作答) .

22、用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶性 不同,且 1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是 (用数字作答)。

23、某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排 一个班,不同的安排方法共有 种. (用数字作答)

24、某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲、乙两门课程不能都选, 则不同的选课方案有___________种。 (以数字作答) 25、要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表, 要求数学课排在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法种数为 。

, ? 6) 26、将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列,记第 i 个数为 ai (i ? 1 2, , ,若 a1 ? 1 , a3 ? 3 , a5 ? 5 , a1 ? a3 ? a5 ,则不同的排列方法有
27、 ( x ? 种(用数字作答) .

1 x ) 展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 4 x
n

(用数字作答) .

28、 ( x ? ) 的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是

1 x

. 种.

29、安排 3 名支教老师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方案共有 (用数字作答) 30、 (1 ? 2 x) 的展开式中的系数是 ..
5

.(用数字作答) 种.

31、 安排 3 名支教教师去 4 所学校任教, 每校至多 2 人, 则不同的分配方案共有 (用数字作答) 三.解答题:本大题共 1 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15

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32、由 0,1,2,3,4,5 这六个数字。 (1)能组成多少个无重复数字的四位数? (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)能组成多少个无重复数字且被 25 个整除的四位数? (4)组成无重复数字的四位数中比 4032 大的数有多少个?

答案:一、选择题 1、A 2、C A 12、B

3、C 4、C 5、C 6、B

7、B 8、D 9、B 10、C 11、

13、C 14、C 15、B 16、C 18、2 19、140 20、10 21、432 22、40 23、240 24、

二、填空题 17、420 25 25、288 三、解答题

26、30 27、72 28、8 29、210 30、40 31、60

解: (1) A15 ?A35 ? 300 (2) A35 ? A12 A14 A2 4 ? 156 (3) A13 A13 ? A2 4 ? 21 (4) A35 ? A14 A2 4 ? A13 ? 1 ? 112 .m

2009 届高考数学二轮专题突破训练——平面向量
一、选择题:本大题共 15 题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、 在平行四边形 ABCD 中, 为一条对角线, AB ? (2, 4) ,AC ? (1,3) ,则 AB ?( AC 若 A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4)
.m

??? ?

????

??? ?



2 若过两点 P1(-1,2),P2(5,6)的直线与 x 轴相交于点 P,则点 P 分有向线段 P P2 所成的比 ? 的 1 值为

???? ?

1 1 1 C. D. 5 5 3 3、在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 ???? ??? ? ??? ? ) CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? (
A.- B. - A.

1 3

1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

D. a ?

1 3

2 b 3

16

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???? ??? ??? ? ? ??? ? 4、设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC ? 2 BD, CE ? 2 EA,

???? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? AF ? 2 FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC
A.反向平行 C.互相垂直 B.同向平行 D.既不平行也不垂直

5、已知 O,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC ? ( )

???? ??? ?

????

A. 2OA ? OB

??? ??? ? ?
r

B. ?OA ? 2OB

??? ?

??? ?

C.

6、平面向量 a , b 共线的充要条件是(

r

? ? 2 ??? 1 ??? OA ? OB 3 3

D. ? OA ?

? 1 ??? 3

? 2 ??? OB 3

r r A. a , b 方向相同 r r C. ?? ? R , b ? ? a

r r B. a , b 两向量中至少有一个为零向量 r r r D. 存在不全为零的实数 ?1 , ?2 , ?1 a ? ?2 b ? 0



7、在 △ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2 DC ,则 AD ? (

??? ?

????

??? ?

????

????



5 2 2 1 1 2 C. b ? c D. b ? c b 3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? 8、已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 135? ,则 | a ? ? b |? 1 的充要条件是
A. B. c ? A. ? ? (0, 2) C. ? ? (??, 0) ? ( 2, ??) 9、若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) , A. (1,1) B. (-1,-1) B. ? ? (? 2, 0) D. ? ? (??, ? 2) ? ( 2, ??) 则 BC ? (

2 1 b? c 3 3

??? ?

????

??? ?

) D. (-3,-7)

C. (3,7)

10、已知平面向量, b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b =( A、 (?5, ?10) B、 (?4, ?8) C、 (?3, ?6) D、 (?2, ?4)

?

?

?

?

?



11、设 a =(1,-2), b =(-3,4),c=(3,2),则 ( a ? 2b) ? c = A. (?15,12) B.0 C.-3 D.-11

?

?

?

? ?

17

? ? ? ? ? 12、已知平面向量 a =(1,-3) b =(4,-2) ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( , ,
A. -1 B. 1 C. -2 13、设平面向量 a ? (3,5), b ? (?2,1), 则a ? 2b ? ______ A. (7,3) B. (7, 7) C. (1,7) D. 2 D. (1,3)

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? ? ? ? ? ? ? 14、已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? ? b 与 ? a ? b 互相垂直的充要条件是 3
( )

A. ? ? ?

3 3 或? ? 2 2

B. ? ? ?

1 1 或? ? 2 2

C. ? ? ?1 或 ? ? 1

D. ? 为任意实数

二.填空题:本大题共 7 小题。把答案填在题中横线上。 15、设向量 a ? (1 2) b ? (2, ,若向量 ?a ? b 与向量 c ? (?4, 7) 共线,则 ? ? ,, 3) ? 16、已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1, 0) , ? a ? b ? 17、关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题: ①若 a? = a? ,则 b ? c .②若 a ? (1 k ),b ? (?2, , a ∥ b ,则 k ? ?3 . , 6) b c ③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 .
?

?

?

?

?

29 且 ? ? 0 ,则 ? = ____________

其中真命题的序号为

. (写出所有真命题的序号)

? ? ? ? ?? ? ? ? b 18、若向量 a、 满足 a ? 1, b ? 2, 且 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? b =___________________ 3
19、如图,在平行四边形 ABCD 中, AC ? ?1,2?, BD ? ?? 3,2? , 则 AD ? AC ? .

20、 a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 21、如图,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: A. AC ? AF ? 2BC

?

?

?

?

?

?



??? ??? ? ?

??? ?
E

???? ???? ? ??? ? B. AD ? 2 AB ? 2 AF
C. AC ? AD ? AD ? AB D. ( AD ? AF ) EF ? AD( AF ? EF )
18

D

??? ???? ?

???? ??? ?

F

C

???? ??? ??? ? ?

???? ??? ??? ? ?

A

B

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其中真命题的代号是

(写出所有真命题的代号) .

22、已知平面向量 a ? (2, , b ? (?1 2) ,若 c ? a ? (a ? )b ,则 c ? 4) , b 23、已知 a 是平面内的单位向量,若向量 b 满足 b·(a-b)=0, 则|b|的取值范围是

答案:
一、选择题 1、B 2、A 3、B 4、A 5、A 6、D 7、A 8、C 9、B 10、B 11、C 12、A 13、A 14、C 二、填空题 15、2 16、3 17、② 18、 7 19、3 20、7 21、A B D 22、 8 2 23、[0,1]

2009 届高考数学二轮专题突破训练----数列
一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项和为( A.63 B.64 C.127 D.128 ) )

2 记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? A.16 B.24 C.36

1 , S 4 ? 20 ,则 S 6 ? ( 2
D.48

3、设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则

S4 ?( a2
D.

).

A. 2

B. 4

C.

15 2

17 2


4、已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于(
19

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A.64

B.100

C.110

D.120

5、设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则

S4 ?( a2



A. 2

B. 4

C.

15 2

D.

17 2


6、若等差数列 ?an ? 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( A.12 B.13 C.14 D.15

7、等比数列 {a n } 中,公比 q ? 1 ,且 a1 ? a6 ? 8 , a3a4 ? 12 ,则

a6 等于( a11



A.

1 2

B.

1 6

C.

1 3

D.

1 1 或 3 6
(n ? N * ) ,则 a 20 =(
3 2
) )

8、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

A.0

B. 3

C. ? 3

D.

9、已知等比数列 {an} 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是( (A) ? ??, ?1? (C) ?3, ?? ? (B) ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ? (D) ? ??, ?1? ? ? 3, ?? ?

10、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为(



A、3 B、4 C、5 D、6 11、若数列{an}的前 n 项由如图所示的流程图输出依次给出,则数列{an}的通项公式 an= ( ). A.

1 n(n ? 1) 2

B.

1 n(n ? 1) 2

C.n-1

D.n 1 , 3 , 5

* 12、已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N 满足 a p ? q ? a p ? aq ,

且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于(


20

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A. ?165

B. ?33

C. ?30

D. ?21

二.填空题:本大题共 4 个小题。把答案填在题中横线上。 13、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= 14、设数列 {an } 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? n ? 1 ,则通项 an ? ___ 15、 、已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a n ?1 ? a n ?

.

1 3 n ?1

?n ? N *? ,则 lim a n n??

?

16、已知函数 f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为 2,若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·?·f(a10)]= 三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 n * 17、已知数列{xn}的首项 x1=3,通项 xn=2 p-np(n∈N ,p,p 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数 列,求: (Ⅰ)p,q 的值; (Ⅱ)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式。

18、已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 S n 的最大值。

19、设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2n (Ⅰ)求 a1 , a4 (Ⅱ)证明: {an?1 ? 2an } 是等比数列 (Ⅲ)求 {an } 的通项公式.
21

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20、数列 an ? 是首项 a1 ? 4 的等比数列,且 S 3 , S 2 , S 4 成等差数列, (1)求数列 an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log 2 an ,设 Tn 为数列 ? 成立,求实数 ? 的最小值.

?

?

?

1 ? * ? 的前 n 项和,若 Tn ≤ ? bn ?1 对一切 n ? N 恒 bn bn ?1 ? ?

* 22、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? a , an ?1 ? Sn ? 3 , n ? N .
n

(Ⅰ)设 bn ? S n ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;
n

(Ⅱ)若 an ?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

在数列 | an | , | bn | 中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an?1 成等差数列, bn,an?1,bn?1 成等比数 列( n ? N )
*

(Ⅰ)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测 | an | , | bn | 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:

1 1 1 5 ? ?…? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

22

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答案:
一、选择题 1、C 2、D 3、C 4、B 5、C 6、B 二、填空题 13、-72 三、解答题 17、解: (Ⅰ)由 x1 ? 3, 得 14、
n(n ? 1) ?1 2

7、C

8、C

9、D 10、B 11、B 12、C

15、

7 6

16、-6

2 p ? q ? 3, 又x4 ? 24 p ? 4q, x5 ? 25 p ? 5q, 且x1 ? x5 ? 2 x4 , 得 3 ? 2 5 p ? 5q ? 2 5 p ? 8q , 解得
p=1,q=1
(Ⅱ)

S n ? (2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? 2 n ?1 ? 2 ? n(n ? 1) . 2
? a1 ? d ? 1 ,解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . ? a1 ? 4d ? ?5

18、解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n ? 2 时, S n 取到最大值 4 . 19、解: (Ⅰ) a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ? a1 ? 2, S1 ? 2

2an ? Sn ? 2n ? 2an?1 ? Sn?1 ? 2n?1 ? an?1 ? Sn ? 2n?1 ? an ?1 ? Sn ? 2n?1 ????①
? a2 ? S1 ? 22 ? 6, S 2 ? 8 a3 ? S 2 ? 23 ? 16, S3 ? 24 a4 ? S3 ? 24 ? 40
(Ⅱ)由题设和①式知
23

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n ?1 n n

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an?1 ? 2an ? Sn ? 2 ? (Sn ? 2 ) ? 2 所以 {an ?1 ? 2an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 (Ⅲ) an ? (an ? 2an?1 ) ? 2(an?1 ? 2an?2 ) ? ??? ? 2n?2 (a2 ? 2a1 ) ? 2n?1 a1 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2n ? (n ? 1) ? 2n
20、解: (1)当 q ? 1 时, S3 ? 12,S2 ? 8,S4 ? 16 ,不成等差数列。

a1 (1 ? q 2 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 4 ) 当 q ? 1 时, 2 ? ? 1? q 1? q 1? q
∴ 2q ? q ? q
2 3 4



, ∴ q ? q ? 2 ? 0 ,∴ q ? ?2
2

∴ an ? 4(?2)

n ?1

? (?2)n?1
n ?1

(2) bn ? log 2 an ? log 2 (?2)

? n ?1

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2) n n Tn ≤ ? bn ?1 ,∴ ≤ ? (n ? 2) ∴ ? ≥ 2( n ? 2) 2(n ? 2) 2 1 1 n 1 又 ≤ , ? ? 2 4 2(4 ? 4) 16 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) n 1 ∴ ? 的最小值为 16
21、解: (Ⅰ)依题意, Sn ?1 ? Sn ? an ?1 ? Sn ? 3 ,即 Sn ?1 ? 2 Sn ? 3 ,
n n

由此得 Sn ?1 ? 3

n ?1

? 2( Sn ? 3n ) . ··············································· 4 分 ···············································

因此,所求通项公式为

bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n ?1 , n ? N* .① ········································· 6 分 ·········································
(Ⅱ)由①知 Sn ? 3 ? (a ? 3)2
n n ?1

, n?N ,
*

于是,当 n ≥ 2 时,

an ? Sn ? Sn?1
24

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? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,
an ?1 ? an ? 4 ? 3n ?1 ? (a ? 3)2n ?2
?2
n?2 n?2 ? ? ? 3? ?12 ? ? ? ? a ? 3? , ? 2? ? ? ? ?

当 n ≥ 2 时,

? 3? an ?1 ≥ an ? 12 ? ? ? ? 2?

n?2

? a ? 3≥ 0

? a ≥ ?9 .
又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .

? 综上,所求的 a 的取值范围是 ? ?9, ? ? .
22、解: (Ⅰ)由条件得 2bn ? an ? an ?1,an ?1 ? bnbn ?1
2

由此可得

a2 ? 6,b2 ? 9,a3 ? 12,b3 ? 16,a4 ? 20,b4 ? 25 .
猜测 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1) .
2

用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即

ak ? k (k ? 1),bk ? (k ? 1) 2 ,
那么当 n=k+1 时,

ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1) 2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2),bk ?1 ?
所以当 n=k+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an ? n(n ? 1),bn (n ? 1) 对一切正整数都成立.
2

2 ak ?1 ? (k ? 2) 2 . bk

25

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(Ⅱ)

1 1 5 ? ? . a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n . 故

1 1 1 1 1? 1 1 1 ? ? ?…? ? ? ? ? ?…? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 6 2 ? 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ?

?

1 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?…? ? ? 6 2?2 3 3 4 n n ?1 ? 1 1?1 1 ? 1 1 5 ? ? ? ?? ? ? 6 2 ? 2 n ? 1 ? 6 4 12

?

综上,原不等式成立. .m

2009 届高考数学二轮专题突破训练——函数
一、选择题:本大题共 15 题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. “函数 f ( x)( x ?R) 存在反函数”是“函数 f ( x) 在 R 上为增函数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件. )

定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy ( x,y ? R ) f )( 2? , , 1

则 f (?3) 等于( ) A.2 B.3
x ?3

C.6
?1

D.9

3.已知函数 f ( x ) ? 2

, f

( x) 是 f ( x) 的反函数,若 mn ? 16 ( m,n ? R + ) ,则

f ?1 (m) ? f ?1 (n) 的值为(


26

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A. ?2 4.设函数 f ?x ? ?
?1

B.1

C.4

D.10 )

1 1? x

?0 ? x ? 1? 的反函数为 f ?1 ?x ? ,则(

A. B. C. D. f

f f f

?x ? 在其定义域上是增函数且最大值为 1 ?x ? 在其定义域上是减函数且最小值为 0 ?x ? 在其定义域上是减函数且最大值为 1

?1

?1

?1

?x ? 在其定义域上是增函数且最小值为 0
?? x ? 1 ? x ?1 x?0 x?0
B. D. ,则不等式 x ? ?x ? 1? f ?x ? 1? ? 1 的解集是( )

5.已知函数 f ? x ? ? ?

A. C.

?x | ?1 ? x ? 2 ? 1? ?x | x ? 2 ? 1?

?x | x ? 1?

?x | ?

2 ?1 ? x ? 2 ?1

?

6. 已 知 函 数 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 ?0,??? 上 是 增 函 数 . 令

2? ? 5? ? 5? ? ? ? ? a ? f ? sin ?, b ? f ? cos ?, c ? f ? tan ? ,则( 7 ? 7 ? 7 ? ? ? ?
A. b ? a ? c B.

) D.

c?b?a

C.

b?c?a

a?b?c

7.设函数 y ? f ( x) ( x ? R) 的图象关于直线 x ? 0 及直线 x ? 1 对称,且 x ? [0,1]时,

3 f ( x) ? x 2 ,则 f (? ) ? 2 1 1 A. B. 2 4

(

) C.

3 4

D.

9 4

8.命题“若函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数,则 log a 2 ? 0 ”的逆否 命题是( )

A、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数 B、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内不是减函数
27

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C、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 D、若 log a 2 ? 0 ,则函数 f ( x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在其定义域内是减函数 9.设函数 f ( x) ? 2 x ? A.有最大值

1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( x

) D.是减函数

B.有最小值

C.是增函数

?1 ? x 2, x ≤ 1, ? 10.设函数 f ( x ) ? ? 2 则 ? x ? x ? 2,x ? 1, ?
A.

? 1 ? f? ? 的值为( A ) ? f (2) ?
C.

11.若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2 ? R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说 法一定正确的是 ( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C. f(x)+1 为奇函数 D.f(x)+1 为偶函数 12.函数 f ( x) ?

15 16

B. ?

27 16

8 9

D. 18

1 ? x 的图像关于( x

) B. 直线 y ? ?x 对称 D. 直线 y ? x 对称

A. y 轴对称 C. 坐标原点对称

13.设函数 y ? f ( x) ( x ? R) 的图像关于直线 x ? 0 及直线 x ? 1 对称,且 x ? [0,1]时,

3 f ( x) ? x 2 ,则 f (? ) ? ( 2 1 1 A. B. 2 4

) C.

3 4

D.

9 4
)

14.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x) ? A. [0,1] B. [0,1)

f (2 x) 的定义域是( x ?1

C. [0,1) ? (1,4]

D. (0,1)
2

15.已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x), 当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? 2 x , 则 f (7) =( ) D.98

A.-2 B.2 C.-98 二.填空题:本大题共 8 小题。把答案填在题中横线上。 16.函数 f ( x ) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为
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x

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8

17.已知 f (3 ) ? 4 x log 2 3 ? 233 ,则 f (2) ? f (4) ? f (8) ? ? ? f (2 ) 的 值等于 .
2

18.设函数 f(x)=ax +c(a≠0).若

?

1 0

f ( x)dx ? f ( x0 ) ,0≤x0≤1,则 x0 的值为



19.已知函数 f ( x) ? x ? cos x ,对于 ? ? , ? 上的任意 x1,x2 ,有如下条件: 2 2
2
2 2 ① x1 ? x2 ; ② x1 ? x2 ; ③ x1 ? x2 .

? π π? ? ?

其中能使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的条件序号是
3



20.设函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 (x∈R) ,若对于任意 x ? ? ?1,1? ,都有 f ? x ? ≥0 成立,则 实数 a = . 三.解答题:本大题共 8 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 21.已知函数 f ( x) ? x ? mx ? m x ? 1 (m 为常数,且 m>0)有极大值 9.
3 2 2

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若斜率为-5 的直线是曲线 y ? f ( x) 的切线,求此直线方程。

22、某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平 方米的楼房,经测算,如果将楼房建为 x( x ? 10) 层,则每平方米的平均建筑费用为 , 560 ? 48x(单位:元) 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

23.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), 曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3) ,且在点(-1,f(-1) )
2

处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c; -x (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g(x)=-f(x)e 的单调区间.
29

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24.设函数 f ( x) ? ax ?

1 处的切线方程为 (a, b ? Z ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) x?b

y ? 3。
(1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (3)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x ? 1 和直线 y ? x 所围三角形的面积为 定值,并求出此定值。

25.已知 x ? 3 是函数 f ? x ? ? a ln ?1 ? x ? ? x ? 10 x 的一个极值点。
2

(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅲ)若直线 y ? b 与函数 y ? f ? x ? 的图象有 3 个交点,求 b 的取值范围。

答案:
一、选择题
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1.B 2.C 3.A 4.D 13. B 14. B 15. A 二、填空题 16. [3, ??) 17.2008

5.C

6.A

7.B

8.A

9.A

10. A

11. C

12. C

18.

3 3

19. ②

20.4

三、解答题 21.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力.(满分 12 分) 解:(Ⅰ) f’(x)=3x +2mx-m =(x+m)(3x-m)=0,则 x=-m 或 x= 当 x 变化时,f’(x)与 f(x)的变化情况如下表:
2 2

1 m, 3

x

(-∞,- m)

(- -m

1 m, m ) 3

1 m 3
0 极小值

( m ,+∞) +

1 3

f’(x) + 0 - f (x) 极大值 从而可知,当 x=-m 时,函数 f(x)取得极大值 9, 3 3 3 即 f(-m)=-m +m +m +1=9,∴m=2. 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x +2x -4x+1,
依题意知 f’(x)=3x +4x-4=-5,∴x=-1 或 x=- 又 f(-1)=6,f(-
2

1 . 3

1 68 )= , 3 27 68 1 =-5(x+ ), 27 3

所以切线方程为 y-6=-5(x+1), 或 y-

即 5x+y-1=0,或 135x+27y-23=0. 22.解:设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

f ( x ) ? (560 ? 48 x ) ? f ?( x ) ? 48 ? 10800 x2

2160 ? 10000 10800 ? 560 ? 48 x ? 2000 x x

(x≥10,x∈Z )

+

令 f?(x)=0 得 x=15 当 x>15 时,f?(x)>0;当 0<x<15 时,f?(x)<0 因此 当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2000; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。
2 23.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ax ? bx ? c , 所以f ?(x ) ? 2ax ? b.

又因为曲线 y ? f ( x) 通过点(0,2a+3),
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故 f (0) ? 2a ? 3, 而f (0) ? c, 从而c ? 2a ? 3. 又曲线 y ? f ( x) 在(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ?(?1) ? 0, 即-2a+b=0,因此 b=2a. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc ? 2a(2a ? 3) ? 4(a ? ) 2 ? 故当 a ? ?

3 4

9 , 4

3 9 时, bc 取得最小值- . 4 4 3 3 此时有 b ? ? , c ? . 2 2 3 2 3 3 3 3 从而 f ( x) ? ? x ? x ? , f ?( x) ? ? x ? , 4 2 2 2 2 3 3 3 g ( x) ? ? f ( x)c ? x ? ( x 2 ? x ? )e? x , 4 2 2 3 2 ?x ?x 所以 g ?( x) ? ( f ( x) ? f ?( x)e ? ? ( x ? 4)e . 4
令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2. 当 x ? (??, ?2)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (??, ?2)上为减函数; 当 x ? (?2, 2)时,g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 当 x ? (2, ??)时,g ?( x) ? 0,故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 由此函数 g ( x) 单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞) ;单调递增区间为(-2,2). 24.解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?

1 , ( x ? b) 2

1 ? 9 ? ? 2a ? 2 ? b ? 3, ?a ? 4 , a ? 1, ? ? ? 于是 ? 解得 ? 或? 1 ?b ? ?1, ?b ? ? 8 . ?a ? ? 0, 2 ? (2 ? b) ? 3 ? ?
因 a,b?Z ,故 f ( x) ? x ?

1 . x ?1

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(Ⅱ)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ? 所以函数 g ( x) ? x ? 而 f ( x) ? x ? 1 ?

1 都是奇函数. x

1 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形. x

1 ?1 . x ?1

可知,函数 g ( x) 的图像按向量 a ? (11) 平移,即得到函数 f ( x) 的图像,故函数 f ( x) 的图 , 像是以点 (11) 为中心的中心对称图形. , (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 ? x0,x0 ?

? ?

1 ? ?. x0 ? 1 ?

由 f ?( x0 ) ? 1 ?

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 ? 1) 2

y?

2 x0 ? x0 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ( x ? x0 ) . 2? x0 ? 1 ? ( x0 ? 1) ?

令 x ? 1得 y ?

? x ?1 ? x0 ? 1 ,切线与直线 x ? 1 交点为 ? 1,0 ?. x0 ? 1 ? x0 ? 1 ?

, 令 y ? x 得 y ? 2 x0 ? 1 ,切线与直线 y ? x 交点为 (2 x0 ? 1 2 x0 ? 1) .
直线 x ? 1 与直线 y ? x 的交点为 (11) . ,

从而所围三角形的面积为

1 x0 ? 1 1 2 ? 1 2 x0 ? 1 ? 1 ? 2 x0 ? 2 ? 2 . 2 x0 ? 1 2 x0 ? 1
a ? 2 x ? 10 1? x

所以,所围三角形的面积为定值 2 . 25.解: (Ⅰ)因为 f ' ? x ? ? 所以 f ' ? 3? ?

因此 a ? 16 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

a ? 6 ? 10 ? 0 4

f ? x ? ? 16 ln ?1 ? x ? ? x 2 ? 10 x, x ? ? ?1, ?? ?
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f ' ? x? ?

2 ? x 2 ? 4 x ? 3? 1? x
'

当 x ? ? ?1,1? ? ? 3, ?? ? 时, f 当 x ? ?1,3? 时, f
'

? x? ? 0

? x? ? 0
f ? x ? 的单调减区间是 ?1, 3 ?

所以 f ? x ? 的单调增区间是 ? ?1,1? , ? 3, ?? ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调增加,在 ?1, 3 ? 内单调减少,在 ? 3, ?? ? 上单调 增加,且当 x ? 1 或 x ? 3 时, f
'

? x? ? 0

所以 f ? x ? 的极大值为 f ?1? ? 16 ln 2 ? 9 ,极小值为 f ? 3? ? 32 ln 2 ? 21 因为 f ?16 ? ? 16 ? 10 ? 16 ? 16ln 2 ? 9 ? f ?1?
2

f ? e ?2 ? 1? ? ?32 ? 11 ? ?21 ? f ? 3?

所以在 f ? x ? 的三个单调区间 ? ?1,1? , ?1,3? , ? 3, ?? ? 直线 y ? b 有 y ? f ? x ? 的图象各有一 个交点,当且仅当 f ? 3? ? b ? f ?1? 因此, b 的取值范围为 ? 32 ln 2 ? 21,16 ln 2 ? 9 ? 。 .m

2009 届高考数学二轮专题突破训练——三角函数
一、选择题:本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、设函数 f ? x ? ? sin? 2 x ? (A)

? ?

??

?, x ? R ,则 f ? x ? 是 2?
(B) 最小正周期为 ? 的偶函数

最小正周期为 ? 的奇函数

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(C)

最小正周期为

? 的奇函数 2
? ?

(D)

最小正周期为

? 的偶函数 2


2、为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6
B 向右平移

3、已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的图像如下:

那么ω =( A. 1

) B. 2 C. 1/2 D. 1/3 )

4、已知 tan ? ? (A) 2

(sin ? ? cos ? ) 2 1 ?( ,则 cos 2? 2
(B) ?2 (C) 3 (D) ?3

5、函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是(

) D. x ?

?
6

B. x ? ?

?
12

C. x ?

?
6

?
12

6、将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 (?


?
12

, 0) 中心对称,

则向量 ? 的坐标可能为( A. (?

?

12

, 0)
? ?

B. ( ?

?
6

, 0)

C. (

?

12

, 0)

D. (

?
6

, 0)


7、已知 cos ? ? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 的值是( 6? 5 6 ? ?
B.

A. ?

2 3 5

2 3 5

C. ?

4 5
35

D.

4 5

8 、 已 知 a, , b

为 c △ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 , 向 量

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m ? ( 3, 1),n ? (cos A, A) .若 m ? n ,且 a cos B ?bcos A ?csin C ,则角 A,B ? sin
的大小分别为( A. , ) B.

π π 6 3

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

9、函数 f(x)=sin2x+ 3 sin x cos x 在区间 ?

?? ? ? 上的最大值是 , ?4 2? ?
C.

A.1

B.

1? 3 2

3 2

D.1+ 3

10、在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,则角 B 的值为 A.

11、函数 f(x)=cosx(x)(x ? R)的图象按向量(m,0) 平移后,得到函数 y= -f′(x)的图象,则 m 的 值可以为 A.

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3 ? 2
)

? 2

B. ?

C.- ?

D.-

12、设 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ,其中 ? ? 0 ,则 f ? x ? 是偶函数的充要条件是( (A) f ? 0 ? ? 1 (B) f ? 0 ? ? 0 (C) f
'

? 0? ? 1

(D) f

'

? 0? ? 0

二.填空题:本大题共 4 个小题。把答案填在题中横线上。 13、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 ( 3b ? c) cos A ? a cos C , 则 cos A = 14、在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a ? 3, b ? 3, c ? 30?, 则 A= .

15、 已知 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ??? ? ?? ?? ?? 且 ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? , f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值, 3? ?6 3? ?6? ?3?

无最大值,则 ? =__________. 16、在△ABC 中,三个角 A,B,C 的对边边长分别为 a=3,b=4,c=6,则 bccosA+cacosB+abcosC 的值为 . 三.解答题:本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、已知函数 f ( x) ?

3 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ( 0 ? ? ? π , ? ? 0 )为偶函数,且
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函数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为

π . 2

(Ⅰ)求 f ?

?π? ? 的值; ?8?

(Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 单调递减区间.

π 个单位后, 得到函数 y ? g ( x) 的图象, g ( x) 的 求 6

18、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别 与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为

2 2 5 , . 10 5
(Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2? 的值.

19、已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

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20、已知 cos? x ?

? ?

??

2 ? ? ?? , x ?? , ?? 4 ? 10 ?2 4

? ?. ?

(Ⅰ)求 sin x 的值; (Ⅱ)求 sin? 2 x ?

? ?

??

? 的值. 3?

21、设 △ABC 的内角 A B,C 所对的边长分别为 a、b、c,且 a cos B ? b cos A ? , (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值.

3 c. 5

22、已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,? ? ? π) , x ?R 的最大值是 1,其图像经过点 0

?π 1? M ? ,?. ? 3 2?
(1)求 f ( x) 的解析式;
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(2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值 5 13

答案:
一、选择题 1、B 2、A 3、B 二、填空题 13、 4、C 5、D 6、C 7、C 8、C 9、C 10、D 11、A 12、D

3 3

14、30°(或

? ) 6

15、

14 3

16、

61 2

三、解答题 17、解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )

? 3 ? 1 ? 2? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 2 ? 2 ?

π? ? ? 2sin ? ? x ? ? ? ? . 6? ?
因为 f ( x) 为偶函数, 所以对 x ?R , f (? x) ? f ( x) 恒成立, 因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin ? ? x ? ? ?

π 6

? ?

π? ?. 6?

即 ? sin ? x cos ? ? ?

? ?

π? π? π? π? ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? , 6? 6? 6? 6? ? ? ?
39

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整理得 sin ? x cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 0. 6?

因为 ? ? 0 ,且 x ?R , 所以 cos ? ? ?

? ?

π? ? ?0. 6?

又因为 0 ? ? ? π , 故? ?

π π ? . 6 2
? ? π? ? ? 2 cos ? x . 2?

所以 f ( x) ? 2sin ? ? x ? 由题意得



π ? 2? ,所以 ? ? 2 . ? 2

故 f ( x) ? 2cos 2 x .

因此 f ?

π ?π? ? ? 2 cos ? 2 . 4 ?8? π? π ? 个单位后,得到 f ? x ? ? 的图象, 6? 6 ?

(Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移

所以 g ( x) ? f ? x ? 当 2kπ ≤ 2 x ?

? ?

π? ? ? π ?? π? ? ? ? 2 cos ? 2 ? x ? ? ? ? 2 cos ? 2 x ? ? . 6? 6 ?? 3? ? ? ?

π , ≤ 2kπ ? π ( k ?Z ) 3 π 2π 即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ?Z )时, g ( x) 单调递减, 6 3
因此 g ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ?

? ?

π 2π ? ,kπ ? ? ( k ?Z ) . 6 3?

18、 【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式. 解:由已知条件及三角函数的定义可知, cos ? ?
40

2 2 5 , cos ? ? , 10 5

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因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? = 因此 tan ? ? 7, tan ? ? (Ⅰ)tan( ? ? ? )=

7 2 5 ,sin ? ? 10 5

1 2

tan ? ? tan ? ? ?3 1 ? tan ? tan ?

(Ⅱ) tan 2 ? ?

2 tan ? 4 tan ? ? tan 2? ? ,所以 tan ?? ? 2? ? ? ? ?1 2 1 ? tan ? 3 1 ? tan ? tan 2?

∵ ? , ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2 ? ? 19 解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

3? 3? ,∴ ? ? 2? = 2 4

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 ? 1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? sin(2 x ? ) 6 2? ?周期T ? ?? 2
由 2x ?

?

?

6

? k? ?

?
2

(k ? Z ), 得x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

?函数图象的对称轴方程为 x ? k? ?

(k ? Z ) 3 ? ? ? ? 5? (2)? x ? [? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

?

?

?
3

6

) 在区间 [?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

时, f ( x) 取最大值 1
41

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又 ? f (?

?
12

)??

3 ? 1 3 ? ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 2 2 2 2 12 3 ,1] , ] 上的值域为 [? 2 12 2

所以 函数 f ( x) 在区间 [?

? ?

20、解: (Ⅰ)解法一:因为 x ? ?

? ?? ? ? ? ? 3? ? , ? ,所以 x ? ? ? , ? ,于是 4 ?4 2? ?2 4 ?

?? ?? 7 2 ? ? sin? x ? ? ? 1 ? cos2 ? x ? ? ? 4? 4? 10 ? ?
?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? sin x ? sin? ? x ? ? ? ? ? sin? x ? ? cos ? cos? x ? ? sin ? ? 4? 4? 4? 4 4? 4 ? ? ?? ? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? 10 2 10 2 5

解法二:由题设得

2 2 2 1 cos x ? sin x ? ,即 cos x ? sin x ? 2 2 10 5

又 sin2x+cos2x=1,从而 25sin2x-5sinx-12=0,解得 sinx= 因为 x ? ?

4 3 或 sinx= ? 5 5

? ? 3? , ?2 4

4 ? ? ,所以 sin x ? 5 ?
2

3 ?4? ? ? 3? ? 2 (Ⅱ)解:因为 x ? ? , ? ,故 cos x ? ? 1 ? sin x ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5? ?2 4 ?

sin 2 x ? 2 sin x cos x ? ?
所以 sin? 2 x ?

24 7 , cos 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? ? 25 25

? ?

??

? ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? ? 3? 3 3

?

?

24 ? 7 3 50

21、解: (Ⅰ)由正弦定理得

c sin A c sin B ,b ? sin C sin C sin A sin B acosB-bcosA=( ? cos B ? ? cos A )c sin C sin C
a=
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=

sin A cos B ? sin B cos A ?c sin(A ? B)

sin A cos B ? cos A sin B ?c sin A cos B ? cos A sin B (tan A cot B ? 1)c = tan A cot B ? 1 (tan A cot B ? 1)c 3 依题设得 ? c tan A cot B ? 1 5
= 解得 tanAcotB=4 (II)由(I)得 tanA=4tanB,故 A、B 都是锐角,于是 tanB>0

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B 3 tan B = 1 ? 4 tan 2 B 3 ≤ , 4 1 3 且当 tanB= 时,上式取等号,因此 tan(A-B)的最大值为 2 4
tan(A-B)= 22. (1) 解: 依题意有 A ? 1 , f (x) ?i ( x ? ? , 则 将点 M ( sn ) 而 0 ? ? ? ? ,?

? 1

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 ? (2)依题意有 cos ? ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2

?

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

3 4 12 5 ? sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? ,sin ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5 13 13

3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65

43


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