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【步步高】届高三数学大一轮复习 算法与程序框图学案 理 新人教A版


第十二章 算法初步、复数 学案 70 算法与程序框图
导学目标:1.了解算法的含义, 了解算法的思想.2.理解程序框图的三种基本逻辑结构: 顺序结构、条件结构、循环结构.

自主梳理 1.算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的________和________的步骤.这些程 序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2.程序框图又称________,是一种用________、________及____________来准确、直 观地表示算法的图形. 通常程序框图由________和________组成, 一个或几个程序框的组合表示算法中的一个 步骤;________带方向箭头,按照算法进行的顺序将________连结起来. 3.顺序结构是由________________________组成的,这是任何一个算法都离不开的基 本结构.

其结构形式为 4.条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形 式. 其结构形式为

5. 循环结构是指__________________________________________________________. 反 复执行的步骤称为________.循环结构又分为________________和________________. 其结构形式为

6.算法的五个特征:概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、普遍性. 自我检测 1.(2010·陕西)如图所示是求样本 x1,x2,?,x10 平均数 x 的程序框图,图中空白框 中应填入的内容为( ) xn n 1 D.S=S+ n

A.S=S+xn C.S=S+n

B.S=S+

1

第 1 题图 第 2 题图 2.(2010·全国)如果执行如图所示的框图,输入 N=5,则输出的数等于( 5 4 6 5 A. B. C. D. 4 5 5 6 3.(2011·北京)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( ) 1 1 A.-3 B.- C. D.2 2 3

)

第 3 题图 第 4 题图 4.(2011·山东)执行如图所示的程序框图,输入 l=2,m=3,n=5,则输出的 y 的值 是________.

探究点一 算法的顺序结构 例 1 已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P(x0,y0)到直线 l 的距离 d, 写出其算法并画出程序框图.

2

变式迁移 1 阅读如图的程序框图,若输入的 a、b、c 分别是 21、32、75,则输出的 a、 b、c 分别是( ) A.75、21、32 B.21、32、75 C.32、21、75 D.75、32、21 探究点二 算法的条件结构 例 2 -2 ? x>0? ? ? (2011·杭州模拟)函数 y=?0 ? x=0? ? ?2 ? x<0? ,写出求该函数的函数值的算

法,并画出程序框图.

变式迁移 2 给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则 这样的 x 值的个数是( )

A.1 C.3

B.2 D.4

探究点三 算法的循环结构 例 3 写出求 1×2×3×4×?×100 的一个算法并画出程序框图.

3

变式迁移 3 (2011·天津和平区模拟)在如图所示的程序框图中,当程序被执行后,输 出 s 的结果是______.

1.程序框图主要包括三部分:(1)表示相应操作的框;(2)带箭头的流程线;(3)框内外 必要的文字说明, 读懂程序框图要从这三个方面研究. 流程线反映了流程执行的先后顺 序,主要看箭头方向,框内外文字说明表明了操作内容. 2.两种循环结构的区别:(1)执行情况不同:当型循环是先判断条件,当条件成立时才 执行循环体,若循环条件一开始就不成立,则循环体一次也不执行.而直到型循环是先 执行一次循环体,再判断循环条件,循环体至少要执行一次.(2)循环条件不同:当型 循环是当条件成立时循环, 条件不成立时停止循环, 而直到型循环是当条件不成立时循 环,直到条件成立时结束循环.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.中山市的士收费办法如下:不超过 2 公里收 7 元(即起步价 7 元),超过 2 公里的里 程每公里收 2.6 元, 另每车次超过 2 公里收燃油附加费 1 元(不考虑其他因素). 相应收费系 统的程序框图如图所示,则①处应填( ) A.y=7+2.6x B.y=8+2.6x C.y=7+2.6(x-2) D.y=8+2.6(x-2)

4

第 1 题图 第 2 题图 2.(2010·福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 i 值等于( A.2 B.3 C.4 D.5 3.(2010·浙江)某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为( ) A.k>4? B.k>5? C.k>6? D.k>7?

)

(

第 3 题图 第 4 题图 4.(2010·辽宁)如果执行如图所示的程序框图,输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于 ) A.720 B.360 C.240 D.120 5.阅读下面的程序框图,则输出的 S 等于( )

5

A.14

B.20

C.30

D.55

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. (2011·浙江)若某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的 k 的值是__________.

第 6 题图 第 7 题图 7.执行如图所示的程序框图,输出的 T=________. 8.(2010·江苏改编)如图是一个程序框图,则输出的 S 的值是________.

三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011·包头模拟)对一个作直线运动

6

的质点的运动过程观测了 8 次,第 i 次观测得到的数据为 ai,具体如下表所示: i 1 2 3 4 5 6 7 8 ai 40 41 43 43 44 46 47 48 在对上述统计数据的分析中, 一部分计算见如图所示的程序框图(其中 a 是这 8 个数据 的平均数),求输出的 S 的值.

10.(12 分)(2011·汕头模拟)已知数列{an}的各项均为正数,观察程序框图,若 k=5, 5 10 k=10 时,分别有 S= 和 S= . 11 21

(1)试求数列{an}的通项; (2)令 bn=2an,求 b1+b2+?+bm 的值.
7

11.(14 分)已知某算法的程序框图如图所示,若将输出的(x,y)值依次记为(x1,y1), (x2,y2),?,(xn,yn),?, (1)若程序运行中输出一个数组是(9,t),求 t 的值; (2)求程序结束时,共输出(x,y)的组数; (3)求程序结束时,输出的最后一个数组.

学案 70 自主梳理 1.明确 有限 2.流程图 程序框

算法与程序框图 流程线 文字说明 程序框 流程线 流程线
8

程序框 3.若干个依次执行的步骤 5.从某处开始, 按照一定的条件反复执行某些步骤的情 况 循环体 当型(WHILE 型) 直到型(UNTIL 型) 自我检测 1.A [由循环结构的程序框图可知需添加的运算为 S=x1+x2+?+x10 的累加求和.] 1 2.D [第一次运行 N=5,k=1,S=0,S=0+ ,1<5 成立,进入第二次运行;k 1×2 1 1 1 1 1 =2,S= + ,2<5 成立,进入第三次运行;k=3,S= + + ,3<5 成立, 1×2 2×3 1×2 2×3 3×4 1 1 1 1 进入第四次运行;k=4,S= + + + ,4<5 成立,进入第五次运行;k=5, 1×2 2×3 3×4 4×5 1 1 1 1 1 1 5 S= + + + + =1- = ,5<5 不成立,此时退出循环,输出 S.] 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6 6 1 1 3.D [由框图可知 i=0,s=2→i=1,s= →i=2,s=- →i=3,s=-3→i=4, 3 2 s=2,循环终止,输出 s,故最终输出的 s 值为 2.] 4.68 2 2 2 解析 当输入 l=2,m=3,n=5 时,不满足 l +m +n =0,因此执行:y=70l+21m +15n=70×2+21×3+15×5=278.由于 278>105, 故执行 y=y-105, 执行后 y=278-105 =173,再执行一次 y=y-105 后 y 的值为 173-105=68,此时 68>105 不成立,故输出 68. 课堂活动区 例 1 解题导引 顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按 从上到下的顺序进行的.程序框图中一定包含顺序结构. 解 算法如下: 第一步,输入 x0,y0 及直线方程的系数 A,B,C. 第二步,计算 Z1=Ax0+By0+C. 2 2 第三步,计算 Z2=A +B . |Z1| 第四步,计算 d= . Z2 第五步,输出 d. 程序框图:

变式迁移 1 A [由程序框图中的各个赋值语句可得 x=21,a=75,c=32,b=21,故 a、b、c 分别是 75、21、32.] 例 2 解题导引 求分段函数函数值的程序框图的画法,如果是分两段的函数,则需 引入一个判断框;如果是分三段的函数,则需引入两个判断框. 解 算法如下: 第一步,输入 x; 第二步,如果 x>0,则 y=-2;如果 x=0,则 y=0;如果 x<0,则 y=2;

9

第三步,输出函数值 y. 相应的程序框图如图所示.

变式迁移 2 C

? ?2x-3,2<x≤5, [本问题即求函数 y=? 1 ? ?x,x>5
x ,x≤2,

2

的值.

若 x≤2,由 x =x 得,x=1 或 0; 若 2<x≤5,由 x=2x-3 得,x=3; 1 若 x>5,由 x= 得,x=±1,不符合. x 故符合要求的 x 值有 3 个.] 例 3 解题导引 数学中的累加、 累乘、 累差等重复性操作可以用循环结构来实现. 循 环结构分当型和直到型两种,二者的区别是:前者是,当满足条件时执行循环体,而后者是 “直到”条件满足时结束循环. 解 第一步,设 S 的值为 1. 第二步,设 i 的值为 2. 第三步,如果 i≤100 执行第四步,否则转去执行第七步. 第四步,计算 S 乘 i 并将结果赋给 S. 第五步,计数 i 加 1 并将结果赋给 i. 第六步,转去执行第三步. 第七步,输出 S 的值并结束算法. 根据自然语言描述,程序框图如下:

2

变式迁移 3 286 解析 数列{an}:4,7,10,?为等差数列,令 an=4+(n-1)×3=40,得 n=13,∴s
10

? 4+40? ×13 =4+7+?+40= =286. 2 课后练习区 1.D [根据题意可知 x>2 时,收费应为起步价 7 元+超过 2 公里的里程收费 2.6(x- 2)元+燃油附加费 1 元=8+2.6(x-2).] 1 2 2 2.C [由框图可知 i=1,s=1×2 =2;i=2,s=2+2×2 =10;i=3,s=2+2×2 3 +3×2 >11,i=i+1=3+1=4.] 3.A [当 k=1 时,k=k+1=2,S=2×1+2=4; 当 k=2 时,k=k+1=3,S=2×4+3=11; 当 k=3 时,k=k+1=4,S=2×11+4=26; 当 k=4 时,k=k+1=5,S=2×26+5=57. 此时 S=57,循环结束,k=5,所以判断框中应为“k>4?”.] 4.B [由框图可知: 当 n=6,m=4 时,第一次循环:p=(6-4+1)×1=3,k=2. 第二次循环:p=(6-4+2)×3=12,k=3. 第三次循环:p=(6-4+3)×12=60,k=4. 第四次循环:p=(6-4+4)×60=360,此时 k=m,终止循环. 输出 p=360.] 2 2 2 2 2 2 5.C [第一次循环:S=1 ;第二次循环:S=1 +2 ;第三次循环;S=1 +2 +3 ;第 2 2 2 2 四次循环:S=1 +2 +3 +4 =30.] 6.5 3 4 解析 初始值:k=2,执行“k=k+1”得 k=3,a=4 =64,b=3 =81,a>b 不成立; 4 4 k=4,a=4 =256,b=4 =256,a>b 不成立; 5 4 k=5,a=4 =1 024,b=5 =625,a>b 成立, 此时输出 k=5. 7.30 解析 按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出 T=30. 8.63 1 2 解析 当 n=1 时,S=1+2 =3;当 n=2 时,S=3+2 =7; 3 4 当 n=3 时,S=7+2 =15;当 n=4 时,S=15+2 =31; 5 当 n=5 时,S=31+2 =63>33.故 S=63. 9.解 该程序框图即求这组数据的方差, ∵ a =44,(2 分) 18 1 2 2 2 2 ∴S= i ∑ (ai- a ) = [(40-44) +(41-44) +?+(48-44) ]=7.(12 分) 8 =1 8 1 1 1 10.解 由题中框图可知 S= + +?+ , a1a2 a2a3 akak+1 ∵数列{an}是等差数列,设公差为 d, 1 1 1 1 则有 = ( - ), akak+1 d ak ak+1 1 1 1 1 1 1 1 ∴S= ( - + - +?+ - ) d a1 a2 a2 a3 ak ak+1 1 1 1 = ( - ).(4 分) d a1 ak+1 5 10 (1)由题意可知,k=5 时,S= ;k=10 时,S= . 11 21

11

1 ? ?d? ∴? 1 ? ? d?

1 1 5 - ? = , a1 a6 11 1 1 - ? a1 a11 10 = , 21

?a1=1, ?a1=-1, ? ? 解得? 或? (舍去). ? ? ?d=2 ?d=-2 故 an=a1+(n-1)d=2n-1.(8 分) 2n-1 (2)由(1)可得 bn=2an=2 ,∴b1+b2+?+bm m 2? 1-4 ? 2 m 1 3 2m-1 =2 +2 +?+2 = = (4 -1). 1-4 3 (12 分) 11.解 (1)循环体运行结果如下:

输出? 1,0? n=3 x=3 y=-2 n<2 011

输出? 3,-2? n=5 x=9 y=-4 n<2 011

输出? 9,-4? n=7 x=27 y=-6 n<2 011

∴输出数组(9,t)中的 t 值是-4.(4 分) (2)计数变量 n 的取值为:3,5,7,?,构成等差数列,由 3+(m-1)×2=2 011.解得 m =1 005,由于当 m=1 005 时,n=2 011,循环体还要执行一遍,会输出第 1 006 个数组, 然后 n=2 013>2 011,跳出循环体.故共输出 1 006 个数组.(8 分) (3)程序输出的数组(xn,yn)按输出的先后顺序,横坐标 xn 组成一个等比数列{xn},首项 1 005 x1=1,公比 q=3.纵坐标组成一个等差数列{yn},首项 y1=0,公差 d=-2.∴x1 006=3 , 1 005 y1 006=-2×1 005=-2 010.故程序结束时,输出的最后一个数组是(3 ,-2 010). (14 分)

12


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