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2014年高考数学第一轮复习:指数与指数函数


指数与指数函数
★知识梳理 分数指数幂 根式 如果 x ? a(n ? 1, n ? N ) ,那么 x 称为 a 的 n 次实数方根;
n n 式子 a 叫做根式,其中 n 叫做根指数, a 叫做被开方数 ?

?a ? ?a 方根的性质:当 n 为奇数时, a =a.当 n 为偶数时, a =|a|= ?
n n
n n

(a ? 0), (a ? 0).

2.分数指数幂

1
(1)分数指数幂的意义:a = a (2)有理数指数幂的性质:
m n

n

m

,a

m ? n

=

m an

1
m = a (a>0,m、n 都是正整数,n>1). n

a r ? a s ? a r ? s ; (a r ) s ? a rs ; (ab) r ? a r b r

(a ? 0, b ? 0, r ? R, s ? Q)

二、指数函数的图像及性质的应用 ①指数函数的定义:一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数. ②指数函数的图像

1 O x



y

yx> =( 1 aa

yx y = a ( a1 0 < <) 1 O

x

③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于 y 轴对称. ④指数函数的性质:定义域:R; 值域: (0,+∞) ;过点(0,1) ;即 x=0 时,y=1. 当 a>1 时,在 R 上是增函数;当 0<a<1 时,在 R 上是减函数. 画指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图像时,应该抓住两点:一是过定点(0,1) ,二是 x 轴 是其渐近线 ★重、难点突破 重点:有理指数幂的定义及性质,指数函数的概念、图像与性质 难点:综合运用指数函数的图像与性质解决问题 重难点:1.指数型函数单调性的判断,方法主要有两种: (1)利用单调性的定义(可以作差,也可以作商) (2)利用复合函数的单调性判断形如 y ? a 单调增(减)区间,就是 y ? a
f ( x) f ( x)

的函数的单调性:若 a ? 1 ,则 y ? f (x) 的

的单调增(减)区间;若

f ( x) 0 ? a ? 1 ,则 y ? f (x) 的单调增(减)区间,就是 y ? a 的

单调减(增)区间; 2. 指数函数的图像与性质 (Ⅰ) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对 应关系为 (1)y=ax, (2)y=bx, (3)y=cx, (4)y=dx 则0 ? c ? d ?1? a ? b 在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大 变小,即无论在 y 轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. (Ⅱ) 指数函数的图像 y ? a 与 y ? a
x ?x

(a ? 0, a ? 1) 的图象关于 y 轴对称

3.指数型的方程和不等式的解法 (Ⅰ)形如 a
f ( x)

? b, a f ( x ) ? b, a f ( x ) ? b 的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性 ? Ba x ? C ? 0(? 0) 的形式,可借助于换元法转化为二

解决,或“取对数”等方法; (Ⅱ)形如 a
2x

? Ba x ? C ? 0 或 a

2x

次方程或不等式求解。 ★热点考点题型探析 考点 1 指数幂的运算
1 ? 7 2 2 1.5 3 ? (? )0 ? 80.25 ? 4 2 ? ( 3 2 ? 3) 6 ? ( ) 3 6 3 [例 1] 计算:

[解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。
1 1 1 1 2 1 2 1 3 4 3 3 4 2 6 ? ( ) ?1 ? (2 ) ? 2 ? (2 ? 3 ) ? ( ) 3 ? 2 ? 4 ? 27 ? 110 3 3 [解析]原式

根式的运算是基本运算,在未来的高考中一般不会单独命题,而是与其它知识结合在一起, 比如与二项展开式结合就比较常见

3 6

1.(高州中学 09 届月考)经化简后, [解析] a ;
3

a9 ? 6

3

a 9 ( a ? 0) 的结果是 a? a ?a

3 6

a9 ? 6

3

a9 ? 3

a3 ? 6 a3 ?

2.

a ?6 ?a ?
1 3 1

[解析] ? ? a ; 考点 2 指数函数的图象及性质的应用 题型 1:由指数函数的图象判断底数的大小 [例 2] 下图是指数函数(1)y=ax, (2)y=bx, (3)y=cx, (4) y=dx 的图像,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( )

a ? 6 ? a ? a 3 ? (?a) 6 ? ?(?a) 3

1 1 ? 6

1

? ?(?a) 2 ? ? ? a

A. d ? c ? 1 ? b ? a ; B. c ? d ? 1 ? a ? b ; C. 1 ? d ? c ? b ? a ;D. d ? c ? 1 ? a ? b [解题思路] 显然,作为直线 x=1 即可发现 a、b、c、d 与 1 的大小关系 [解析] B;令 x=1,由图知 c ? d ? 1 ? a ? b ,即 c ? d ? 1 ? a ? b
1 1 1 1

由指数函数的图象确定底数的大小关系,关键要从具体图象进行分析 题型 2:解简单的指数方程

1 ? 3? x ?3 x [例 3] 方程 1 ? 3 的解是_________
[解题思路]将方程化为最简单的指数方程

1 ? 3? x 3x ? 1 ?3 ? 3 x ?1 x x ?1 x x [解析] ? 1;在方程 1 ? 3 的两边同时乘以 3 得 1 ? 3 ,从而得 3 ? 1
所以 x ? ?1 解 指 数 方 程 要 观 察 其 特 征 , 在 本 题 中 , 关 键 是 发 现 1? 3
?x

与 1? 3 的 关 系 :

x

1 ? 3 x ? 3 x (1 ? 3? x )
题型 3:利用函数的单调性求函数的值域
x2 ? x

[例 4] 已知 2

1 ≤( 4 )x-2,求函数 y=2x-2-x 的值域.

[解题思路]求函数 y=2x-2-x 的值域应利用考虑其单调性 [解析] ∵2
x2 ? x

≤2-2(x-2) ,∴x2+x≤4-2x,即 x2+3x-4≤0,得-4≤x≤1.

又∵y=2x-2-x 是[-4,1]上的增函数,∴2-4-24≤y≤2-2-1.

255 3 故所求函数 y 的值域是[- 16 , 2 ].
利用函数的单调性确定其值域是高考热点,关键在于发现函数的单调性 [新题导练] 3.不等式 6
x 2 ? x?2

? 1 的解集是___________
2

x [解析] (?2,1) ;由不等式 6

? x?2

? 1 得 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得 ? 2 ? x ? 1

y ? a ? 1 (a ? 0且a ? 1) 4.若直线 y ? 2a 与函数 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围
x

是_______.

1 x (0, ) 2 ; 画 出 函 数 y ? a ? 1 (a ? 0且a ? 1) 的 草 图 知 , 若 直 线 y ? 2a 与 函 数 [解析]

y ? a x ? 1 (a ? 0且a ? 1)

的图象有两个公共点,则 o ? 2a ? 1 ,即
x ?1

o?a?

1 2

5. (广东恩城中学 09 年模拟)不论 a 为何正实数,函数 y ? a 则该定点的坐标是_________

? 2 的图象一定通过一定点,
x ?1

[解析] (?1,1) ;因为函数 y ? a 的图象通过定点 (0,1) ,故函数 y ? a
x

? 2 的图象一定通过

定点 (?1,1) 6 .已 知函数

f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ( 其中 a ? b ) 的图 象如下 面右图 所示,则 函数
)

g ( x) ? a x ? b 的图象是(

A. [解析] A; 由 图象是 A

B.

C.

D. 的图象知 o ? a ? 1, b ? ?1 , 所以函数

f ( ) ?x ? ) x b) x ( a( ?

g ( x) ? a x ? b 的
x

7.若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则 f (3) 、

g (0) 、 f (2) 的大小关系为
[解析] g (0) ? f (2) ? f (3) ;因为 f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数,所以有

? f ( x) ? g ( x) ? e x ? 1 1 ? f ( x ) ? (e x ? x ) ?? f ( x ) ? g ( x ) ? e ? x ? 2 e , 可 见 f (x) 在 R 上 是 增 函 数 , 故 ,得

f (0) ? f (2) ? f (3) ,又由 f ( x) ? g ( x) ? e x ? 0 知 f ( x) ? g ( x) ,因此 f (0) ? g (0)
所以 g (0) ? f (2) ? f (3) 考点 3 与指数函数有关的含参数问题 [例 5] 要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. [解题思路]欲求 a 的取值范围,应该由 1+2x+4x a >0 将参数 a 分离,转变为求函数的最值

1? 2x x [解析] 由题意,得 1+2x+4xa>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立,即 a>- 4 在 1? 2x 1 1 1 1 1 x x∈(-∞,1]上恒成立.又∵- 4 =-( 2 )2x-( 2 )x=-[ 2 )x+ 2 ]2+ 4 , (

3 3 当 x∈(-∞,1]时值域为(-∞,- 4 ] ,∴a>- 4
[名师指引]①由某个不等式在某个范围内恒成立, 求参数的取值范围是高考中的热点,处理的 方法往往是通过分离参数, 转变为求函数的最值,但要注意端点的值能否取到; ②指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像 特征,要用到数形结合思想、分类讨论思想. ③指数函数是重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等 价转化、 分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图像与性质并能 进行一定的综合运用。

f ( x) ? 2 x ?
8.已知函数 值范围 [解析] [?5, ??) ;当 即

1 2
x

,若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [1,2] 恒成立,求实数 m 的取
t

1 ? 1? ? ? t ? [1, 2]时, 2t ? 22t ? 2t ? ? m ? 2t ? t ? ? 0, 2 ? 2 ? ? ?

m ? 22t ? 1? ? ? ? 24t ? 1? . ? t ?[ 1 , 2 ? ? ], ? ?2t ? 2 ? ? 1 ? , 5 ] , 1 [ 7

? 22t ? 1 ? 0, ? m ? ? 22t ? 1? .
故 m 的取值范围是 [?5, ??)

f ( x) ? lg
9.设

1? 2x ? 4x ? a (a ? R) 3 ,如果当 x ? (??,1) 时 f (x) 有意

义,求 a 的取值范围.

a??
[解析]

1 ? 2x ? 4x ? a 3 ?0 x x 3 4 ;当 x ? 1时, 恒成立,即 1 ? 2 ? 4 ? a ? 0 恒成立

a?


?1 ? 1 1 ? ?( x ) 2 ? ( x ) x 4 2 2 1 2 1 1 1 ) ?( x ) ? x x 2 2 ,则 x ? 1时, 0 ? 2 ? 2 ,∴ 2 x 2

g ( x ) ? ?(


g ( x) ? ?(

1 2 1 1 1 1 3 3 ) ? ( x ) ? ?( x ? ) 2 ? ? ? a?? x 2 2 2 2 4 4 ,∴ 4 f ( x) ? 2 x ? a 2 x , 将 y ? f ( x) 的图象向右平移

[备选例题] (广州六校 09 届联考)已知函数 两个单位, 得到 y ? g ( x) 的图象.

(1) 求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2) 若函数 y ? h( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? 1 对称, 求函数 y ? h( x) 的解析 式; [解析] (1) 由题设得 g ( x) ? f ( x ? 2)

? 2 x?2 ?
( x1 , y1 )

a 2 x?2
在 y ? g ( x) 的图象上, 且与点 ( x, y ) 关于直

(2) 设点 ( x, y ) 在 y ? h( x) 的图象上, 点

? x1 ? x ? y ? 1对称, 则 ? y1 ? 2 ? y 线

? 2 ? y ? g ( x), ? y ? 2 ? g ( x)

h( x ) ? 2 ? 2 x ? 2 ?
即 ★抢分频道 基础巩固训练:

a 2 x ?2 .

1 g( ) 1.与函数 f ( x) ? 2 的图像关于直线 y ? x 对称的曲线 C 对应的函数为 g ( x) ,则 2 的
x

值为 (



1 A. 2 ;B. 1 ;C. 2 ;D. ?1 1 g ( ) ? log 2 2 ?1 ? ?1 [解析] D;依题意得 g ( x) ? log 2 x ,所以 2
2.已知函数 是( )
?a

f ( x) ? 2 x ? 1 , a ? b ? c

,且 f (a) ? f (c) ? f (b) ,则下列结论中,必成立的

A. a ? 0, b ? 0, c ? 0 ;B. a ? 0, b ? 0, c ? 0 ; C. 2 [解析] D;由函数

? 2c ; D. 2a ? 2c ? 2

f ( x) ? 2 x ? 1

的图象及 a ? b ? c 和 f (a) ? f (c) ? f (b) 知

a ? 0,0 ? c ? 1 ,所以 2 a ? 1 , 2 c ? 1 ,从而 2a ? 2c ? 2
xa x ?0 ? a ? 1? y? x
y
1o

3.函数

的图象的大致形状是 y
1 o 1o

y
1o

y

o
o -1

x

o
o -1

x

o
o -1

x

o
o -1

x

A

B
y? xa x ? ax x

C

D

[解析] D ;当 x ? 0 时,

,又 0 ? a ? 1 ,可排除 A 、 C ;当 x ? 0 时,

y?

xa x ? ?a x x

,又 0 ? a ? 1 ,可排除 B

2x
4. 不等式

2

?2 x?4

?

1 2 的解集为 2x
2

?2 x?4

[解析] ? 3 ? x ? 1 ; 不等式

?

1 2 x 2 即为 2 x ?2 x ?4 ? 2 ?1 ,由函数 y ? 2 的单调性得

x 2 ? 2 x ? 4 ? ?1 ,解得 ? 3 ? x ? 1
5. (四会中学 09 届月考)满足条件 m [解析] m ? 2 或 0 ? m ? 1 ;由 m
2
m2

m2

>(mm)2 的正数 m 的取值范围是_________
2

? (m m ) 2 得 m m ? m 2 m ,
2

当 m ? 1 时,得 m ? 2m ,解得 m ? 2 ;当 0 ? m ? 1 时,得 m ? 2m ,解得 0 ? m ? 1 6.若关于 x 的方程 25-|x+1|-4·5-|x+1|-m=0 有实根,求 m 的取值范围. [解析]解法一:设 y=5-|x+1|,则 0<y≤1,问题转化为方程 y2-4y-m=0 在(0,1]有实 根.设 f(y)=y2-4y-m,其对称轴 y=2,∴f(0)>0 且 f(1)≤0,得-3≤m<0. 解法二:∵m=y2-4y,其中 y=5-|x+1|∈(0,1] ,∴m=(y-2)2-4∈[-3,0) 综合提高训练: 7.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,满足 f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) 且 f (0) ? 3 ,当 x ? 0 时,
2

试比较 f (b ) 与 f (c ) 的大小。 [解析] ? f (?1 ? x) ? f (?1 ? x) ,∴ f ( x) 关于 x ? ?1 对称,∴ b ? 2 ,又 f (0) ? c ? 3 ,
x x ∴当 x ? 0 时, 1 ? b ? c ,∴ f (b ) < f (c ) ;

x

x

x

x

o

当 x ? 0 时, 0 ? c ? b ? 1,∴ f (b ) > f (c )
x x

x

x

x


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