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詹2013年广东文科数学高考试题及答案


2013 年广东文科高考试题(A 卷)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. 已知集合 S ? x x 2 ? 2 x ? 0, x ? R ,T ? x x 2 ? 2 x ? 0, x ? R , S ? T ?( 则 A.{0} 2.函数 y ? A.
lg ? x ? 1? x ?1

?

?

?

?



B.{0,2} 的定义域是( B. ? ?1, ?? ?

C.{-2,0} ) C. ? ?1,1? ? ?1, ?? ? )

D. {-2,0,2}

? ?1, ?? ?

D. ? ?1,1? ? ?1, ?? ? D. 5

3.若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则 x+yi 的模是( A. 2 B. 3 C. 4
? 5? ? 1 ? ? ? ? ,那么 cos? ? ( 4.已知 sin ? ? 2 ? 5

) D.
2 5

A. ?

2 5

B. ?

1 5

C.

1 5

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( A. 1 B. 2 C.4 D.7
开始



输入n

2

i=1,s=1

1
N i?n Y 输出S S=S+(i-1) 结束 i=i+1
图1

1

主视图

左视图

图2

俯视图

6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是( 1 1 2 A. B. C. D. 1 6 3 3



2 2 7.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x ? y ? 1相切于第一象限的直线方程是(

)

A. x ? y ? 2 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 2 ? 0

1

8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A. 若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? ,则 ? // ? C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.



若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ?

D. 若 ? ? ? , l // ? ,则 l ? ?
1 ,则 C 的方程是 2
x2 y2 ? ?1 D. 4 3

9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ( )
x2 y2 ? ?1 B. 4 3

x2 y2 ?1 A. ? 3 4

x2 y2 ? ?1 C. 4 2

10.设 a 是已知的平面向量且 a≠0。关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 ? 和 ? ,使 a= ? b+ ? c; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a= ? b+ ? c; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a= ? b+ ? c。 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题: (本大共 5 小题.考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11.设数列 ? an ? 是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 12.曲线 y ? ax ? ln x 在点 ?1, a ? 处的切线平行于 x 轴,则 a ?
2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x,y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1 ,则 z=x+y 的最大值是 ?y ?1 ?
(二)选做题(14-15 题,只能做其中一个,两题全答只计前一题得分) 14. (坐标系与参数方程选做题) 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? 。以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐 标系,则曲线 C 参数方程是 15.(几何证明选讲选做题) 如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3,BC ? 3,BE ? AC , 垂足为 E, 则 ED= 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分. )
A 图3 E D B C

2

16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(1)求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?
3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

(2)若 cos ? ?

?? ? f ? ? ? ? 的值. 6? ?

17.(本题满分 13 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 只,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

?80,85 ?
5

?85, 90 ?
10

?90,95 ?
20

?95,100 ?
15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在 ? 90,95 ? 的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在 ?80,85? 和 ?95,100 ? 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

?80,85 ? 的有几个?
(3)在(2)中抽出的 4 苹果中,任取 2 个,求重量在 ?80,85 ? 和 ?95,100 ? 中各有一个的概 率.

18.(本题满分 14 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E,分别为 AB,AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A-BCF,其 中 BC ?

2 。 2
A A

(1)证明:DE//平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; (3)当 AD=

2 时,求三棱锥 F-DEG 3
D B

G G E C F 图4 B 图5 D F

E C

的体积 V.

3

19.(本题满分 14 分)
* 设各项均为正数的数列 ? an ? 的前 n 项的和为 Sn,满足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1 , n ? N ,且
2

a2 , a5 , a14 构成等比数列。
(1)证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)证明:对一切的正正数 n,有

1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? . a1a2 a2 a3 a3 a4 an an ?1 2

20.(本题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F (0, (c>0) c) 到直线 L:x-y-2=0 的距离为 P 为直线 L 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点。 (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P(x0,y0)为直线 L 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 L 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

3 2 . 设 2

21.(本题满分 14 分) 设函数f(x)= x ? kx ? x (k∈R).
3 2

(1) 当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2) 当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.

4

2013 年广东文科高考试题(A 卷)参考答案
一、选择题 1.A 2.C 3.D 4.C 5.C 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C

二、填空题 11. 15 12. 0.5 13. 5 14.
? x ? 1 ? cos ? (? 为参数) ? ? y ? sin ?

15.

三、解答题 16. 解: (1)f( )= (2)∵cos = ∴sin =- ∴f( - )= = cos( )= ·cos =1

, ∈( ,2π ) =- cos[( - ) - ] cos ( - )=cos + sin =-

17.解: (1)抽取的苹果总数为 50 个,重量在[ 90,95)的苹果有 20
个,所以苹果重量在[ 90,95)的频率= = =0.4

(2)重量在[ 80,85)的苹果数= (3)重量在[ 95,100)的苹果数=

×4=1(个) ×4=3(个)

记重量在[ 80,85)的 1 个苹果为 A,重量在[ 95,100)的
三个苹果分别是 B1,B2,B3。

在这四个苹果中任取两个,包括 6 个基本事件,分别是:
5

A 和 B1、 A 和 B2、 A 和 B3、 B1 和 B2、 B1 和 B3、 B2 和 B3 符合要求的基本事件有:A 和 B1、 A 和 B2、 A 和 B3 ,共 3 个, 所以重量在[ 80,85)和[ 95,100)中各有一个的概率 P= =

18(1)证明:在等边三角形 ABC 中,∵AD=AE, ∴ △ADE 为等边三角形,∠ADE=∠ABC=60° ∴ DE∥BC, 在三棱锥 A-BCF 中, ∵ DE∥BC,BC 平面 BCF,DE 不 ∴DE∥平面 BCF (2)证明:由题意可知,AF⊥BF,AF⊥CF,∴AF⊥平面 BCF ∵CF 平面 BCF,∴AF⊥CF 在△BCF 中,可求得 BF=CF= , ∴BF?+CF?=BC? ∴BF⊥CF ∵AF BF=F ∴CF⊥平面 ABF BC= 平面 BCF

(3)解: (粗略写)平面 DEG∥平面 BCF,三棱锥 F-DEG 的高 为 FG, FG= AF= S△DGE= × × = V= DG=EG= FG =

6

19、 (1)证明:当 n=1 时,a1=S1, 且 4S1=a22-4-1 ,所以 4a1= a22-5 ∴ a22=4a1+5,

∵ 数列 ?an ? 各项均为正数,∴ a2 ? 4a1 ? 5 (2)证明: 4Sn ? an?12 ? 4n ? 1 …………… ①
当 n 2 时,

4Sn—1=an2-4(n-1)-1 ①-②得: ∴an+12 =

…………②

4an =an+12 - an2 - 4 an2 + 4an +4 =(an+2)2

∵ 数列{an} 各项均为正数,an+1= an + 2, (n ≥ 2) 即 an+1 -an = 2 ∴数列{an}是从第三项开始,公差 d=2 的等差数列 ∵a2, a5, a14 成等比数列, ∴a52 = a2 a14 ∴ (a2+3d)2=a2 ( a2+12d) 解得 a2=3

∴a1=(32—5)÷4=1, ∴a2—a1=3—2=1 ∴数列{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列 ∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1 (3) (输入好累啊,不详写了) 裂项相消法: = (1- )+ ( - )……………

= (1—

)<
7

20、解: (Ⅰ)由

0?c?2 2

?

3 2 2

得, c ? 1 或 c ? ?5 (舍去) ,

所以抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y . (Ⅱ)设 A ? x1 , y1 ? ,则有 y1 ? y0
x1 ? x0 ? 1 x1 ,即 2 y1 ? 2 y0 ? x12 ? x0 x1 , 2

因为 x12 ? 4 y1 ,所以 2 y1 ? 2 y0 ? 4 y1 ? x0 x1 , 化简可得 x0 x1 ? 2 y1 ? 2 y0 ? 0 …①. 同理,设 B ? x2 , y2 ? ,可得 x0 x2 ? 2 y2 ? 2 y0 ? 0 …②. 由①②可得直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 .

(Ⅲ)联立 ? ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
2 ?x ? 4 y ?

,得
2 2 y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 .

2 2 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 ? 0 ,



由抛物线的定义可知 ∴ ∵ ∴ ∴

AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 ,

2 2 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1

点 P 在直线 l 上移动,所以 x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,
2 2 2 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ,

当 y0 ? ? 1 时,
2

AF ? BF

有最小值,且最小值为 9 .
2

8

21.解: (Ⅰ)当 k ? 1 时, f ? x ? ? x3 ? x 2 ? x ,
∵ ∴
2

f ? ? x ? ? 3x 2 ? 2 x ? 1 .

? ? ? ?2 ? ? 4 ? 3 ? 1 ? 0 ,∴ f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立,

f ? x ? 在 R 上单调递增.

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 3x2 ? 2kx ? 1 , ? ? 4k 2 ? 12 . ① 当 ? ? 0 ,即 ?
3 ? k ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立,

m M ∴ f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单调递增, ? f ? k ? ? k , ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k .

②当 ? ? 0 ,即 k ? ?
x2 ?

3 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,可得 x1 ?

k ? k2 ? 3 3



k ? k2 ? 3 , k ? x1 ? x2 ? ?k 且 (可通过作差比较或利用图象) .于是 f ? x ? 3

在 ? k , x1 ? 上单调递增,在 ? x1 , x2 ? 上单调递减,在 ? x2 , ?k ? 上单调递增,所 以 m ? min ? f ? k ? , f ? x2 ?? , M ? max ? f ? ?k ? , f ? x1 ?? . 因为 f ? x2 ? ? f ? k ? ? x23 ? kx22 ? x2 ? k ? ? x2 ? k ? ? x22 ? 1? ? 0 ,所以 m ? f ? k ? ? k . 因为 f ? x1 ? ? f ? ?k ? ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? ? ? ?2k 3 ? k ? ? ? x1 ? k ? ?? x1 ? k ?2 ? k 2 ? 1? ? 0 , 所 ? ? 以 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k . 综上所述,当 k ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最 大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k .

9



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