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2014高考广东卷理科数学真题及答案解析


2014 高考广东卷理科数学真题及答案解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? {?1, 0,1}, N ? {0,1, 2}, 则 M ? N ? 【答案】B A. {?1, 0,1} B. {?1, 0,1, 2} C. {?1, 0, 2} D. {0,1}

2.已知复数 Z 满足 (3 ? 4i) z ? 25, 则 Z=A A. 3 ? 4 i 【答案】A B. 3 ? 4i C. ?3 ? 4i D. ?3 ? 4i

? y?x ? 3.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1且z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 M 和 m,则 ? y ? ?1 ?
M-m= A.8 【答案】C B.7 C.6 D.5

4.若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
C. 实半轴长相等 D.焦距相等

A.离心率相等 B.虚半轴长相等 【答案】D

5.已知向量 a ? ?1,0, ?1? , 则下列向量中与 a 成 60 ? 夹角的是 A. (-1,1,0) B. (1,-1,0) C. (0,-1,1) D. (-1,0,1) 【答案】B 6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示,为了解该地区中小学生的 近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近 视人数分别为

A、200,20

B、100,20

C、200,10

D、100,10

【答案】A 7、若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 , ? l3 , l3 ? l4 ,则下列结论一定正 确的是 A. l1 ? l4 【答案】D 8. 设 集 合 A= B. l1 / / l4 C. l1 , l4 既不垂直也不平行 D. l1 , l4 的位置关系不确定

?? x , x , x , x , x?
1 2 3 4

5

i

? x ? 1, 0 , 1 ? i ,

1, 2 , 3, , 4 ,那 5 么集合 A 中满足条件

?

“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 3 ”的元素个数为 A.60 B90 C.120 D.130 【答案】D 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 【答案】 (??, ?3] ? [2, ??) 10.曲线 y ? e ?5 x ? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为 【答案】 y ? ?5x ? 3 11 . 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8 , 9 中 任 取 七 个 不 同的 数, 则 这 七 个 数 的 中位 数是 6 的 概 率 为 。 。 。

1 【答案】 6
12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b , 则

a ? b



【答案】2 13.若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 , 则 ln a1 ? ln a2 ?

? ln a20 ?



【答案】20 (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14、 (坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin
2

? ? cos?

和 ? sin ? =1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标 系,则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为__

【答案】 (1,1) 15、 (几何证明选讲选做题)如图 3,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE, AC 与 DE 交于点 F,则

?CDF的面积 =___9 ?AEF的面积

【答案】9 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、 (12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ? 解: (1)

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) 。 2 2 4

5? 3 )? . 4 12 2 5? 5? ? 2? ? f ( ) ? A sin( ? ) ? A sin ? A? 12 12 4 3 (2) ? A ? 3. ? ? f ( x) ? 3 sin(x ? ),且f (? ) ? f (?? ) ? 4 ? f ( x) ? A sin(x ? ),且f (
? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ?

?

3 3 ? . 2 2
3 . 2

?

4

) ? 3 sin(?? ?

?
4

)

?? ? ?? ? ? ? ?? ? 3 ?? sin ? cos ? cos? sin ? ? ? sin cos? ? cos sin ? ?? 4 4? ? 4 4 ?? ?? ? 3 ? 3 ? 2 cos? sin ? 6 cos? ? . 4 2 6 ? ? cos? ? .且? ? (0, ) 4 2 10 ? sin? ? 1 ? cos2 ? ? . 4 3? ?? 30 ? 3? ? f( ? ? ) ? 3 sin ? ? ? ? ? ? 3 sin ?? ? ? ? ? 3 sin ? ? . 4 3? 4 ? 4

17、 (13 分)随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获得 数据如下:

根据上述数据得到样本的频率分布表如下:

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在 区间(30,50]的概率。 解: (1)根据图表可知: n1 ? 7, n2 ? 2 ,故 f1 ? (2) 0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 频率/组距

7 2 ? 0.28, f 2 ? ? 0.08 25 25

25

30

35

40

45

50

数据

(3)对于该厂的任意员工,其日加工零件数在 (30,50] 的概率为:

0.2 ? 0.32 ? 0.28 ? 0.08 ? 0.88 ,即不在该区间内的概率为: 1 ? 0.88 ? 0.12 81 4 故,四人均不在所要求区间的概率为: 0.12 ? ,故所要结果为 390625 81 390544 1? ? 390625 390625
18、 (13 分)如图 4,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC=30°,AF⊥式 PC

于点 F,FE∥CD,交 PD 于点 E。 (1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 D-AF-E 的余弦值。

(1)证明

? PD ? 面ABCD, 且P D ? 面PCD. ? 面PCD ? 面ABCD, 交线为CD. 又 ?四边形ABCD为正方形,AD ? CD, AD ? 面ABCD ? AD ? 面PCD, 又由于CF ? 面PCD ? AD ? CF . ? AF ? CF , 且MD ? MF ? M ? CF ? 面MDF

(2)解:

设AD ? 1,则CD ? 1,PD ? 3,PC ? 1,DF ? DE ?

3 1 3 ,CF ? ,EF ? , 2 2 4

3 . 4 以D为坐标原点,DC为x轴,DP为y轴,DA为z轴建立空间直角坐标系 , 3 3 3 则D(0, 0,0),A(0,0,1 ),C( 1.0.0),E(0, , 0),F( , , 0) 4 4 4 3 3 DA ? (0,0,1 ) , DF ? ( , , 0) , 设平面ADF的法向量为m ? (x , y , z ) 4 4 ? ? DA ? m ? 0 则? ?m? (1, - 3, 0) ? ? DF ? m ? 0 同理求得平面AEF的法向量为n ? (0,4,3) 二面角的余弦值为 cos? ? m?n m?n ? 2 57 . 19

19. (14 分)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n ,且 S3 ? 15 。 (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;
2 解: (1)由 Sn ? 2nan?1 ? 3n ? 4n 得:

a1 ? 2a2 ? 7 ; a1 ? a2 ? 4a3 ? 20 ; a1 ? a2 ? a3 ? 15
解得: a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7 (2)猜想: an ? 2n ? 1,则 Sn ? n(n ? 2) ,以下用数学归纳证明: 当 n ? 1 时,由(1)知 a1 ? 3 ? 2 ?1 ? 1 ,符合; 假设当 n ? k 时, ak ? 2k ? 1 ,由 S ? 2ka ? 3k 2 ? 4k k k ?1

? k (k ? 2) ? 2kak ?1 ? 3k 2 ? 4k ? ak ?1 ? 2k ? 3 ? 2(k ? 1) ? 1 ,符合
所以,由数学归纳法可知,数列 a 的通项公式为: an ? 2n ? 1 ? n?

20. (14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 , 2 a b 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨 迹方程。

c 5 ? 得:a ? 3, b ? 2. a 3 20.解: (1) x2 y2 椭圆方程为: ? ?1 9 4 由c ? 5 , e ?

设两个切点分别为 A、B
(2) ①当两条切线中有一条斜 率不存在时,即 A、B两点分别位于

椭圆长轴与短轴的端点 ,P点坐标为(? 3,?2)

②当两条 切线斜率均存在时, 设椭圆切线斜率为 k,过点P的椭圆切线方程为 y - y 0 ? k ( x ? x0 ) ? y - y 0 ? k ( x ? x0 ) ? 联立? x 2 y 2 ,得 ?1 ? ? 4 ?9 2 2 2 2 (9k ? 4)x ? (18ky0 ? 18k 2 x0 ) x ? 9k 2 x0 ? 18kx0 y 0 ? 9 y 0 ? 36 ? 0
2 2 △? 0 ? 9k 2 ? 4 ? (kx0 ? y 0 ) 2 ? ( x0 ? 9)k 2 ? 2 x0 y 0 k ? y 0 ?4?0 2 y0 ?4 2 x0 ? 9

设PA、PB斜率分别为k1、k 2,则k1 ? k 2 ? 又PA、PB互相垂直, ? k1 ? k 2 ?
2 2 化简得x0 ? y0 ? 13 (x0 ? ?3)

2 y0 ?4 ? -1 2 x0 ? 9

2 2 又 ? P( ? 3,?2)在x0 ? y0 ? 13上

?点P在圆x 2 ? y 2 ? 13上.

21.(本题 14 分)设函数 f ( x) ?

1 ( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3

,其中 k ? ?2 ,

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D; (用区间表示) (2)讨论 f ( x ) 在区间 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合。

解 :令 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0 ,
2 2 2

因式分解得

?x

2

? 2 x ? k ? 3?? x 2 ? 2 x ? k ? 1? ? 0

,由于 k ? ?2 ,解得

x1 ? ?1? 2 ? k , x2 ? ?1? ?2 ? k , x3 ? ?1 ? ?2 ? k , x4 ? ?1 ? 2 ? k

2 2 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,令 ? x ? 2 x ? k ? 3?? x ? 2 x ? k ? 1? ? 0 ,解得

x ? ??, ?1 ? 2 ? k ? ?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k ? ?1 ? 2 ? k , ??
域; (2)设 令

?

? ?

? ?

? 即为所求定义

g ? x ? ? (x 2 ? 2x ? k )2 ? 2(x 2 ? 2x ? k ) ? 3
,解得



g ' ? x ? ? 2 ? x ? 1? ? x 2 ? 2 x ? k ? 2 ?

g ' ? x? ? 0

x4 ? ?1 ? ?1 ? k , x5 ? ?1,, x6 ? ?1 ? ?1 ? k ,结合(1)所求的定义

域,并比较各根的大小,可得

? ? f ? x? 递减, 递增; x ? ? ?1 ? ?2 ? k , ?1? , g ? x ? ? 0 g ? x ? f ? x? , 递增, 递减; x ? ? ?1, ?1 ? ?2 ? k ? , g ? x ? ? 0, g ? x ? f ? x? 递减, 递增; x ? ? ?1 ? ?2 ? k , ?? ? , g ? x ? ? 0, g ? x ? f ? x? 递增, 递减;
x ? ??, ?1 ? 2 ? k , g ' ? x ? ? 0, g ? x ?
'

'

'

(3)略

2014 高考广东卷理科数学真题的解析到此结束,希望广大考生关注新东方 在线高考名师团队对其他科目的解析和点评。 最后,新东方在线祝愿广大 2014 高考考生取得优异成绩,金榜题名。并祝 2015 高考考生备考顺利。


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