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2016高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 文


第一讲

三角函数的图象与性质

1.高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面:一是用五点法作图,二是图象变换, 三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值,常以选择题或填空题的形式考查. 2.高考对三角函数性质的考查是重点,以解答题为主,考查 y=Asin(ω x+φ )的周期 性、单调性、对称性以及最值等,常与平面向量、三角形结合进行综合考查,试题难度属中 低档.

角的概念与诱导公式 1.角的概念. (1)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”). (2)确定角 α 所在的象限,只要把角 α 表示为 α =2kπ +α 0[k∈Z,α 0∈[0,2π )], 判断出 α 0 所在的象限,即为 α 所在象限. 2.诱导公式. 诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据,其记忆口诀为:奇变偶不变,符 号看象限. 三角函数定义与同角三角函数基本关系 1. 三角函数的定义: 设 α 是一个任意大小的角, 角 α 的终边与单位圆交于点 P (x, y), 则 sin α =y,cos α =x,tan α = . 2.同角三角函数的基本关系. 2 2 (1)sin α +cos α =1. sin α (2)tan α = . cos α 三角函数的性质 三角函数的基本性质列表如下:

y x

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

1

图象

(续上表)

定义域

R

R

值域 周期性 奇偶性

[-1,1] 最小正周期 为 2π 奇函数 +2kπ ,? ?-π 2 ? ? 在 π ? +2kπ ? ?2 ?

[-1,1] 最小正周期 为 2π 偶函数

R 最小正周期 为π 奇函数

单调性

(k∈Z)上递增, π +2kπ , 2 在 3π +2kπ 2

? ? ? ?

? ? ? ?

在[2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z)上递增,在 [2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z)上递减

+kπ ,? ?-π 2 ? ? 在 π ? +kπ ? ?2 ? (k∈Z)上都 是增函数

(k∈Z)上递减 对称中 心坐标 对称轴 方程 (kπ ,0),k∈Z

?kπ +π ,0?,k∈Z ? ? 2 ? ?
x=kπ ,k∈Z

?kπ ,0?,k∈Z ? 2 ? ? ?

x=kπ + ,k∈Z

π 2

三角函数的变换 正弦曲线 y=sin x 的变换(其中 ω >0):

2

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). 3 1 3? ? 1 (1)角 α 终边上点 P 的坐标为?- , ?,那么 sin α = ,cos α =- ;同理角 2 2 ? 2 2? α 终边上点 Q 的坐标为(x0,y0) ,那么 sin α =y0,cos α =x0.(×) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等.(√) (4)常函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.(√) (5)y=cos x 在第一、二象限上是减函数.(×) (6)y=tan x 在整个定义域上是增函数.(×)

5 1.(2015·福建卷)若 sin α =- ,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值等于(D) 13 A. 12 5 12 5 B.- C. 5 12 5 D.- 12
2

解析: 解法一 因为 α 为第四象限的角, 故 cos α = 1-sin α = 5 - 13 12 sin α 5 ,所以 tan α = = =- . 13 cos α 12 12 13 5 解法二 因为 α 是第四象限角,且 sin α =- , 13 所以可在 α 的终边上取一点 P(12,-5) ,

5 2 1-(- ) = 13

y 5 则 tan α = =- .故选 D. x 12
2.已知 α 的终边经过点 A(5a,-12a) ,其中 a<0,则 sin α 的值为(B)
3

12 12 5 A.- B. C. 13 13 13

5 D.- 13

π? ? 3.(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?,④ 6? ?

y=tan?2x- ?中,最小正周期为π 的所有函数为(A) 4

? ?

π?

?

A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 2π 解析:①中函数是一个偶函数,其周期与 y=cos 2x 相同,T= =π ;②中函数 y= 2 2π π |cos x|的周期是函数 y=cos x 周期的一半,即 T=π ;③T= =π ;④T= .故选 A. 2 2 4.(2015·陕西卷)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y= π 3sin( x+φ )+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(C) 6

A.5 B.6 C.8 D.10 解析:根据图象得函数的最小值为 2,有-3+k=2,k=5,最大值为 3+k=8.

4


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