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信号与系统(吴大正)--完整版答案--纠错修改后版本


第一章 信号与系统
1-1 画出下列各信号的波形【式中 r (t ) ? t? (t ) 】为斜升函数。 (2) f (t) ? e
?t

,?? ? t ? ?

(3) f (t ) ? sin(?t )? (t ) (5) f (t ) ? r (sin t ) (10) f (k ) ? [1 ? (?1) ]? (k )
k

(4) f (t ) ? ? (sin t ) (7) f (t ) ? 2 ? (k )
k

解:各信号波形为
?t (2) f (t ) ? e ,?? ? t ? ?

(3) f (t ) ? sin(?t )? (t )

1

(4) f (t ) ? ? (sin t )

(5) f (t ) ? r (sin t )

(7) f (t ) ? 2k ? (k )

(10) f (k ) ? [1 ? (?1)k ]? (k ) 2

1-2 画出下列各信号的波形[式中 r (t ) ? t? (t ) 为斜升函数]。 (1) f (t ) ? 2? (t ? 1) ? 3? (t ? 1) ? ? (t ? 2) (5) f (t ) ? r (2t )? (2 ? t ) (11) f (k ) ? sin( 6 )[? (k ) ? ? (k ? 7)] 解:各信号波形为 (1) f (t ) ? 2? (t ? 1) ? 3? (t ? 1) ? ? (t ? 2)
k?

(2) f (t ) ? r (t ) ? 2r (t ? 1) ? r (t ? 2) (8) f (k ) ? k[? (k ) ? ? (k ? 5)]
k (12) f (k ) ? 2 [? (3 ? k ) ? ? (?k )]

( 2)

f (t ) ? r (t ) ? 2r (t ? 1) ? r (t ? 2)
3

( 5)

f (t ) ? r (2t )? (2 ? t )

( 8)

f (k ) ? k[? (k ) ? ? (k ? 5)]

(11)

f (k ) ? sin(

k? )[? (k ) ? ? (k ? 7)] 6
4

(12)

f (k ) ? 2k [? (3 ? k ) ? ? (?k )]

1-3 写出图 1-3 所示各波形的表达式。

5

1-4 写出图 1-4 所示各序列的闭合形式表达式。

6

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是,确定其周期。 (2) f 2 (k ) ? cos(
3? ? ? ? k ? ) ? cos( k ? ) 4 4 3 6

(5) f5 (t ) ? 3cost ? 2 sin(?t )

解:

7

1-6 已知信号 f (t ) 的波形如图 1-5 所示,画出下列各函数的波形。

(1) f (t ? 1)? (t )

(2) f (t ? 1)? (t ? 1) (8)

(5)

f (1 ? 2t )

(6)

f (0.5t ? 2)

df (t ) ( 7) dt

?

t

??

f ( x)dx

解:各信号波形为
8

(1) f (t ? 1)? (t )

( 2)

f (t ? 1)? (t ? 1)

( 5) f

(1 ? 2t )

(6) f (0.5t

? 2)

9

df (t ) (7) dt

(8)

?

t

??

f ( x)dx

1-7 已知序列 f (k ) 的图形如图 1-7 所示,画出下列各序列的图形。

( 1) ( 3) ( 5)

f (k ? 2)? (k )

(2) f (k ? 2)? (k ? 2) (4)

f (k ? 2)[? (k ) ? ? (k ? 4)]
f (?k ? 2)? (?k ? 1)

f (?k ? 2)

(6) f (k ) ? f (k ? 3)

解:
10

1-9 已 知 信 号 的 波 形 如 图 1-11 所 示 , 分 别 画 出 f (t ) 和 dt

df (t )

的波形。

11

解:由图 1-11 知, f (3 ? t ) 的波形如图 1-12(a)所示( f (3 ? t ) 波形是由对 f (3 ? 2t ) 的 波形展宽为原来的两倍而得) 。将 f (3 ? t ) 的波形反转而得到 f (t ? 3) 的波形,如图 1-12(b)所示。再将 f (t ? 3) 的波形右移 3 个单位,就得到了 f (t ) ,如图 1-12(c)所示。
df (t ) 的波形如图 dt

1-12(d)所示。

12

1-10 计算下列各题。
d2 (1) 2 ??cost ? sin(2t )?? (t )? dt ? ?t 2 (5) ?? ? [t ? sin( )]? (t ? 2)dt 4
(2) (1 ? t ) (8)

d ?t [e ? (t )] dt

?

t

??

(1 ? x)? ' ( x)dx

13

14

1-12 如图 1-13 所示的电路,写出 (1)以 uC (t ) 为响应的微分方程。

(2)以 iL (t ) 为响应的微分方程。

15

1-20 写出图 1-18 各系统的微分或差分方程。

16

17

18

19

1-23 设系统的初始状态为 x(0) ,激励为 f (?) ,各系统的全响应 y (?) 与激励和初始状 态的关系如下,试分析各系统是否是线性的。

20

?t (1)y(t ) ? e x(0) ? ?0 sin xf ( x)dx (2)y(t ) ? f (t ) x(0) ? ?0 f ( x)dx

t

t

(3) y(t ) ? sin[x(0)t ] ?

?

t

0

f ( x)dx

(4)

y(k ) ? (0.5) x(0) ? f (k ) f (k ? 2)
k

(5) y (k ) ? kx(0) ?

? f ( j)
j ?0

k

21

1-25 设激励为 f (?) ,下列是各系统的零状态响应 y zs (?) 。判断各系统是否是线性的、 时不变的、因果的、稳定的?
(1) y zs (t ) ?

df (t ) dt

(2) yzs (t ) ?

f (t )
22

(3)

yzs (t ) ? f (t ) cos(2?t )

(4)

yzs (t ) ? f (?t )
k j ?0

(5)

yzs (k ) ? f (k ) f (k ? 1)
yzs (k ) ? f (1 ? k )

( 6)

yzs (k ) ? (k ? 2) f (k )

(7) yzs (k ) ? ? f ( j )

(8)

23

24

25

26

1-28 某一阶 LTI 离散系统,其初始状态为 x(0) 。已知当激励为 y (k ) ? ? (k ) 时,其全响应
1

为 若初始状态不变,当激励为 ? f (k ) 时,其全响应为 y (k ) ? [2(0.5)
2 k

? 1]? (k )

若初始状态为 2 x(0) ,当激励为 4 f (k ) 时,求其全响应。

27

第二章
2-1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下,试求其零输入响应。
( 1) ( 4)

y' ' (t ) ? 5 y' (t ) ? 6 y(t ) ? f (t ), y(0? ) ? 1, y' (0? ) ? ?1
y' ' (t ) ? y(t ) ? f (t ), y(0? ) ? 2, y' (0? ) ? 0

28

2-2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下,试求其 0? 值

y(0? ) 和 y' (0? ) 。

(2) y' ' (t ) ? 6 y' (t ) ? 8 y(t ) ? f ' ' (t ), y(0? ) ? 1, y' (0? ) ? 1, f (t ) ? ? (t ) 求其 0? 值 y(0? ) 和 y' (0? ) 。
?2t (4) y' ' (t ) ? 4 y' (t ) ? 5 y(t ) ? f ' (t ), y(0? ) ? 1, y' (0? ) ? 2, f (t ) ? e ? (t )

29

2-4 已知描述系统的微分方程和初始状态如下,试求其零输入响应、零状态响应和全响应。
?t (2) y' ' (t ) ? 4 y' (t ) ? 4 y(t ) ? f ' (t ) ? 3 f (t ), y(0? ) ? 1, y' (0? ) ? 2, f (t ) ? e ? (t )

解:

30

31

2-8 如图 2-4 所示的电路, 若以 iS (t ) 为输入,u R (t ) 为输出, 试列出其微分方程, 并求出冲激响应和阶跃响应。

32

2-12 如图 2-6 所示的电路,以电容电压 uC (t ) 为响应,试求其冲激响应和阶跃响应。

33

2-16 各函数波形如图 2-8 所示,图 2-8(b)、(c)、(d)均为单位冲激函数,试求下列卷积,并画出波形 图。
(1) f1 (t ) * f 2 (t ) (4) ( 2)

f1 (t ) * f3 (t )

(3) f1 (t ) * f 4 (t ) (5) f1 (t ) *[2 f 4 (t ) ? f3 (t ? 3)

f1 (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t )

34

波形图如图 2-9(a)所示。

波形图如图 2-9(b)所示。

波形图如图 2-9(c)所示。

35

波形图如图 2-9(d)所示。

波形图如图 2-9(e)所示。

36

2-20 已知 f1 (t ) ? t? (t ) , f 2 (t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 2) ,求 y(t ) ? f1 (t ) * f 2 (t ? 1) *? ' (t ? 2)

?2 ( t ? x ) f ( x ? 2)dx 2-22 某 LTI 系统,其输入 f (t ) 与输出 y(t ) 的关系为 y(t ) ? ?t ?1e

?

求该系统的冲激响应 h(t ) 。

2-28 如图 2-19 所示的系统,试求输入 f (t ) ? ? (t ) 时,系统的零状态响应。

37

38

2-29 如图 2-20 所示的系统,它由几个子系统组合而成,各子系统的冲激响应分别为

ha (t ) ? ? (t ? 1)

, b

h (t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 3) 求复合系统的冲激响应。

39

第三章习题(略)

3.1、试求序列

的差分







3.6、求下列差分方程所描述的LTI离散系统的零输入相应、零状态响应和全响应。

40

1) 3)

5)

41

42

43

44

3.8、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。 2) 5)

45

46

3.9、求图所示各系统的单位序列响应。

(a)

47

(c)

48

3.10、求图所示系统的单位序列响应。

49

50

3.11、各序列的图形如图所示,求下列卷积和。 (1) ( 2) (3) ( 4)

51

52

3.13、求题3.9图所示各系统的阶跃响应。

53

54

55

56

3.14、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应。

57

58

3.15、若LTI离散系统的阶跃响应

,求其单位序列响应。

59

3.16、如图所示系统,试求当激励分别为(1)

(2)

时的零状态响应。

60

3.18、如图所示的离散系统由两个子系统级联组成,已知 示:利用卷积和的结合律和交换律,可以简化运算。)



,激励

,求该系统的零状态响应

。(提

61

62

63

3.22、如图所示的复合系统有三个子系统组成,它们的单位序列响应分别为



,求复合系统的单位序列响应。

64

第四章习题
4.6 求下列周期信号的基波角频率Ω 和周期 T。

(1) e j100 t (5) cos( ? t ) ? sin( ? t )
2 4

(2) cos[ ? (t ? 3)]
2 2 3

(3) cos(2t ) ? sin(4t )
5

(4) cos(2?t ) ? cos(3?t ) ? cos(5?t )

(6) cos( ? t ) ? cos( ? t ) ? cos( ? t )

4.7 用直接计算傅里叶系数的方法,求图 4-15 所示周期函数的傅里叶系数(三角形式或指数形式) 。

图 4-15

65

66

4.10 利用奇偶性判断图 4-18 示各周期信号的傅里叶系数中所含有的频率分量。

图 4-18

67

4-11 某 1Ω 电阻两端的电压 u(t ) 如图 4-19 所示, (1)求 u(t ) 的三角形式傅里叶系数。 (2)利用(1)的结果和 u ( 1 ) ? 1 ,求下列无穷级数之和
2 1 1 1 S ? 1 ? ? ? ? ...... 3 5 7

(3)求 1Ω 电阻上的平均功率和电压有效值。 (4)利用(3)的结果求下列无穷级数之和
68

S ?1?

1 1 1 ? 2 ? 2 ? ...... 2 3 5 7

图 4-19

69

70

4.17 根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换
sin[2? (t ? 2)] ,?? ? t ? ? (1) f (t ) ? ? (t ? 2)

2? f (t ) ? 2 2 ,?? ? t ? ? ( 2) ? ?t

? sin(2?t ) ? f (t ) ? ? ,?? ? t ? ? ( 3) ? 2?t ? ?

2

71

72

4.18 求下列信号的傅里叶变换 (1) f (t ) ? e? jt? (t ? 2) (2) f (t ) ? e?3(t ?1)? ' (t ? 1) (3) f (t ) ? sgn(t 2 ? 9) (4) f (t ) ? e?2t? (t ? 1) (5) f (t ) ? ? ( t
2 ? 1)

73

74

4.19 试用时域微积分性质,求图 4-23 示信号的频谱。

图 4-23

75

76

4.20 若已知 F[ f (t )] ? F (j?) ,试求下列函数的频谱: (1) tf (2t ) (8) e jt f (3 - 2t ) (3) t df (t )
dt dt

(5) (1- t) f (1 - t )
?t

(9) df (t ) * 1

77

78

79

4.21 求下列函数的傅里叶变换 (1) F (j? ) ? ?
?1, ? ? ?0 ?0, ? ? ?0

(3) F (j?) ? 2 cos(3?)

(5) F (j? ) ? ? 2 sin ? e- j (2n ?1)?
2 n ?0

?

80

4.23 试用下列方式求图 4-25 示信号的频谱函数

(1)利用延时和线性性质(门函数的频谱可利用已知结果) 。

(2)利用时域的积分定理。 (3)将 f (t ) 看作门函数 g 2 (t ) 与冲激函数 ? (t ? 2) 、 ? (t ? 2) 的卷积之和。
81

图 4-25

82

4.25 试求图 4-27 示周期信号的频谱函数。图(b)中冲激函数的强度均为 1。

图 4-27

83

4.27 如图 4-29 所示信号 f (t ) 的频谱为 F ( j? ) ,求下列各值[不必求出 F ( j? ) ]

(1) F (0) ? F ( j?) |? ?0

(2) ??? F ( j?)d?

?

(3) ??? F ( j?)

?

2

d?

图 4-29

84

85

4.28 利用能量等式 ?? ? f 2 (t )dt ? 1 ?? ? F ( j? ) 2?
? ?

2

d?

计算下列积分的值。
? 2

(1) ??? [ sin(t ) ] dt
t

(2) ?? ?

?

dx (1 ? x 2 ) 2

86

4.29 一周期为 T 的周期信号 f (t ) ,已知其指数形式的傅里叶系数为 Fn ,求下列周期信号的傅里叶系数 (1) f1 (t ) ?
f (t ? t0 )

(2) f2 (t ) ?

f (?t )

(3) f3 (t ) ? df (t )
dt

(4) f4 (t ) ?

f (at), a ? 0

87

88

4.31 求图 4-30 示电路中,输出电压电路中,输出电压 u2 (t ) 对输入电流 iS (t ) 的频率响应 H ( j? ) ? U 2 ( j? ) ,
I S ( j? )

为了能无失真的传输,试确定 R1、R2 的值。

图 4-30

4.33 某 LTI 系统,其输入为 f (t ) ,输出为

y (t ) ?

1 ? x?a s( ) f ( x ? 2)dx a ?? ? a

89

式中 a 为常数,且已知 s(t ) ? S ( j? ) ,求该系统的频率响应 H ( j? ) 。

90

4.34 某 LTI 系统的频率响应 H ( j? ) ? 2 ? j? ,若系统输入 f (t ) ? cos(2t ) ,求该系统的输出 y(t ) 。
2 ? j?

4.35 一理想低通滤波器的频率响应

? ? ?1 ? , ? ? 3rad / s H ( j? ) ? ? 3 ? 0 , ? ? 3rad / s ?

91

4.36 一个 LTI 系统的频率响应
? j? 2 ?e ,?6rad / s ? ? ? 0 ? ? j? H ( j? ) ? ? e 2 ,0 ? ? ? 6rad / s ? 0, 其他 ? ?

若输入 f (t ) ? sin(3t ) cos( 5t ) ,求该系统的输出 y(t ) 。
t

92

93

4.39 如图 4-35 的系统,其输出是输入的平方,即 y(t ) ?
t

。该系统是线性的吗? f 2 (t ) (设 f (t ) 为实函数)

(1)如 f (t ) ? sin t ,求 y(t ) 的频谱函数(或画出频谱图) 。 (2)如 f (1) ? 1 ? cos t ? cos( 2t ) ,求 y(t ) 的频谱函数(或画出频谱图) 。
2

94

95

4.45 如图 4-42(a)的系统,带通滤波器的频率响应如图(b)所示,其相频特性 ? (? ) ? 0 ,若输入
f (t ) ? sin( 2?t ) , s (t ) ? cos(1000 t ) 2?t

求输出信号 y(t ) 。

图 4-42

96

97

4.48 有限频带信号 f (t ) 的最高频率为 100Hz,若对下列信号进行时域取样,求最小取样频率 fs 。 (1) f (3t ) (2) f 2 (t ) (3) f (t ) * f (2t ) (4) f (t ) ? f 2 (t )

98

99

4.50 有限频带信号 f (t ) ? 5 ? 2 cos(2?f1t ) ? cos(4?f1t ) ,其中 f1 ? 1kHz ,求 f s ? 800Hz 的冲激函数序列 ?T (t ) 进行取样(请注意 f s ? f1 ) 。 (1)画出 f (t ) 及取样信号 f s (t ) 在频率区间(-2kHz,2kHz)的频谱图。 (2)若将取样信号 f s (t ) 输入到截止频率 fc ? 500Hz ,幅度为的理想低通滤波器,即其频率响应
?Ts , f ? 500Hz H ( j? ) ? H ( j 2?f ) ? ? ? 0, f ? 500Hz

画出滤波器的输出信号的频谱,并求出输出信号 y(t ) 。

100

图 4-47

图 4-48

101

图 4-49 4.53 求下列离散周期信号的傅里叶系数。 (2) f (k ) ? ( 1 ) k (0 ? k ? 3)( N ? 4)
2

102

第五章
5-2 求图 5-1 所示各信号拉普拉斯变换,并注明收敛域。

103

? at 5-3 利用常用函数(例如 ? (t ) , e ? (t ) , sin(?t )? (t ) , cos(?t )? (t ) 等)的象函数及拉

普拉斯变换的性质,求下列函数 f (t ) 的拉普拉斯变换 F ( s ) 。 ?t ?(t ?2) (1) e ? (t ) ? e ? (t ? 2) (3) sin(?t )[? (t ) ? ? (t ? 1)] (5) ? (4t ? 2) (9) ?0 sin(?t )dx
2 ?2t t (13) e ? (t )
t

(7) sin( 2t ? 4 )? (t )
d2 (11) dt 2 [sin(?t )? (t )]

?

(15) te

?(t ?3)

? (t ? 1)

123
104

105

106

5-4 如已知因果函数 f (t ) 的象函数 F (s) ? s 2 ? s ? 1 ,求下列函数 y(t ) 的象函数 Y ( s) 。

1

t e f( ) ( 1) 2
?t

(4) tf (2t ? 1)

107

108

5-6 求下列象函数 F ( s) 的原函数的初值 f (0? ) 和终值 f (? ) 。 ( 1) F ( s ) ?
2s ? 3 ( s ? 1) 2

( 2) F ( s ) ?

3s ? 1 s( s ? 1)

109

5-7 求图 5-2 所示在 t ? 0 时接入的有始周期信号 f (t ) 的象函数 F ( s ) 。
110

图 5-2

111

112

5-8 求下列各象函数 F ( s) 的拉普拉斯变换 f (t ) 。
113

1 (1) ( s ? 2)(s ? 4)

s 2 ? 4s ? 5 ( 3) s 2 ? 3s ? 2
s?5 (9) s( s 2 ? 2s ? 5)

2s ? 4 ( 5) s ( s 2 ? 4 )

1 (7) s ( s ? 1) 2

114

5-9 求下列象函数 F ( s ) 的拉普拉斯变换 f (t ) ,并粗略画出它们的波形图。
115

1 ? e ?Ts ( 1) s ? 1

e ?2 ( s ? 3 ) ( 3) s ? 3

? (1 ? e ?2 s ) ( 6) s 2 ? ? 2

其波形如下图所示:

116

其波形如下图所示:

117

其波形如下图所示:

5-10 下列象函数 F ( s) 的原函数 f (t ) 是 t ? 0 接入的有始周期信号,求周期 T 并写出其
118

第一个周期( 0 ? t ? T )的时间函数表达式 f o (t ) 。

1 ( 1) 1 ? e ? s

1 (2) s (1 ? e ? 2 s )

119

5-12 用拉普拉斯变换法解微分方程 y' ' (t ) ? 5 y' (t ) ? 6 y(t ) ? 3 f (t )
120

的零输入响应和零状态响应。 (1)已知 f (t ) ? ? (t ), y(0? ) ? 1, y' (0? ) ? 2 。
?t (2)已知 f (t ) ? e ? (t ), y(0? ) ? 0, y' (0? ) ? 1 。

121

122

5-13 描述某系统的输出 y1 (t ) 和 y2 (t ) 的联立微分方程为

? y1 ' (t ) ? y1 (t ) ? 2 y2 (t ) ? 4 f (t ) ? ? y'2 (t ) ? y1 (t ) ? 2 y2 (t ) ? ? f (t )
(1)已知 f (t ) ? 0 , y1 (0? ) ? 1 , y2 (0? ) ? 2 ,求零状态响应 yzs1 (t ) , yzs 2 (t ) 。
123

124

5-15 描述某 LTI 系统的微分方程为 y' ' (t ) ? 3 y' (t ) ? 2 y(t ) ? f ' (t ) ? 4 f (t ) 求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。 (1) f (t ) ? ? (t ), y(0? ) ? 0, y' (0? ) ? 1 。
?2t (2) f (t ) ? e ? (t ), y(0? ) ? 1, y' (0? ) ? 1 。

125

126

5-16 描述描述某 LTI 系统的微分方程为 y' ' (t ) ? 3 y' (t ) ? 2 y(t ) ? f ' (t ) ? 4 f (t ) 求在下列条件下的零输入响应和零状态响应。 (1) f (t ) ? ? (t ), y(0? ) ? 1, y' (0? ) ? 3 。 (2) f (t ) ? e?2t? (t ), y(0? ) ? 1, y' (0? ) ? 2 。

127

128

129

5-17 求下列方程所描述的 LTI 系统的冲激响应 h(t ) 和阶跃响应 g (t ) 。
130

(1) y' ' (t ) ? 4 y' (t ) ? 3 y(t ) ? f ' (t ) ? 3 f (t )

5-18 已知系统函数和初始状态如下,求系统的零输入响应 y zi (t ) 。 ( 1) H ( s ) ?
s?6 s 2 ? 5s ? 6 ,

y(0) ? y' (0? ) ? 1
131

( 3) H ( s ) ?

s?4 y(0) ? y' (0? ) ? y' ' (0? ) ? 1 s ( s 2 ? 3s ? 2) ,

132

133

5-22 如图 5-5 所示的复合系统,由 4 个子系统连接组成,若各子系统的系统函数或 冲激响应分别为 H1 ( s) ? 激响应 h(t ) 。
1 1 H ( s ) ? h3 (t ) ? ? (t ) ,h4 (t ) ? e?2t? (t ) ,求复合系统的冲 2 , , s?2 s ?1

134

5-26 如 图 5-7 所 示 系 统 , 已 知 当 f (t ) ? ? (t ) 时 , 系 统 的 零 状 态 响 应 yzs (t ) ? (1 ? 5e?2t ? 5e?3t )? (t ) ,求系数 a、b、c。
135

136

5-28 某 LTI 系统,在以下各种情况下起初始状态相同。已知当激励 f1 (t ) ? ? (t ) 时,其
137

全响应 y1(t ) ? ? (t ) ? e?t? (t ) ;当激励 f 2 (t ) ? ? (t ) 时,其全响应 y2 (t ) ? 3e?t? (t ) 。
?2t f ( t ) ? e ? (t ) ,求系统的全响应。 (1)若 3

138

139

5-29 如图 5-8 所示电路,其输入均为单位阶跃函数 ? (t ) ,求电压 u (t ) 的零状态响应。

140

141

142

5-42 某系统的频率响应 H ( j? ) ? 1 ? j? ,求当输入

1 ? j?

f (t ) 为下列函数时的零状态响应

y zs (t ) 。
(1) f (t ) ? ? (t ) (2) f (t ) ? sin t? (t )

143

5-50 求下列象函数的双边拉普拉斯变换。
144

?2 (1) (s ? 1)(s ? 3) ,1 ? Re[s] ? 3

2 (2) (s ? 1)(s ? 3) ,?3 ? Re[s] ? ?1
?s?4 (4) (s 2 ? 4)(s ? 1) ,?1 ? Re[s] ? 0

4 (3) s 2 ? 4 , Re[ s] ? 0

145

146

147


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