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2014届高考数学一轮复习 A级 基础达标演练20 理


A级
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.函数 y=2 -x 的图象大致是(
x
2

基础达标演练

(时间:40 分钟 满分:60 分)

).

解析 在同一坐标系中作出 y=2 与 y=x 的图象可知,当 x∈(-∞,m)∪(2,4),y<0, ;当 x ∈(m,2)∪(4,+∞)时,y>0,(其中 m<0),故选 A. 答案 A 2.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于任意的 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且 当 x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 010)+f(2 011)的值为( A.-2 B.-1 C.1 D.2 ).

x

2

解析 ∵f(x)是偶函数, ∴f(-2 010)=f(2 010). ∵当 x≥0 时,f (x+2)=f(x), ∴f(x)是周期为 2 的周期函数, ∴f(-2 010)+f(2 011)=f(2 010)+f(2 011) =f(0)+f(1)=log21+log22=0+1=1. 答案 C

?1?x-2 3 3. 设函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( ?2?
A.(0,1) C.(2,3) 解析 (数形结合法)如图所示. B.(1,2) D.(3,4)

).

由 1<x<2,可知 1<x <8;

3

?1?x-2 -1<x-2<0,1<? ? <2. ?2?
答案 B

-1-

?1?x 4.函数 y=? ? +1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是( ?2?

).

?1?x 解析 函数 y=? ? +1 的图象如图;作其关于直线 y=x 的对称图象,可知选 A. ?2?

答案 A 1 1 a b 5.设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=(

a b

). B.10 D.100

A. 10 C.20

1 1 解析 由已知条件 a=log2m,b=log5m,又 + =2,则 logm2+logm5=2,即 logm10=2,解

a b

得 m= 10. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.若直线 y=2a 与函数 y=|a -1|(a>0,且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围是 ________. 解析 (数形结合法)
x

1 由图象可知 0<2a<1,∴0<a< . 2

? 1? 答案 ?0, ? 2 ? ?
7.若 3 =0.618,a∈[k,k+1),k∈Z,则 k=________. 1 1 -1 0 解析 ∵3 = ,3 =1, <0.618<1,∴k=-1. 3 3 答案 -1
a

-2-

8.若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析 令 a -x-a=0 即 a =x+a, 若 0<a<1,显然 y=a 与 y=x+a 的图象只有一个公共点; 若 a>1,y=a 与 y=x+a 的图象如图所示.
x x x x

x

答案 (1,+∞) 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)设函数 f(x)=2
x
|x+1|-|x-1|

,求使 f (x)≥2 2的 x 的取值范围.

解 y=2 是增函数,f(x)≥2 2 3 等价于|x+1|-|x-1|≥ . 2 (1)当 x≥1 时,|x+1|-|x-1|=2,∴①式恒成立. (2)当-1<x<1 时,|x+1|-|x-1|=2x, 3 3 ①式化为 2x≥ ,即 ≤x<1. 2 4 (3)当 x≤-1 时,|x+1|-|x-1|=-2,①式无解. ①

?3 ? 综上,x 取值范围是? ,+∞?. 4 ? ?
10.( 12 分)已知 f(x)=e -e ,g(x)=e +e (e=2.718 28…) (1)求[f(x)] -[g(x)] 的值; (2)若 f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求
2 2 2 2

x

-x

x

-x

g x+y 的值. g x-y
x
-x 2

解 (1)[f(x)] -[g(x)] =(e -e ) -(e +e ) =(e -2+e
2x -2x

x

-x 2

)-(e +2+e
x
-x

2x

-2x

)=-4.

(2)f(x)f(y)=(e -e )(e -e ) =e
x+y

y

-y

+e

-x-y

-e

x-y

-e

-x+y

=[e

x+y

+e

-(x+y)

]-[e

x-y

+e

-(x-y)

]=g(x+y)-g(x-y) ① ②

∴g(x+y)-g(x-y)=4 同理,由 g(x)g(y)=8,可得 g(x+y)+g(x-y)=8, 由①②解得 g(x+y)=6,g(x-y)=2, ∴

g x+y =3. g x-y
B 级 综合创新备选
-3-

(时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.定义运算:a*b=? A.R 解析
?a ? ? ?b

a≤b a>b

,如 1]( C.(0,1]

). D.[1,+∞)

B.(0,+∞)
? ?2 f(x)=2 *2 =? -x ?2 ?
x
-x

x

x x>

, ,

∴f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞)上是

减函数,∴0<f(x)≤1. 答案 C 2 1 2. 设函数 f(x)= [x]表示不超过 x 的最大整数, 则函数 y=[f(x)]的值域是( x- , 1+2 2 A.{0,1} B.{0,-1}
x x

).

C.{-1,1}

D.{1,1}

2 1 1 1 1 1 解析 由 f(x)= x- =1- x- = - x, 1+2 2 1+2 2 2 1+2 1 x x 由于(2 +1)在 R 上单调递增,所以- x在 R 上单调递增,所以 f(x)为增函数,由于 2 >0, 1+2 当 x→-∞,2 →0, 1 1 ∴f(x)>- ,当 x→+∞, x→0, 2 1+2 1 1 1 ∴f(x)< ,∴- <f(x)< , 2 2 2 ∴y=[f(x)]={0,-1}. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.若 f(x)=a 与 g(x)=a
-x

x

x-a

(a>0 且 a≠1)的图象关于直线 x=1 对称,则 a=________.
-x

解析 g(x)上的点 P(a,1)关于直线 x=1 的对称点 P′(2-a,1)应在 f(x)=a 上, ∴1=a ∴a-2=0,即 a=2. 答案 2 4.(★)若曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________.
x

a-2

.

解析 (数形结合法)曲线|y|=2 +1 即为 y=2 +1 或 y=- (2 +1), 作出曲线的图象(如图), 要使该曲线与直线 y=b 没有公共点,须-1≤b≤1.

x

x

x

-4-

答案 -1≤b≤1 【点评】 本题采用数形结合法,准确画出函数|y|=2 +1 的图象,由图象观察即得 b 的取值 范围. 三、解答题(共 22 分) 10 -10 5.(10 分)已知 f(x)= x -x. 10 +10 (1)判断函数奇偶性; (2)证明:f(x)是定义域内的增函数. 10 -10 (1)解 ∵f(x)的定义域为 R,且 f(-x)= -x x=-f(x),∴f(x)是奇函数. 10 +10 10 -10 10 -1 2 (2)证明 法一 f(x)= x =1- 2x . -x= 2x 10 +10 10 +1 10 +1 2 ? ? 2 ? ? 令 x2>x1,则 f(x2)-f(x1)=?1- 2x -?1- 2x ? ?=2· ? 10 2+1? ? 10 1+1? 当 x2>x1 时,10 2-10 1>0. 又∵102x1+1>0,10 2+1>0, 故当 x2>x1 时,f(x2)-f(x1)>0, 即 f(x2)>f(x1).所以 f(x)是增函数. 法二 考虑复合函数的增减性. 10 -10 2 由 f(x)= x . -x=1- 2x 10 +10 10 +1 ∵y1=10 为增函数, 2 2x ∴y2=10 +1 为增函数,y3= 2x 为减函数, 10 +1
x x
-x 2x 2x 2x 2x -x

x

x

-x

x

x

-x

2x

102x2-102x1 2x 2+ 1+

.

y4=-

2 2 为增函数,f(x)=1- 2x 为增函数. 10 +1 10 +1
2x

10 -10 ∴f(x)= x -x在定义域内是增函数. 10 +10 6.(12 分)若函数 y= (1)求 a 的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域. 解 ∵函数 y=

x

-x

a·2x-1-a
2 -1
x

为奇函数.

a·2x-1-a
2 -1
x

,∴y=a-

1 . x 2 -1

(1)由奇函数的定义,可得 f(-x)+f(x)=0,即

-5-

a-

1 1 +a- x =0, 2 -1 2 -1
-x

1-2 1 ∴2a+ x=0,∴a=- . 1-2 2 1 1 (2)∵y=- - x , 2 2 -1 ∴2 -1≠0,即 x≠0. 1 1 ∴函数 y=- - x 的定义域为{x|x≠0} 2 2 -1 (3)∵x≠0,∴2 -1>-1. ∵2 -1≠0,∴0>2 -1>-1 或 2 -1>0. 1 1 1 1 1 1 ∴- - x > 或- - x <- . 2 2 -1 2 2 2 -1 2 1 1 即函数的值域为{y|y> 或 y<- }. 2 2
x x x x x

x

-6-


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