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专题02 函数与导数(理)(教学案)-2014年高考数学二轮复习精品资料(解析版)


【高效整合篇】

一.考场传真
1. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】定义域为 R 的四个函数

y ? x3 , y ? 2x , y ? x2 ? 1 , y ? 2sin x 中,奇函数的个数是(
A . 4 B. 3 C. 2

) D.1

2. 【2013年全国高考新课标(I)理科】若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2 对称,则f(x)的最大值是______.

3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】设函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数) 。若曲线 y ? sin x 上存在点 ( x0 , y0 ) 使 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则

a 的取值范围是(
(A)[1, e]

) (B)[e ?1,1]
?1

(C)[1, e ? 1]

(D)[e ? 1, e ? 1]

?1

x 2 于是 a ? e ? x ? x 在 ?0,1? 有解,所以 a 的取值范围就是函数 g ( x) ? e ? x ? x ,
x 2

4. 【2013 年普通高等学校统一考试天津卷理科】已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设关于 x 的不
? 1 1? 等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集为 A, 若 ? ? , ? ? A , 则实数 a 的取值范围是( ? 2 2?



?1? 5 ? (A) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ?1? 5 ? ? 1? 3 ? (C) ? ??? ? 2 ,0 ? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ?

?1? 3 ? (B) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? 1? 5 ? (D) ? ? ??, 2 ? ? ? ?

5.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ?x0 ? 0 ? 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是( ) A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 - f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 f (- x) 的极小值点 D. ? x0 是 - f (- x) 的极小值点

6. 【2013 年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】已知函数 f(x)= x ? ax ? bx ? c ,下列结论中错误的是(
3 2



(A) ? x0 ? R , f( x0 )=0

(B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 (C)若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞, x0 )单调递减 (D)若 x0 是 f(x)的极值点,则 f ' ( x0 )=0

7. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______.

8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】直线 l 过抛物线 C: x2=4y 的焦 点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( A. )

4 3

B.2

C.

8 3

D.

16 2 3

二.高考研究
【考纲要求】 1.函数 (1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示 函数. (3)了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段). (4)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;了解函数奇偶性的含义. (5)会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.

2.指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景. (2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为 2,3, 10,1/2,1/3 的指数函数的图像. (4)体会指数函数是一类重要的函数模型. 3.对数函数

4.幂函数 (1)了解幂函数的概念. (2)结合函数 5.函数与方程 结合二次函数的图像, 了解函数的零点与方程根的联系, 判断一元二次方程根的存在性及根 的个数. 6.函数模型及其应用 (1)了解指数函数、对数函数、 幂函数的增长特征, 结合具体实例体会直线上升、指数增长、 对数增长等不同函数类型增长的含义. (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用. 7.导数及其应用 (1)了解导数概念的实际背景. (2) 通过函数图像直观理解导数的几何意义. (3) 根据导数的定义求函数 (c 为常数)的导数. 的图像,了解它们的变化情况.

(4) 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数, 能求简单的复合函数(仅限于形如 f(ax+b)的复合函数)的导数. 常见基本初等函 数的导数公式和常用导数运算公式: (C 为常数); (a>0,且 a≠1); 常用的导数运算法则: , n∈N+; ; ; (a>0,且 a≠1). ; ;

(5)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次). (6) 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值 (其中多项式函数一般不超过三次) ;会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函 数一般不超过三次). (7) 会用导数解决某些实际问题.. (8) 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. (9) 了解微积分基本定理的含义. 【命题规律】 函数是高中数学教学内容的知识主干,是高考考察数学思想、方法、能力和素质的主阵地, 而且函数的观点及其思想方法贯穿于整个数学教学的全过程,导数是研究函数的有力工具, 高考对函数的考察更多的是与导数的结合, 发挥导数的工具性作用, 应用导数研究函数的性 质、证明不等式等,体现出高考的综合热点. 函数与导数在高考试卷中形式新颖且呈现出多样性,既有选择、填空又有解答题,而且不同 难易程度的题目都有,低档难度题一般只涉及函数本身内容,中、高档难度的题多为综合程 度较高的题,或者与其他知识的结合,或者是多种思想方法的渗透,近年来高考强化了函数 与其他知识(函数、方程、不等式、数列等)的渗透,加大了以函数为载体的多方法、多能 力的综合程度,解决该类问题要注意函数与方程、转化与化归、分类讨论思想的应用.

一.基础知识整合
1.函数的奇偶性:

2.函数的单调性判断方法: (1)定义法:对于定义域内某一个区间 D 内任意的 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 )

?

f(x) 在 D 上单调递增;若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f(x) 在 D 上单调递减.
'

(2)导数法:若函数在某个区间 D 可导,如果 f (x) > 0 ,那么函数 f(x) 在区间 D 内单调递 增;如果 f (x) < 0 ,那么函数 f(x) 在区间 D 内单调递减.
'

3.函数的图像: (1)描点法作函数图象,应注意在定义域内依据函数的性质,选取关键的一部分点连接而 成. (2)图象变换法,包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.
a ? 0(向左平移a个单位) f ( x) ??????? ? f ( x ? a) a ? 0(向右平移 a 个单位)
k ? 0(向上平移k个单位) f ( x) ??????? ? f ( x)+k k ? 0(向下平移 k 个单位)
1

f ( x) ???????????????? 1 ? f (? x)(? ? 0, w ? 1)
0?? ?1(图像上所有点的纵坐标不会,横坐标伸长为原来的 )

? ?1(图像上所有点的纵坐标不会,横坐标缩短为原来的 ) ? ?

A?1(图像上所有点的横坐标不会,纵坐标伸长为原来的A ) f ( x) ???????????????? ? Af ( x)( A ? 0, A ? 1) 0 ? A?1(图像上所有点的横坐标不会,纵坐标缩短为原来的A)

f ( x ) 的图像的画法:先画 x ? 0 时 y ? f ( x) ,再将其关于 y 对称,得 y 轴左侧的图像. f ( x) 的图像画法:先画 y ? f ( x) 的图象,然后位于 x 轴上方的图象不变,位于 x 轴下方
的图象关于 x 轴翻折上去.

f (a ? x) ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 的图象关于 x = a 对称; f (a ? x) ? ? f (a ? x) ? y ? f ( x) 的图象关于 (a, 0) 点对称.

y ? f ( x) 的图象关于 x 轴对称的函数图象解析式为 y ? ? f ( x) ;关于 y 轴对称的函数解析
式为 y ? f (- x) ;关于原点对称的函数解析式为 y ? - f (- x) . (3)熟记基本初等函数的图象,以及形如 y ? x ?

1 的图象 x

4.周期性: (1)定义:对于函数 y ? f ( x) ,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一 个值时, f ( x ? T ) ? f ( x) 都成立, 那么就把函数 y ? f ( x) 叫做周期函数, 不为零的常数 T 叫 做这个函数的周期.

(3)函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.

=f(x)=-f(-x),所以 f(x) 关于(1,0) 例:f(x) 是奇函数,且最小正周期是 2,则 f(x+2)
对称.

f(x) 是偶函数,且图象关于 x ? 1 对称,则 f(2+x)=f(-x)=f(x),所以 f(x) 周期是 2.
5.指数函数、对数函数、幂函数的性质:

幂函数 y ? x? 图象永远过(1,1) ,且当 ? ? 0 时,在 x ? (0, ??) 时,单调递增;当 ? ? 0 时, 在 x ? (0, ??) 时,单调递减. 6.函数与方程 (1)方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. (2)如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

f (a) ? f (b) ? 0 那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 c ? (a,b) ,使得 f (c) =
0,这个 c 也就是方程 f (x) = 0 的根 (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上有 f (a) ? f (b) ? 0 ,若能找到一个自变量 c ? (a,b) , 且 f (a) ? f (c) ? 0 或 f (c) ? f (b) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上有零点. (4)函数 y ? f ( x) 的零点就是 f ( x) ? 0 的根,所以可通过解方程得零点,或者通过变形转 化为两个熟悉函数图象的交点横坐标. (5) 函数的零点就是函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点的横坐标, 所以往往利用导数结合极 值和单调性画出函数大致图像,并结合零点存在定理判断零点所在的区间. 7.导数的几何意义 (1)函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数就是曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率,

则 k ? f ' ( x0 ) (2)函数 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) . (3)在关于函数图象的切线问题中,如果涉及确定参数值的问题,首先设切点,然后注意三个 条件的使用,其一切点在切线上,其二切点在曲线上,其三切线斜率 k ? f ' ( x0 ) . 8.导数与单调性的关系

(3)若求单调区间,只需在函数 y ? f ( x) 的定义域内解不等式 f ' ( x) ? 0 或 f ' ( x) ? 0 ,或者 可以画导函数 f ' ( x) 的图像, 通过判断 f ' ( x) 的符号确定单调区间 (尤其对于含参数的函数单 调性问题可以简化解题过程). (4)若已知单调性确定参数的范围,一种方法是结合基本函数图像或熟悉的函数的图象求 解;另一种方法是转化为 f ( x) ? 0 或 f ( x) ? 0 恒成立.
' '

9.导数和函数极值、最值的关系 (1)求极值的步骤: ①先求 f ( x) ? 0 的根 x0 (定义域内的或者定义域端点的根舍去) ;
'

②分析 x0 两侧导数 f ( x) 的符号:若左侧导数负右侧导数正,则 x0 为极小 值点;若左侧导数正右侧导数负,则 x0 为极大值点. (2)对于可导函数,导数为 0 是点为极值点的必要而不充分条件.

'

(a, b) (3)设函数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上连续,在 内可导,则 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上必有最大
值和最小值且在极值点或端点取得,所以只需比较极值点和端点函数值即得到函数的最值. (4)求函数的单调区间、极值、最值是统一的,极值是函数的拐点,也是单调区间的划分 点,而求函数的最值是在求极值的基础上,通过判断函数的大致图像,从而得到最值,大前提 是要考虑函数的定义域. 10.利用定积分求曲边梯形的面积

(a ? b) (1)由直线 x=a , x=b , x 轴及一条曲线 y ? f ( x) ( f ( x) ? 0) 围成的曲边梯形的
面积

S ? ? f ( x)dx ,若 F ' ( X ) ? f ( x) ,则 S ? F (b)( -F a).
a

b

(a ? b) (2)推广:由直线 x=a , x=b , y ? f ( x) 和 y=g(x) ( f ( x) ? g(x) )围成的平
面图形的面积为 S ?

? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

b

二.高频考点突破 考点 1 函数及其表示
【例 1】 【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学(理) 】已知函数

? x 2 ? 1, x ? 1 ,若 f ( f (1)) ? 4a ,则实数 a 等于( f ( x) ? ? x ?2 ? ax, x ? 1
A.



1 2

B.

4 3

C.2

D.4

【例 2】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数错误!未找到引用源。 的定义域为 ( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

【例 3】 【江苏省苏州市 2014 届高三九月测试试卷】已知函数 f ( x ) ? ? 则满足 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围是______.

? ? ? x, 2 ? ? x ? 2 x,

x ? 0, x?0



【规律方法】1、若已知解析式求函数定义域,只需列出使解析式有意义的不等式(组)即 可. 2、对于复合函数求定义域问题,若已知 f ( x ) 的定义域 [ a, b] ,则复合函数 f ( g ( x)) 的定义 域由不等式 a ? g ( x) ? b 得到. 3、对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题,应依据已知条件准 确找出利用哪一段求解. 【举一反三】 【湖北省荆门市龙泉中学 2014 届高三 8 月月考数学(理) 】设

?? log3 ( x ? 1) ( x ? 6) 8 满足 f ( n ) ? ? ,则 f (n ? 4) =( f ( x) ? ? x ? 6 9 ( x ? 6) ?3 ? 1
A. 2 B. ?2 C .1 D. ?1

)

f (4 ? 4) ? f (8) ? ? log3 (8 ? 1) ? ? log3 9 ? ?2 .

考点 2 函数的图象
【例 1】 【湖北省荆门市龙泉中学 2014 届高三 8 月月考数学(理) 】已知函数

f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( a ? b ) 的图象如下面左图所示, 则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是 ( )

【例 2】【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)】函数 y ? x cos x ? sin x 的 图象大致为

【例 3】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】函数 f(x)的图象向右平移 一个单位长度,所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A. e
x ?1



B. e

x ?1

C. e

? x ?1

D. e

? x ?1

【规律方法】1.正确的作图必须做到:①熟练掌握常见的一次函数、二次函数、反比例函数、

指数函数、对数函数、幂函数及形如 y ? ax ? 的方法来简化作图过程.

b (a ? 0, b ? 0) 的函数图象;②掌握图象变换 x

2.正确的识图是解题的关键,在观察和分析图象时,要注意图象的分布和变化趋势,要结 合函数的性质,或者特殊点,以及函数值的正负来判断. 【举一反三】 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】.函数

f ? x ? ? log 2 x , g ? x ? ? ? x 2 ? 2, 则f ? x ? ? g ? x ? 的图象只可能是(



考点 3 函数的性质
【例 1】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 立,则 a 的取值范围为______.

a2 ? 7 ,若 f (x) ?a ?1 对一切 x ? 0 成 x

【例 2】 【广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数 f ( x) 是定

义在 (??, ??) 上的奇函数, 若对于任意的实数 x ? 0 , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) , 且当 x ? ?0,2? 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,则 f (?2011 ) ? f (2012 ) 的值为 ( )

A . ?1

B. ?2

C. 2

D. 1

【例 3】 【江西省 2014 届高三新课程适应性考试理科数学】函数 f ( x ) 的定义域为

{x ? R | x ? 1} ,对定义域中任意的 x ,都有 f (2 ? x) ? f ( x) ,且当 x ? 1 时,

f ( x) ? 2x2 ? x ,那么当 x ? 1 时, f ( x) 的递增区间是(
A. [ , ??)



5 4

B. (1, ]

5 4

C. [ , ??)

7 4

D. (1, )

7 4

【规律方法】重视对函数概念和基本性质的理解,包括定义域、值域(最值) 、对应法则、 对称性(包括奇偶性) 、单调性、周期性、图像变换、基本初等函数(载体) ,研究函数的性 质要注意分析函数解析式的特征,同时要注意图象(形)的作用,善于从形的角度研究函数 的性质. 【举一反三】 【广东省佛山市一中 2014 届高三 10 月段考 (理) 】 已知函数 f ( x) 是定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的奇函数,在 (0, ??) 上单调递减,且 f ( ) ? f ( ? 3 ) ? 0 ,则方程 f ( x ) ? 0 的根的个

1 2

数为_________.

考点 4 指数函数、对数函数、幂函数
【例 1】 【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理) 】已知函数

? x3 , x ? 0, 若 f (2 ? x2 ) ? f ( x) ,则实数 x 的取值 范围是( f ( x) ? ? ?ln( x ? 1), x>0.
( A) (??, ?1) ? (2, ??) (B) (??, ?2) ? (1, ??) (C) (?1, 2)



(D) (?2,1)

【例 2】 【江西省 2014 届高三新课程适应性考试理科数学】已知映射 f : A ? B ,其中

1 A ? [0,1] , B ? R ,对应法则是 f : x ? log 1 (2 ? x) ? ( ) x ,对于实数 k ? B ,在集合 A 中 3 2
不存在元素与之对应,则 k 的取值范围是 .

? log3 x , 0 ? x ? 3 ? 【例 3】 【江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研】 已知函数 f ? x ? ? ? 1 2 10 , x ? x ? 8, x ? 3 ?3 3 ?
若存在实数 a 、b 、c 、 d ,满足 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ? f ? d ? ,其中 d ? c ? b ? a ? 0 , 则 abcd 的取值范围是 .

【规律方法】1.对数函数的定义域为 x x ? 0 ,指数函数的值域 y y ? 0 . 2.熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化;熟练掌握指数函数、对数函数的图象和 性质,当底数的范围不确定时要分类讨论. 3.注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题. 【举一反三】 【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学(理) 】在平面直角坐标系中,若两点

?

?

?

?

P、Q 满足条件:
① P、Q 都在函数 y ? f ( x) 的图像上; ② P、Q 两点关于直线 y ? x 对称,则称点对 {P, Q} 是函数 y ? f ( x) 的一对“和谐点对”. (注:点对 {P, Q} 于 {Q, P} 看作同一对“和谐点对” )

已知函数 f ( x) ? ? A.0 对

? x 2 ? 3x ? 2( x ? 0) ? log 2 x( x ? 0)
C.2 对

,则此函数的“和谐点对”有(



B.1 对

D.3 对

考点 5 函数的零点
【例 1】 【广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试 (理) 】 函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 3
x

的零点所在的一个区间是 A. ? ?

( B. ? 0, ?



? 1 ? ,0? ? 2 ?

? ?

1? 2?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ?1, ?

? 3? ? 2?

【例 2】 【江西省 2014 届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,且当 x ?[?1,1] 时, f ( x) ? 2|x| ?1 ,则函数 F ( x) ? f ( x)? | lg x | 的零点个数 是( A.9 ) B.10 C.11 D.12

【例 3】 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考理】

? x, x ? [?1,0) ? ? 1 已知函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? kx ? k ? 0 有两个实数根,则 k ? 1, x ? [0,1) ? ? f ( x ? 1)
的取值范围是(
1? ? A. ? ?1, ? ? 2? ?

)
? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? 2 ?

C. ? ?1, ???

? 1 ? D. ? ? , ?? ? ? 2 ?

【规律方法】1、确定函数 f ( x ) 的零点所在的区间:第一种方法是解方程 f ( x) ? 0 的根; 第二种方法是如果方程容易解出, 可转化为两个函数交点横坐标问题, 通过检验交点左侧和 右侧函数值的大小关系,进而得出两点所在的区间;第三种方法是利用零点存在定理. 2.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合 导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象. 3、方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题 处理. 【举一反三】 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学理科】直线 y ? x 与函数

?2, x ? m f ( x) ? ? 2 的图象恰有三个公共点,则实数 m 的取值范围( ? x ? 4 x ? 2, x ? m
A. [?1, 2) B. [?1, 2] C. (?1,2] D. [2, ??)



考点 6 函数模型及其应用
【例 1】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 】在如图所示的锐角三角形空地 中, 欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x(单位 m)的取值范围 是 ( ) (B) [12,25] (D) [20,30]

(A) [15,20] (C) [10,30]

【例 2】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】甲厂以 x 千克/小时的速度 运输生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大 利润.

3 x

【规律方法】解与函数有关的应用题一般程序为:审题

?

建模

?

求解

?



馈,审题就是理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学地抽象概括,将实际问题归纳 为相应的数学问题;关键一步是设定变量,寻找其内在的等量关系或者不等关系,然后准确 建立相关的函数解析式(标明定义域) ,再应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以 综合解决. 【举一反三】 【湖北孝感高中 2014 届高三年级九月调研考试】 (本小题满分 13 分)预计某地区明年从年 初开始的前 x 个月内,对某种商品的需求总量 f ( x) (万件)近似满足:

f ( x) ? x( x ? 1)(35 ? 2 x)(x ?N*,且 x ? 12 )
(1)写出明年第 x 个月的需求量 g ? x ? (万件)与月份 x 的函数关系式,并求出哪个

月份的需求量超过 192 万件; (2)如果将该商品每月都投放到该地区 p 万件(不包含积压商品) ,要保证每月都满足 供应, p 应至少为多少万件?(积压商品转入下月继续销售)

考点 7 导数的运算及其意义
【例 1】 【广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试】已知函数 f ( x) ? x ? 3x ,若过点
3

A ? 0,16? 且与曲线 y ? f ( x) 相切的切线方程为 y ? ax ? 16 ,则实数 a 的值是(
A. ?3 B. 3 C.6 D.9

)

【例 2】 【江西省 2014 届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 4 ln x , 2

若存在满足 1 ? x0 ? 3 的实数 x0 ,使得曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与直线

x ? my ? 10 ? 0 垂直,则实数 m 的取值范围是(
A. [5, ??) B. [4,5] C. [4,



13 ] 3

D. (??, 4)

【例 3】 【江苏省泰州中学 2013-2014 学年度第一学期高三数学考试】已知点 A(1,1) 和点

B(?1, ?3) 在曲线 C : y ? ax3 ? bx2 ? d ( a, b, d 为常数上,若曲线在点 A 和点 B 处的切线
互相平行,则 a ? b ? d ? _________.
3 2

【规律方法】1.导数的几何意义是 k ? f ' ( x) . 2.从近几年的高考试题来看, 利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程以及与切线有 关的问题是高考的热点问题,解决该类问题必须熟记导数公式,明确导数的几何意义,切点 既在曲线上,又在切线上. 【举一反三】

4 上,? 为曲线在点 P 处切线的倾斜角, 则 ? 的取值范围是 ( e ?1 ? ? ? 3? ? 3? , ? ) D. ( , ] A. [0, ) B. [ , ) C. [ 4 4 2 4 2 4
已知点 P 在曲线 y ?
x



考点 8 导数的应用(单调性、极值、最值)
【例 1】 【湖北省荆州中学 2014 届高三年级第一次质量检测数学】设函数 f ( x ) 的导函数为

f ' ( x) ,对任意 x ? R 都有 f ' ( x) ? f ( x) 成立,则(
A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) B.



3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定

【例 2】 【成都外国语学校 2014 级高三开学检测试卷】已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) .

1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4
(Ⅱ)当 x ? [0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【例 3】 【安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学(理) 】已知函数

f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(1)若 a ? 2, 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围.

【规律方法】 1、 利用对于确定函数求单调区间问题, 先求定义域, 然后解解不等式 f ' ( x) ? 0 和定义域求交集得单调递增区间;解不等式 f ' ( x) ? 0 和定义域求交集得单调递减区间. 2、对于含参数的函数求单调区间问题,转化为判断导函数符号,可结合函数图象判断. 3、求函数的极值,先求 f ( x) ? 0 的根 x0 ,再和函数定义域比较,如果落在定义域外或者
'

落在定义域端点,此时函数单调,无极值;当落在定义域内时,将定义域分段,分别考虑 x0 两侧导数是否异号,从而判断是否有极值. 4、求函数的最值和求极值类似,先求 f ( x) ? 0 的根 x0 ,如果落在定义域外或者落在定义
'

域端点,此时函数单调,利用单调性求最值;当落在定义域内时,将定义域分段,分别考虑

x0 两侧导数是否异号,从而判断函数大致图象,从而求最值.
【举一反三】 【广东省珠海市 2014 届高三 9 月摸底考试数学(理) 】已知函数 f ( x) ? (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [ , 2] 上的最小值; (2)若函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 1 ? x ? 2 x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根,求实数 e

1? x ? ln x ax

1 2

1 2

?1 ?

? ?

m 的取值范围.

增函数

考点 9 定积分的计算及应用
【例 1】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】 一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情 况而刹车,以速度 v(t ) ? 7 ? 3t ? 汽车继续行驶 的距离(单位:m)是(
1 ? 25 ln 5

25 (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止. 在此期间 1? t



B. 8 ? 25ln

11 3

C. 4 ? 25 ln 5

D. 4 ? 50 ln 2

【例 2】 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 】若

?

T

0

x 2 dx ? 9, 则常数T的值为

.

【例 3】 【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考理科】曲线 y ?

2 与直线 y ? x ? 1 及 x

x ? 4 所围成的封闭图形的面积为(
A. 2 ln 2 B. 2 ? ln 2

) D. 4 ? 2 ln 2

C. 4 ? ln 2

【规律方法】1、求导运算与求原函数运算互为逆运算,求定积分的关键是找到被积函数的 原函数,为避免出错,在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证. 2、定积分的应用主要有两个问题:一是能利用定积分求曲边梯形的面积;二是能利用定积 分求变速直线运动的路程及变力做功问题, 其中, 应特别注意求定积分的运算与利用定积分 计算曲边梯形面积的区别. 【举一反三】 【广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题】一物体在力

0 ? x ? 2, ?5, (单位: N )的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x ? 0 处运动到 F ( x) ? ? ?3x ? 4, x ? 2
x ? 4 (单位: m )处,则力 F ( x) 做的功为
焦.

三.错混辨析
1.忽视函数的定义域出错 【例 1】函数 f ( x) ? x ? ln x 的单调递增区间是( A. (1, ??) B. ( ??, 0) C. (1, ??) ? ( ??, 0) ) D. (e, ??)

2.概念不清致误 【例 2】已知 f ( x) ? x ? ax ? bx+a 在 x ? 1 处有极值为 10,则 a ? b 的值=__________.
3 2 2

3.导数和单调性关系理解不清 【例 3】已知 f ( x) ?

2 x 2 ? ax ? 2a 区间 [1, ??) 是增函数,求实数 a 的取值范围. 2x

一.原创预测
1. 【高考改编题】 设 f ( x ) 是定义域为 R 的函数, 且满足 f ( x ? 1) ? ? f(x) , 在区间 [?1,1] 上,

?ax 2 ? 1, ?1 ? x ? 0 3 ? f ) ,则 a ? b ? ______. f(x) ? ? x , 其中 a ? R, b ? 0 且 b ? 1 , 若 f (0) ? ( 2 ? ?b ? 2, 0 ? x ? 1

2.设函数 f ? x ? ? ? x ?1? ex ? kx2 (其中 k ? R ). (1) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间和极值; (2) 证明:当 k ??0, +?? 时,函数 f ? x ? 在 R 上有且只有一个零点.

3.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? R ) 2

(1) 若 f ( x ) 在 x=2 时取得极值,求 a 的值; (2) 求 f ( x ) 的单调区间; (3) 求证:当 x ? 1 时,

1 2 2 x ? ln x ? x3 . 2 3



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